2023-2024学年高中数学人教A版必修一 4.2 指数函数 同步练习

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2023-2024学年高中数学人教A版必修一 4.2 指数函数 同步练习
一、选择题
1．（2023高一上·宝安期末）已知(，且)，且，则实数a的取值范围是（　　）
A．01 C．a<1 D．a>0
2．（2023高一上·汉滨期末）指数函数与的图象如图所示，则（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023高一上·门头沟期末）函数（且）的图象过定点（　　）
A． B． C． D．
4．（2023高一上·电白期末）若函数在区间上的最大值比最小值大4，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022高一上·重庆市月考）已知函数，则（　　）
A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增
C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减
6．（2022高一上·洛阳期中）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2022高一上·绵阳期中）三个数之间的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．（2022高一上·天津市期中）设，则a，b，c的大小顺序为（　　）
A． B． C． D．
9．（2022高一上·联合期中）已知函数满足（其中），则函数的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2022高一上·吐鲁番期末）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间t（单位：月）的关系为，关于下列说法不正确的是（　　）
A．浮萍每月的增长率为2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍面积超过
D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，、，则
二、多项选择题
11．（2021高一上·兰州期末）已知实数a，b满足等式，则下列关系式中可能成立的是（　　）
A．a>b>0 B．a12．（2023高一上·汕尾期末）下列各式比较大小，正确的是（　　）
A．1.72.5＞1.73 B．
C．1.70.3＞0.93.1 D．
13．（2023高一上·大荔期末）已知实数x，y，z满，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
14．（2023高一上·安徽期末）若函数(且)的图像经过第一、二、三象限，则（　　）
A． B． C． D．
15．（2023高一上·内江期末）给出下列4个命题：其中正确的序号是（　　）
A．若在上是增函数，则
B．函数只有两个零点
C．函数的图像关于直线对称
D．在同一坐标系中，函数与的图像关于轴对称
16．（2023高一上·福田期末）下列说法正确的是（　　）
A．任取，都有
B．函数的最大值为1
C．函数（且）的图象经过定点
D．在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称
三、填空题
17．（2022高一上·陕西月考）若函数且的图象过定点，则的坐标为　 　.
18．（2022高一上·杨浦期末）不等式的解集是　 　.
19．（2022高一上·成都期末）若函数（，且）的图象经过点，则　 　.
20．（2023高一上·内江期末）若函数的定义域为，则该函数的值域是　 　.
21．（2023高一上·闵行期末）已知a是正实数，若，则a的取值范围是　 　．
四、解答题
22．（2021高一上·杭州期中）已知函数 ，其中 是不为零的常数．
（1）若 ，求使得 的实数 的取值范围；
（2）若 在区间 上的最大值为 ，求实数 的值．
23．（2023高一上·温州期末）已知函数为偶函数.
（1）求出a的值，并写出单调区间；
（2）若存在使得不等式成立，求实数b的取值范围.
24．（2023高一上·龙岗期末）已知定义在上的函数为奇函数.
（1）求的值，试判断的单调性，并用定义证明；
（2）若，求的取值范围.
25．（2023高一上·嵩明期末）已知函数的图象经过点．
（1）求实数b；
（2）若，求x的取值集合．
26．（2023高一上·通州期末）已知指数函数满足．
（1）求的解析式；
（2）设函数，若方程有4个不相等的实数解．
（i）求实数的取值范围；
（i i）证明：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由(，且)可知，
当时，为单调递减函数；当时，为单调递增函数，
因为，故为单调递减函数，从而.
故答案为：A.
【分析】根据指数的图象与性质，结合，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】当时，指数函数是增函数；当时，指数函数是减函数，
所以根据函数的图象可知，．
故答案为：C．
【分析】根据指数函数的单调性和函数图象可得答案.
