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2023-2024学年高中数学人教A版必修一4.1 指数 同步练习
一、选择题
1．（2023高一上·延庆期末）的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】n次方根与根式
【解析】【解答】。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合根式的运算法则，进而化简求值。
2．（2022高一上·盐城期中）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】有意义 ，即
故答案为：C
【分析】利用有理数指数幂的运算性质进行求解，可得答案.
3．（2022高一上·滕州期中）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】A.，A不符合题意；B.，B不符合题意；
C.，C不符合题意；D. ，D符合题意.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合根式与分数指数幂的互化公式，进而得出正确的选项。
4．（2022高一上·贵港期中）（ ）
A． B．2 C．1 D．0
【答案】D
【知识点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合指数幂的运算法则，进而化简求值。
5．（2022高一上·杨浦期末）设，下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】，，，。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合指数幂的运算法则，进而找出计算正确的选项。
6．（2022高一上·沭阳期中）已知，则的值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】，故，，故
.
故答案为：B
【分析】根据题意，再变换，代入数据得到答案.
7．（2021高一上·金坛期中）若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】由题设，，即，
又，且，
所以.
故答案为：A.
【分析】先把已知式子平方得到，再平方及指数幂的运算性质即可求出 的值 .
8．（2021高一上·扬中开学考）已知 是方程 的两根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【知识点】n次方根与根式；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 是方程 的两根
∴m+n=-5，mn=3
∴m，n都是负数
∴
故答案为：B
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，结合根式的运算求解即可.
9．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】 ， ，
因此， 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分母有理化和负指数幂的运算法则，得出，再利用立方和公式，从而求出 的值。
10．（2020高一上·张家口月考）将根式 化简为指数式（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】 ，
故答案为：A
【分析】根据分数指数幂的运算公式，，再根据，由内向里逐层化简。
11．（2020高一上·开封期中）已知正数 满足 ，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】因为正数 满足 ，
所以 ，即 ，则 ，
所以 ，即 ，因此 ，
故答案为：B.
【分析】由已知条件，平方化简得出 的值，再平方即可得出的值.
12．（2020高一上·南充期中）若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】n次方根与根式
【解析】【解答】由 ，
因为 ，即 ，
所以 ，可得 ，所以 ，
故答案为：D.
【分析】利用根式的性质结合已知条件，从而结合绝对值的定义，从而求出实数a的取值范围。
二、多项选择题
13．（2020高一上·厦门期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C,D
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】对于A，因为 ，而 ，所以A不符合题意；
对于B，因为 ，所以B不符合题意；
对于C，因为 成立，所以C符合题意；
对于D，当 时， ，所以D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】利用根式与分数指数幂的互化公式，从而找出正确的选项。
14．（2021高一上·电白期中）以下化简结果正确的是（字母均为正数）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B,D
【知识点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】A选项： ，A选项错误；
B选项： ，B选项正确；
C选项： ，C选项错误；
D选项： ，D选项正确；
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合指数幂的运算法则，从而化简求值，进而找出结果正确的选项。
15．（2022高一上·河南期中）下列各式的值相等的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B,C
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】对于A，，，不符合题意；
对于B，，符合题意；
对于C，，符合题意；
对于D，，，不符合题意．
故答案为：BC．
【分析】由根式和指数互化公式，逐项判断即可.
16．（2022高一上·海州期中）已知实数a满足，下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】，，，A符合题意；
，，B不符合题意；
，，C符合题意；
，且
，，，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】 由已知结合分数指数幂的运算性质对各选项进行化简，即可得答案.
17．（2022高一上·武功期中）下列表达式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C,D
【知识点】n次方根与根式；根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】对A，，A符合题意；
对B，，B符合题意；
对C，当， 无意义，C不符合题意；
对D，若，无意义，D不符合题意；
故答案为：CD.
【分析】利用有理数指数幂的运算性质可判断A、B；利用开偶次方根的条件可判断C；令进行判断可判断D.
18．（2022高一上·绵阳期中）设m，n是方程的两根，则下面各式值等于8的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】因为m，n是方程的两根，所以由根与系数关系可得，，所以，，
，，所以B，D符合题意。
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合韦达定理和完全平方和公式，再结合指数幂的运算法则，进而找出值等于8的式子。
三、填空题
19．（2022高一上·泗洪期中）已知，则 ．
【答案】
【知识点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】因为，
所以，
故答案为：.
