第3章 一次方程与方程组 单元练习（含解析）

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第3章 一次方程与方程组 单元练习 2023-2024学年 沪科版（2012）七年级数学上册 （含解析）
一、单选题
1．若方程与关于的方程的解相同，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
2．某商店以每件360元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，那么商店卖出这两件衣服总的是（ ）
A．盈利30元 B．亏损30元 C．盈利40元 D．亏损40元
3．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2023
4．已知关于，的方程组中的，满足，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有，在图2中，若的值为，则的值为（ ）

A． B． C．1 D．任意实数
二、填空题
6．若关于的方程有无数个解，则的值为 ．
7．某车间有35名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓与两个螺母配套，要使每天生产的螺栓与螺母配套，应如何安排生产？若设有名工人生产螺栓，则可列方程 ．
8．已知关于的方程是二元一次方程，则满足的条件是 ．
9．如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了172根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多8个，那么能连续搭建正三角形的个数是 ．

10．甲、乙、丙三人到超市购零食，甲买薯片3包、饼干2袋、糖果1盒，花费24元；乙买薯片1包、饼干4袋、糖果2盒，花费23元，那么丙买薯片4包，花费 元．
三、解答题
11．解方程
(1)
(2)
12．已知方程组的一个解为，求m，n的值．
13．位于广元市朝天区的朝天古城有着悠久的历史，距今已有2000多年，因其独特的民俗文化，吸引了众多游客前来观光．为了抓住商机，某商店决定购进A，B两种纪念品，已知购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，共需要2000元；购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，共需要1050元．
(1)购进A，B两种纪念品每件各需要多少元？
(2)若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中每种纪念品至少购进12件，那么该商店共有几种进货方案？
14．用如图的方式测量桌子的高度，将两块完全一样的木块先按图1放置，再按图2放置，测得的数据如图（单位：）．

(1)求出桌子的高度；
(2)如果两次测量的数据分别是和，直接写出桌子的高度．（用含、的式子表示）
15．如图，为数轴的原点，点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，且满足，点C为数轴上一动点且对应的数为x．