3．【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】由指数函数（且）的图象恒过定点，
所以在函数中，当时，恒有，
所以（且）的图象过定点。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合指数型函数的图象过定点的性质，进而得出函数（且）的图象过的定点坐标。
4．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】∵在R上单调递增，∴在 上单调递增，
∴当x=2时，取得最小值为4；当x=a时，取得最大值为 ，
∴，解得：a=3.
故答案为：C.
【分析】利用指数函数的单调性，分类讨论，求出的最值，进而求得a的值.
5．【答案】B
【知识点】函数奇偶性的判定；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由题知，则，
将代替代入可得：
，
，
，
故为奇函数，
，
单调递增，
单调递增，
故在上单调递增.
故答案为：B
【分析】根据奇偶函数的定义可判断出的奇偶性，再根据指数函数的单调性可判断出答案.
6．【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】因为是上的单调减函数，故，又，则，即.
故答案为：A.
【分析】根据指数函数的单调性，结合指数幂的运算性质，即可求解.
7．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】，
设，此函数在定义域内是单调递增的，
∵，
∴，
∴。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件，设，再结合幂函数的单调性，进而利用幂函数的单调性判断出a，b，c三个数的大小。
8．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为单调递增，所以，
因为单调递减，所以，，
即，
因为，所以，即，
综上所述：。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和与特殊值对应的指数的大小关系比较，进而比较出a，b，c的大小。
9．【答案】C
【知识点】二次函数的性质；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为，则，
因为，则，所以，且函数在上单调递减，
故函数的图象如C选项中的函数图象.
故答案为：C.
【分析】化简函数，得到，进而得到且函数的单调性，即可求解.
10．【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：图象可知，函数过点，
，
函数解析式为，
浮萍每月的增长率为，A符合题意，
函数是指数函数，是曲线型函数，浮萍每月增加的面积不相等，B不符合题意，
当时，，C符合题意，
对于D选项，，，，，
又，，D符合题意，
故答案为：B．
【分析】 先利用特殊点求出函数解析式为，再利用指数函数的性质即可判断出答案.
11．【答案】A,B,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】函数和的图象如图所示：
若a，b均为正数，则a>b>0；
若a，b为负数，则a若a=b=0，则.
故答案为：ABD
【分析】根据题意构造函数结合指数函数的图象和性质，分情况讨论代入验证即可得出答案。
12．【答案】B,C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】解：对于A：∵函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，
∴1.72.5＜1.73，A不符合题意，
对于B：＝，
∵函数y＝2x在R上单调递增，且，
∴＝，B符合题意，
对于C：∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，
∴1.70.3＞0.93.1，C符合题意，
对于D：∵函数y＝在R上单调递减，且，
∴，
又∵函数y＝在（0，+∞）上单调递增，且，
∴，
∴＜，D不符合题意，
故答案为：BC．
【分析】根据指数函数和幂函数的单调性进行判断大小，可得答案.
13．【答案】A,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；不等式比较大小
【解析】【解答】因为，所以，
同除以得：，A符合题意；
，
因为，所以，
故，即，B不符合题意；
在上单调递减，而，故，C不符合题意；
因为，单调递减，
因为，故，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】根据不等式的基本性质得到，可判断A；利用作差法比较大小，可判断B；由幂函数的单调性判断求解，可判断C；利用指数函数的单调性判断求解，可判断D.
14．【答案】B,C
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为函数(且)的图像经过第一、二、三象限，
所以，，
所以是增函数，是减函数，
则，。
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合指数型函数的图象所在的象限，再结合函数的单调性，进而得出，，从而找出正确的选项。
15．【答案】C,D
【知识点】二次函数的性质；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】对于A：若在上是增函数，则，A不符合题意；
对于B：函数，易知，，，，故在上有零点，B不符合题意；
对于C：函数的图像关于直线对称，C符合题意；
对于D：在同一坐标系中，函数与的图像关于y轴对称，根据函数图象知D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】利用二次函数的单调性可判断A；根据零点判定定理可判断B；根据指数函数的图象和性质可判断C，D.
