北师大版八年级数学上册 1.3 勾股定理的应用 同步练习（含答案）

1.3 勾股定理的应用
一、单选题
1．为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.4 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为 1.8 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米的地方时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离 AD 等于（　　）
A．1.0 米 B．1.2 米 C．1.25 米 D．1.5 米
2.如图所示有一“工”字形的机器零件它是轴对称图形，图中所有的角都是直角，图中数据单位：，那么、两点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（ ）
A．寸 B．寸 C．寸 D．寸
4.如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ）
A．2km B．4km C．10 km D．14 km
二、填空题
5.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小时后相距30nmile，且知道“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号航行的方向是_______．
6.《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人出发后x分钟相遇．根据勾股定理可列得方程为______．
7.如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB是 ．
8.如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s
三、解答题
9.“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．
(1)求小汽车6秒走的路程；(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
10.为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P以200米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，问村庄是否能听到？若能，请求出总共能听到多长时间的宣传？
11.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄河边原有两个取水点其中由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路测得千米，千米，千米．
（1）问是否为从村庄到河边的最近路．请通过计算加以说明；（2）求新路比原路少多少千米．
12.拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
13.八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作：①测得的长度为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明身高为米．（1）求风筝的高度；（2）若小亮让风筝沿方向下降了米到点（即米），则他往回收线多少米？
14.太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作：①测得的长为15米（注：）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米．
(1)求风筝的高度．(2)过点D作，垂足为H，求的长度．
15.如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
16.伊通河，是长春平原上的千年古流，是松花江的二级支流，它发源于吉林省伊通县境内哈达岭山脉青顶山北麓，如图，在伊通河笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个景点 、其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H（、、三点在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)判断的形状，并说明理由；(2)求原路线的长．
17.如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？
18.由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域．（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？
（2）若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？
19.一梯子长2.5m，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7m．
(1)这架梯子的顶端离地面有多高？(2)设梯子顶端到水平地面的距离为，底端到垂直墙面的距离为，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端下滑了，请问这时使用是否安全．
20.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险﹖请说明理由．（参考数据：，，精确到1海里）
21.南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/小时的速度前去拦截．问：经过多少小时，海监执法船恰好在C处成功拦截．
答案
一、单选题
A．A．C．B．
二、填空题
5.西北方向
6.
7.3米
8.8
三、解答题
9.(1)解：过点作，设汽车经过6秒后到达点，连接，如图所示：
由题意可得：米，米，
在中，（米，
答：小汽车6秒走的路程为120米；
(2)解：小汽车6秒中的平均速度为：（米秒）（千米小时），
，小汽车超速了．
10.解：村庄能否听到宣传，
理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，∴村庄能听到宣传；
如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶到Q点结束对村庄的影响，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ＝＝800（米），
∴PQ＝1600米，∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8（分钟），∴村庄总共能听到8分钟的宣传．
11.解：(1)是，理由如下：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，即CH2+BH2=BC2，
∴△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，∴CH⊥AB，
由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路；
(2)设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2 ∴x2=(x-0.9)2+1.22，
解得x=1.25，即AC=1.25，故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米．
12.解：（1）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD＝＝120（m），
∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED＝=50（m），∴EF＝50×2=100（m），
∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
13.解：（1）在中，由勾股定理得，，∴（取正），
∴（米，∴风筝的高度为19.68米．
（2）如图示，连接
∵，∴，
在中，由勾股定理得，，
∴（取正），∴往回收线的长度是：（米）
14.(1)在中，由勾股定理，得：（米），
所以（米），
答：风筝的高度为21.7米．
(2)由等积法知：，解得：（米）．
在中，（米），
答：的长度为9米．
15.解：设AE＝xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，
由勾股定理，得152+x2＝102+（25﹣x）2，x＝10．故：E点应建在距A站10千米处．
16.(1)是直角三角形，理由是：在中，
∵，∴
∴是直角三角形且；
(2)设千米，则 千米，
在中，由已知得，
由勾股定理得：，
∴解这个方程，得，
答：原来的路线的长为千米．
17.∵ ，∴△ABC为直角三角形．
∴∠ABC＝90°．
又BD⊥AC，∴,∴,
在Rt△BCD中，由勾股定理得：．
∴≈0.85(h)＝51(分)．所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．
18.解：（1）过点A作AC⊥BM，垂足为C，
在Rt△ABC中，由题意可知∠CBA＝30°，∴AC＝AB＝×240＝120，
∵AC＝120＜150，∴A城将受这次沙尘暴的影响．
（2）设点E，F是以A为圆心，150km为半径的圆与MB的交点，连接AE，AF，
由题意得，，CE＝90
∴EF＝2CE＝2×90＝180 180÷12＝15（小时）∴A城受沙尘暴影响的时间为15小时．
19.(1)解：由题意可知在中，，，，
∴由勾股定理可得，，
即，
∴，即这架梯子的顶端离地面2.4m；
(2)解：如图所示，，则在中，，，
∴由勾股定理可得，，
∴可得，∴此时使用不安全．
．
20.解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于E，∴∠CEB=∠CEA=90°，
由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，∴∠AEC=30°，∠BCE=180°-∠ABC-∠BEC=45°，
∴∠BCE=∠EBC=45°，∴BE=EC，∴AC=2AE设AE＝x海里，则AC=2x海里，
在Rt△AEC中，海里，∴海里，
∴海里，∴，解得：x＝100，∴AC＝2x＝200海里．
∵∠BAC=60°，∠ABC=45°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=75°
过点D作DF⊥AC于点F，∴∠ADF=30°，∠FDC=90°-∠FCD=45°=∠FCD，∴AD=2AF，DF=FC
设AF＝y，则AD＝2y， ∴，
∵海里 ∴y＋y＝200，解得：，∴海里；
（2）由（1）得
∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．
21.解：如图，过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，
∵∠BAC＝75° 30°＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，∴AC＝CD，
∵BCAE，∴∠DBC＝∠BAE＝90° 30°＝60°，∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD，AD＝CD＝，
∵AD BD＝AB，∴ 海里，解得：BD＝10 海里，
∴CD＝ 海里，∴AC＝CD （海里），
∴小时 答：经过小时，海监执法船恰好在C处成功拦截．