【分析】由可得，从而可求出答案.
20．（2022高一上·滕州期中）计算： ．
【答案】1
【知识点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】
。
故答案为：1。
【分析】利用已知条件结合指数幂的运算法则，进而化简求值。
21．（2023高一上·绍兴期末）已知（a，且），则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；基本不等式
【解析】【解答】
又
根据基本不等式得
，又因为，所以
故答案为：
【分析】化简得到，再根据基本不等式求解.
22．（2022高一上·贵港期中）若不等式的解集为，则 .
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】由题意得和是方程的两根，则
所以。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法得出和是方程的两根，再利用韦达定理和指数幂的运算法则，进而求出的值。
23．（2022高一上·中山月考）已知，则 .
【答案】21
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】因为，所以，即，
所以，。
故答案为：21。
【分析】利用已知条件结合完全平方和公式、立方法公式，进而得出的值。
四、解答题
24．（2022高一上·乌兰察布期中）计算
（1）
（2）化简．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式=
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则逐步计算即可；
（2）将根式化为分数指数幂，再利用指数幂的运算法则化简即可.
25．（2022高一上·河南期中）化简求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：．
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）由已知结合分数指数幂与根式的互化即可求解及分数指数幂的运算性质即可求解；
（2）由已知结合分数指数幂与根式的互化即可求解及分数指数幂的运算性质即可求解.
26．（2022高一上·安阳期中）
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：因为
，
所以；
（2）解：
，
因为，
所以原式.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；有理数指数幂的化简求值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合指数幂的运算法则得出m的值，进而得出的值。
（2）利用已知条件结合指数幂的运算法则和代入法得出 的值。
27．（2022高一上·北海期中）
（1）化简
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1）解：原式
（2）解：，
则
【知识点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质进行计算即可；
（2）利用完全平方式结合指数幂的运算质进行计算即可.
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2023-2024学年高中数学人教A版必修一4.1 指数 同步练习
一、选择题
1．（2023高一上·延庆期末）的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
2．（2022高一上·盐城期中）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高一上·滕州期中）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022高一上·贵港期中）（ ）
A． B．2 C．1 D．0
5．（2022高一上·杨浦期末）设，下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022高一上·沭阳期中）已知，则的值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
7．（2021高一上·金坛期中）若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021高一上·扬中开学考）已知 是方程 的两根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
9．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2020高一上·张家口月考）将根式 化简为指数式（ ）
A． B． C． D．
11．（2020高一上·开封期中）已知正数 满足 ，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
12．（2020高一上·南充期中）若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
13．（2020高一上·厦门期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2021高一上·电白期中）以下化简结果正确的是（字母均为正数）（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2022高一上·河南期中）下列各式的值相等的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
16．（2022高一上·海州期中）已知实数a满足，下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2022高一上·武功期中）下列表达式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2022高一上·绵阳期中）设m，n是方程的两根，则下面各式值等于8的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
19．（2022高一上·泗洪期中）已知，则 ．
20．（2022高一上·滕州期中）计算： ．
21．（2023高一上·绍兴期末）已知（a，且），则的取值范围为 ．
22．（2022高一上·贵港期中）若不等式的解集为，则 .
23．（2022高一上·中山月考）已知，则 .
四、解答题
24．（2022高一上·乌兰察布期中）计算
（1）
（2）化简．
25．（2022高一上·河南期中）化简求值：
（1）；
（2）．
26．（2022高一上·安阳期中）
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
27．（2022高一上·北海期中）
（1）化简
（2）已知，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】n次方根与根式
【解析】【解答】。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合根式的运算法则，进而化简求值。
2．【答案】C
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】有意义 ，即
故答案为：C
【分析】利用有理数指数幂的运算性质进行求解，可得答案.
3．【答案】D
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】A.，A不符合题意；B.，B不符合题意；
C.，C不符合题意；D. ，D符合题意.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合根式与分数指数幂的互化公式，进而得出正确的选项。
4．【答案】D
【知识点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合指数幂的运算法则，进而化简求值。
5．【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】，，，。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合指数幂的运算法则，进而找出计算正确的选项。
6．【答案】B
【知识点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】，故，，故
.
故答案为：B
【分析】根据题意，再变换，代入数据得到答案.
7．【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】由题设，，即，
又，且，
所以.
故答案为：A.