16．【答案】B,C
【知识点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质；图形的对称性
【解析】【解答】A选项：当时，，A不符合题意；
B选项：函数在上单调递增，上单调递减，所以，B符合题意；
C选项：令，则，所以的图象恒过，C符合题意；
D选项：函数图象关于轴对称后的解析式为，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性、函数的单调性求最值的方法、指数型函数的图象恒过定点的方法、两函数的图象关于x轴对称的判断方法，进而找出说法正确的选项。
17．【答案】
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】，恒过定点。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合指数型函数的图象过定点的性质，进而得出点P的坐标。
18．【答案】（-∞，1）
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由，得，
所以，解得，
所以不等式的解集为（-∞，1）。
故答案为：（-∞，1）。
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性，进而得出不等式的解集。
19．【答案】2
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为函数的图象经过点，所以，解得.
故答案为：2.
【分析】 由题意，利用指数函数的单调性和特殊点，求得b的值.
20．【答案】
【知识点】二次函数的性质；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】因为函数，设，则
因为定义域为，
当时， .当时，
所以，又因为单调递增，
即得，函数的值域为
故答案为：
【分析】设，先求出函数t在 上的值域，再利用指数函数的单调性可求出该函数的值域.
21．【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】若，则指数函数在定义域上单调递增，
则不满足题意；
若，则，不满足题意；
若，则指数函数在定义域上单调递减，
则满足题意，所以.
故答案为： .
【分析】利用指数函数的单调性可求出 a的取值范围.
22．【答案】（1）
；
（2）结合复合函数同增异减性质可知，
当 时， 在 上单调递增，此时，
当 时， 在 上单调递减，此时，
综上所述， 或 -14．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；复合函数的单调性；函数的最值及其几何意义；指数函数单调性的应用
【解析】【分析】(1)根据题意把数值代入计算出a的取值，由此得出函数的解析式，然后由指数函数的单调性即可得出关于x的不等式，求解出x的取值范围。
(2)由复合函数的单调性结合指数函数和一次函数的单调性，整理化简计算出函数的最值，由此计算出a的取值。
23．【答案】（1）解：因为，所以，
由偶函数知，解得；
即，由对勾函数知，
当时，即时函数单调递减，当时，即时函数递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：由题意可得，即，
令，；
解一：，则在上有解，即.
若，即，此时，解得，∴；
若，即，此时，解得，此时无解；
综上，；
解二：由得，令，则.
，所以.
解三：由得，令，则，
，所以.
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)根据偶函数的定义列出方程，根据方程恒成立求出a，由对勾函数性质写出单调区间；
(2)化简不等式换元后转化为 ， ，分别考虑二次不等式有解转化为 或分离参数后转化为 ， 利用 ，也可转化为 ，求函数 的最大值，即可得实数b的取值范围.
24．【答案】（1）解：因为函数为上的奇函数，则，即，
即，解得，
所以，，则函数为上的减函数，证明如下：
任取、且，则，
所以，，
则，所以，函数为上的减函数；
（2）解：由且函数为上的减函数，
则，解得，
因此，满足不等式的的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；指数函数单调性的应用
【解析】【分析】（1） 由函数为上的奇函数，求得，得到，结合函数的单调性的定义和判定方法，即可求解；
（2） 由，根据函数的单调性，得到不等式，即可求解.
25．【答案】（1）解：函数经过点，则（），
所以．
（2）解：因为，所以函数在上为减函数，
又因为，所以，即，解得或，
所以的取值集合为．
【知识点】指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合指数型函数图象经过点和代入法，进而得出b的值。
（2）利用已知条件结合指数型函数的单调性，进而得出实数x的取值集合。
26．【答案】（1）解：设（且），
由于，所以，
由于且，所以解得，
所以.
（2）解：（i），
方程有4个不相等的实数解．
即①有4个不相等的实数解．
令，则，
，
当且仅当时等号成立.