(1)求a，b的值；
(2)若点C在点A的左侧运动，M是的中点，式子的值是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由；
(3)若点P以每秒2个单位长度的速度，点Q以每秒3个单位长度的速度，分别从A，B两点同时向左运动了t秒，当时，请求出此时t的值．
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参考答案：
1．D
【分析】先求解方程，得出x的值，再把x的值代入，即可求解．
【详解】解：由方程得：，
把代入得：，
即，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．
2．B
【分析】该商店盈利的那件衣服的成本价为元，亏损的那件衣服的成本价为元，根据盈利、亏损情况分别建立方程，解方程即可得．
【详解】解：该商店盈利的那件衣服的成本价为元，亏损的那件衣服的成本价为元，
由题意得：，，
解得，，
则，
即商店卖出这两件衣服总的是亏损30元，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、有理数混合运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
3．B
【分析】联立不含与的方程组成方程组，求出方程组的解得到与的值，进而求出与的值，即可求出所求．
【详解】解：联立得：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
把，代入得：，
解得：，
则原式．
故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
4．C
【分析】将方程①②相加，可得出，方程两边同时除以，可得出，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
【详解】解：，
得，，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，通过解方程组及，找出是解题的关键．
5．C
【分析】根据新定义可得，即可求解．
【详解】解：由题意得
，
整理得：
②③得：，
将①代入上式得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义，解三元一次方程组．理解新定义是解题的关键．
6．
【分析】方程移项合并，令x系数等于0，求出的值，即可得到结果．
【详解】整理得，
∵有无数个解，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
7．
【分析】设有名工人生产螺栓，则有名工人生产螺母，根据“一个螺栓与两个螺母配套”可得螺母数量是螺栓数量的两倍，即可列出方程．
【详解】解：设有名工人生产螺栓，则有名工人生产螺母，
根据题意可列方程为：，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程．
8．且
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程即可解答．
【详解】解：∵关于的方程是二元一次方程，
∴，
∴且，
故答案为且．
【点睛】本题考查了二元一次方程的概念，熟记二元一次方程的概念是解题的关键．
9．30
【分析】设搭建了个正三角形，个正六边形，则搭建正三角形用掉了（）根火柴棍，搭建正六边形用掉了（）根火柴棍，根据“搭建正三角形和正六边形共用了根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多个”可得出关于，的二元一次方程组，解之即得答案．
【详解】解：设搭建了个正三角形，个正六边形，则搭建正三角形用掉了（）根火柴棍，搭建正六边形用掉了（）根火柴棍，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
10．20
【分析】设薯片每包元，饼干每袋元，糖果每盒元，根据题意可列，由解得，即可求解．
【详解】解：设薯片每包元，饼干每袋元，糖果每盒元，
由题意可得：，由得：，解得，
∴丙买薯片4包花费元，
故答案为：20．
【点睛】本题考查三元一次方程的应用，由进行整体消元是解决问题的关键．
11．(1)
(2)
【分析】（1）去括号， 移项，合并同类项，系数化成1，即得；
（2）去分母， 移项，合并同类项，系数化成1，即得．
【详解】（1），
去括号，得，，
移项，得，，
合并同类项，得，，
系数化成1，得，；
（2），
去分母，得，，
移项，得，，
合并同类项，得，，
系数化成1，得，．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解决问题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤．
12．的值分别是，
【分析】将x，y的值代入原方程组得到关于m，n的二元一次方程组，然后求解此方程组即可得到m，n的值．
【详解】解：∵是方程组的一个解
∴
解这个方程组得，
答：m，n的值分别是，．
【点睛】此题考查了二元一次方程组解的定义以及解二元一次方程组的方法．能够将x，y的值代入原方程组得到关于m，n的二元一次方程组是解题的关键．
13．(1)购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元
(2)商店共有4种进货方案
【分析】（1）设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元．根据：购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，共需要2000元；购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，共需要1050元，即可列出关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进A种纪念品a件，B种纪念品b件，根据题意可得关于a、b的二元一次方程，再结合题意讨论该方程的正整数解即可．
【详解】（1）设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元．
根据题意，得解得
答：购进A种纪念品每件需要150元，购进B种纪念品每件需要100元．
（2）设购进A种纪念品a件，B种纪念品b件，正好用完4000元．
根据题意，得，化简，得，即．
∵a，b均为不小于12的整数，
∴①当时，；
②当时，；
③当时，；
④当时，．
答：该商店共有4种进货方案．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的正整数解，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
14．(1)桌子的高度为
(2)桌子的高度为；
【分析】（1）根据图1和图2，列出相应的方程组，然后两个方程组作和即可解答本题；
（2）根据（1）的结论来判断结果．
【详解】（1）解：设木块长，宽为，桌子的高为，
根据题意可列出以下方程组：
，解得，
∴桌子的高度为
（2）解：通过（1）的计算可知，桌子的高度与两次测量的数据之和存在确定的数量关系，即桌子的高度等于两次测量的数据之和的一半，
∴桌子的高度为；
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.
15．(1)，
(2)的值不变，是15
(3)20或10
【分析】（1）根据绝对值的非负性进行求解即可；
（2）根据点C在点A的左侧运动，M是的中点，得出M表示的数是，求出，，得出即可；
（3）根据P，Q两点均向左运动，得出P表示的数是，Q表示的数是，根据，分两种情况列出关于t的方程或，解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，．
（2）解：的值不变，理由如下：
∵点C在点A的左侧运动，M是的中点，
∴M表示的数是，
∴，，
∴，
∴的值为15；

（3）解：P，Q两点均向左运动，则P表示的数是，Q表示的数是，
∵，
∴或，
解得或，
∴当时，的值是20或10．
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
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