【分析】先把已知式子平方得到，再平方及指数幂的运算性质即可求出 的值 .
8．【答案】B
【知识点】n次方根与根式；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 是方程 的两根
∴m+n=-5，mn=3
∴m，n都是负数
∴
故答案为：B
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，结合根式的运算求解即可.
9．【答案】C
【知识点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】 ， ，
因此， 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分母有理化和负指数幂的运算法则，得出，再利用立方和公式，从而求出 的值。
10．【答案】A
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】 ，
故答案为：A
【分析】根据分数指数幂的运算公式，，再根据，由内向里逐层化简。
11．【答案】B
【知识点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】因为正数 满足 ，
所以 ，即 ，则 ，
所以 ，即 ，因此 ，
故答案为：B.
【分析】由已知条件，平方化简得出 的值，再平方即可得出的值.
12．【答案】D
【知识点】n次方根与根式
【解析】【解答】由 ，
因为 ，即 ，
所以 ，可得 ，所以 ，
故答案为：D.
【分析】利用根式的性质结合已知条件，从而结合绝对值的定义，从而求出实数a的取值范围。
13．【答案】C,D
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】对于A，因为 ，而 ，所以A不符合题意；
对于B，因为 ，所以B不符合题意；
对于C，因为 成立，所以C符合题意；
对于D，当 时， ，所以D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】利用根式与分数指数幂的互化公式，从而找出正确的选项。
14．【答案】B,D
【知识点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】A选项： ，A选项错误；
B选项： ，B选项正确；
C选项： ，C选项错误；
D选项： ，D选项正确；
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合指数幂的运算法则，从而化简求值，进而找出结果正确的选项。
15．【答案】B,C
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】对于A，，，不符合题意；
对于B，，符合题意；
对于C，，符合题意；
对于D，，，不符合题意．
故答案为：BC．
【分析】由根式和指数互化公式，逐项判断即可.
16．【答案】A,C,D
【知识点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】，，，A符合题意；
，，B不符合题意；
，，C符合题意；
，且
，，，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】 由已知结合分数指数幂的运算性质对各选项进行化简，即可得答案.
17．【答案】C,D
【知识点】n次方根与根式；根式与有理数指数幂的互化
【解析】【解答】对A，，A符合题意；
对B，，B符合题意；
对C，当， 无意义，C不符合题意；
对D，若，无意义，D不符合题意；
故答案为：CD.
【分析】利用有理数指数幂的运算性质可判断A、B；利用开偶次方根的条件可判断C；令进行判断可判断D.
18．【答案】B,D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】因为m，n是方程的两根，所以由根与系数关系可得，，所以，，
，，所以B，D符合题意。
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合韦达定理和完全平方和公式，再结合指数幂的运算法则，进而找出值等于8的式子。
19．【答案】
【知识点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】因为，
所以，
故答案为：.
【分析】由可得，从而可求出答案.
20．【答案】1
【知识点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【解答】
。
故答案为：1。
【分析】利用已知条件结合指数幂的运算法则，进而化简求值。
21．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；基本不等式
【解析】【解答】
又
根据基本不等式得
，又因为，所以
故答案为：
【分析】化简得到，再根据基本不等式求解.
22．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】由题意得和是方程的两根，则
所以。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法得出和是方程的两根，再利用韦达定理和指数幂的运算法则，进而求出的值。
23．【答案】21
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】因为，所以，即，
所以，。
故答案为：21。
【分析】利用已知条件结合完全平方和公式、立方法公式，进而得出的值。
24．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式=
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则逐步计算即可；
（2）将根式化为分数指数幂，再利用指数幂的运算法则化简即可.
25．【答案】（1）解：
（2）解：．
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）由已知结合分数指数幂与根式的互化即可求解及分数指数幂的运算性质即可求解；
（2）由已知结合分数指数幂与根式的互化即可求解及分数指数幂的运算性质即可求解.
26．【答案】（1）解：因为
，
所以；
（2）解：
，
因为，
所以原式.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；有理数指数幂的化简求值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合指数幂的运算法则得出m的值，进而得出的值。
（2）利用已知条件结合指数幂的运算法则和代入法得出 的值。
27．【答案】（1）解：原式
（2）解：，
则
【知识点】有理数指数幂的化简求值
【解析】【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质进行计算即可；
（2）利用完全平方式结合指数幂的运算质进行计算即可.
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