所以①化为②，
对于函数，，
所以是偶函数，图象关于轴对称，
当时，令，，，
任取，，
其中，
，所以在上递增，
根据复合函数单调性同增异减可知在上递增；
由于是偶函数，所以在上递减.
所以的最小值是.
所以方程②在上有两个不同的实数根，
所以，解得，
所以的取值范围是.
（i i）由于是偶函数，图象关于轴对称，
所以不妨设，
所以要证明，
即证明，即证明.
设方程②的两个不同的实数根为，则，
，
由整理得，
解得（对应，所以舍去），
所以，
则，
，
由于，
所以，
即，所以．
【知识点】复合函数的单调性；二次函数的性质；指数函数的概念与表示；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据指数函数的知识求得的解析式；
（2）利用换元法，结合指数函数二次函数的性质以及基本不等式求得的取值范围；结合图象、对称性以及放缩法证得.
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2023-2024学年高中数学人教A版必修一 4.2 指数函数 同步练习
一、选择题
1．（2023高一上·宝安期末）已知(，且)，且，则实数a的取值范围是（　　）
A．01 C．a<1 D．a>0
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由(，且)可知，
当时，为单调递减函数；当时，为单调递增函数，
因为，故为单调递减函数，从而.
故答案为：A.
【分析】根据指数的图象与性质，结合，即可求解.
2．（2023高一上·汉滨期末）指数函数与的图象如图所示，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】当时，指数函数是增函数；当时，指数函数是减函数，
所以根据函数的图象可知，．
故答案为：C．
【分析】根据指数函数的单调性和函数图象可得答案.
3．（2023高一上·门头沟期末）函数（且）的图象过定点（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】由指数函数（且）的图象恒过定点，
所以在函数中，当时，恒有，
所以（且）的图象过定点。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合指数型函数的图象过定点的性质，进而得出函数（且）的图象过的定点坐标。
4．（2023高一上·电白期末）若函数在区间上的最大值比最小值大4，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】∵在R上单调递增，∴在 上单调递增，
∴当x=2时，取得最小值为4；当x=a时，取得最大值为 ，
∴，解得：a=3.
故答案为：C.
【分析】利用指数函数的单调性，分类讨论，求出的最值，进而求得a的值.
5．（2022高一上·重庆市月考）已知函数，则（　　）
A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增
C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的判定；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由题知，则，
将代替代入可得：
，
，
，
故为奇函数，
，
单调递增，
单调递增，
故在上单调递增.
故答案为：B
【分析】根据奇偶函数的定义可判断出的奇偶性，再根据指数函数的单调性可判断出答案.
6．（2022高一上·洛阳期中）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】因为是上的单调减函数，故，又，则，即.
故答案为：A.
【分析】根据指数函数的单调性，结合指数幂的运算性质，即可求解.
7．（2022高一上·绵阳期中）三个数之间的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】，
设，此函数在定义域内是单调递增的，
∵，
∴，
∴。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件，设，再结合幂函数的单调性，进而利用幂函数的单调性判断出a，b，c三个数的大小。
8．（2022高一上·天津市期中）设，则a，b，c的大小顺序为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为单调递增，所以，
因为单调递减，所以，，
即，
因为，所以，即，
综上所述：。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和与特殊值对应的指数的大小关系比较，进而比较出a，b，c的大小。
9．（2022高一上·联合期中）已知函数满足（其中），则函数的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的性质；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为，则，
因为，则，所以，且函数在上单调递减，
故函数的图象如C选项中的函数图象.
故答案为：C.
【分析】化简函数，得到，进而得到且函数的单调性，即可求解.
10．（2022高一上·吐鲁番期末）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间t（单位：月）的关系为，关于下列说法不正确的是（　　）
A．浮萍每月的增长率为2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍面积超过
D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，、，则
【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：图象可知，函数过点，
，
函数解析式为，
浮萍每月的增长率为，A符合题意，
函数是指数函数，是曲线型函数，浮萍每月增加的面积不相等，B不符合题意，
当时，，C符合题意，
对于D选项，，，，，
又，，D符合题意，
故答案为：B．
【分析】 先利用特殊点求出函数解析式为，再利用指数函数的性质即可判断出答案.
二、多项选择题
11．（2021高一上·兰州期末）已知实数a，b满足等式，则下列关系式中可能成立的是（　　）
A．a>b>0 B．a【答案】A,B,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】函数和的图象如图所示：
若a，b均为正数，则a>b>0；
若a，b为负数，则a若a=b=0，则.
故答案为：ABD
【分析】根据题意构造函数结合指数函数的图象和性质，分情况讨论代入验证即可得出答案。
12．（2023高一上·汕尾期末）下列各式比较大小，正确的是（　　）
A．1.72.5＞1.73 B．
C．1.70.3＞0.93.1 D．
【答案】B,C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】解：对于A：∵函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，
∴1.72.5＜1.73，A不符合题意，
对于B：＝，
∵函数y＝2x在R上单调递增，且，
∴＝，B符合题意，
对于C：∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，
∴1.70.3＞0.93.1，C符合题意，
对于D：∵函数y＝在R上单调递减，且，
∴，
又∵函数y＝在（0，+∞）上单调递增，且，
∴，
∴＜，D不符合题意，
故答案为：BC．
【分析】根据指数函数和幂函数的单调性进行判断大小，可得答案.
13．（2023高一上·大荔期末）已知实数x，y，z满，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；不等式比较大小
【解析】【解答】因为，所以，
同除以得：，A符合题意；
，
因为，所以，
故，即，B不符合题意；
在上单调递减，而，故，C不符合题意；
因为，单调递减，
因为，故，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】根据不等式的基本性质得到，可判断A；利用作差法比较大小，可判断B；由幂函数的单调性判断求解，可判断C；利用指数函数的单调性判断求解，可判断D.
14．（2023高一上·安徽期末）若函数(且)的图像经过第一、二、三象限，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为函数(且)的图像经过第一、二、三象限，
所以，，
所以是增函数，是减函数，
则，。
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合指数型函数的图象所在的象限，再结合函数的单调性，进而得出，，从而找出正确的选项。
15．（2023高一上·内江期末）给出下列4个命题：其中正确的序号是（　　）
A．若在上是增函数，则
B．函数只有两个零点
C．函数的图像关于直线对称
D．在同一坐标系中，函数与的图像关于轴对称
【答案】C,D
【知识点】二次函数的性质；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】对于A：若在上是增函数，则，A不符合题意；
对于B：函数，易知，，，，故在上有零点，B不符合题意；
对于C：函数的图像关于直线对称，C符合题意；
对于D：在同一坐标系中，函数与的图像关于y轴对称，根据函数图象知D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】利用二次函数的单调性可判断A；根据零点判定定理可判断B；根据指数函数的图象和性质可判断C，D.
16．（2023高一上·福田期末）下列说法正确的是（　　）
A．任取，都有
B．函数的最大值为1
C．函数（且）的图象经过定点
D．在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称
【答案】B,C
【知识点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质；图形的对称性
【解析】【解答】A选项：当时，，A不符合题意；
B选项：函数在上单调递增，上单调递减，所以，B符合题意；
C选项：令，则，所以的图象恒过，C符合题意；
D选项：函数图象关于轴对称后的解析式为，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性、函数的单调性求最值的方法、指数型函数的图象恒过定点的方法、两函数的图象关于x轴对称的判断方法，进而找出说法正确的选项。
三、填空题
17．（2022高一上·陕西月考）若函数且的图象过定点，则的坐标为　 　.
【答案】
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】，恒过定点。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合指数型函数的图象过定点的性质，进而得出点P的坐标。
18．（2022高一上·杨浦期末）不等式的解集是　 　.
【答案】（-∞，1）
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由，得，
所以，解得，
所以不等式的解集为（-∞，1）。
故答案为：（-∞，1）。
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性，进而得出不等式的解集。
19．（2022高一上·成都期末）若函数（，且）的图象经过点，则　 　.
【答案】2
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为函数的图象经过点，所以，解得.
故答案为：2.
【分析】 由题意，利用指数函数的单调性和特殊点，求得b的值.
20．（2023高一上·内江期末）若函数的定义域为，则该函数的值域是　 　.
【答案】
【知识点】二次函数的性质；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】因为函数，设，则
因为定义域为，
当时， .当时，
所以，又因为单调递增，
即得，函数的值域为
故答案为：
【分析】设，先求出函数t在 上的值域，再利用指数函数的单调性可求出该函数的值域.
21．（2023高一上·闵行期末）已知a是正实数，若，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】若，则指数函数在定义域上单调递增，
则不满足题意；
若，则，不满足题意；
若，则指数函数在定义域上单调递减，
则满足题意，所以.
故答案为： .
【分析】利用指数函数的单调性可求出 a的取值范围.
四、解答题
22．（2021高一上·杭州期中）已知函数 ，其中 是不为零的常数．
（1）若 ，求使得 的实数 的取值范围；
（2）若 在区间 上的最大值为 ，求实数 的值．
【答案】（1）
；
（2）结合复合函数同增异减性质可知，
当 时， 在 上单调递增，此时，
当 时， 在 上单调递减，此时，
综上所述， 或 -14．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；复合函数的单调性；函数的最值及其几何意义；指数函数单调性的应用
【解析】【分析】(1)根据题意把数值代入计算出a的取值，由此得出函数的解析式，然后由指数函数的单调性即可得出关于x的不等式，求解出x的取值范围。
(2)由复合函数的单调性结合指数函数和一次函数的单调性，整理化简计算出函数的最值，由此计算出a的取值。
23．（2023高一上·温州期末）已知函数为偶函数.
（1）求出a的值，并写出单调区间；
（2）若存在使得不等式成立，求实数b的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以，
由偶函数知，解得；
即，由对勾函数知，
当时，即时函数单调递减，当时，即时函数递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：由题意可得，即，
令，；
解一：，则在上有解，即.
若，即，此时，解得，∴；
若，即，此时，解得，此时无解；
综上，；
解二：由得，令，则.
，所以.
解三：由得，令，则，
，所以.
【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)根据偶函数的定义列出方程，根据方程恒成立求出a，由对勾函数性质写出单调区间；
(2)化简不等式换元后转化为 ， ，分别考虑二次不等式有解转化为 或分离参数后转化为 ， 利用 ，也可转化为 ，求函数 的最大值，即可得实数b的取值范围.
24．（2023高一上·龙岗期末）已知定义在上的函数为奇函数.
（1）求的值，试判断的单调性，并用定义证明；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为函数为上的奇函数，则，即，
即，解得，
所以，，则函数为上的减函数，证明如下：
任取、且，则，
所以，，
则，所以，函数为上的减函数；
（2）解：由且函数为上的减函数，
则，解得，
因此，满足不等式的的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；指数函数单调性的应用
【解析】【分析】（1） 由函数为上的奇函数，求得，得到，结合函数的单调性的定义和判定方法，即可求解；
（2） 由，根据函数的单调性，得到不等式，即可求解.
25．（2023高一上·嵩明期末）已知函数的图象经过点．
（1）求实数b；
（2）若，求x的取值集合．
【答案】（1）解：函数经过点，则（），
所以．
（2）解：因为，所以函数在上为减函数，
又因为，所以，即，解得或，
所以的取值集合为．
【知识点】指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合指数型函数图象经过点和代入法，进而得出b的值。
（2）利用已知条件结合指数型函数的单调性，进而得出实数x的取值集合。
26．（2023高一上·通州期末）已知指数函数满足．
（1）求的解析式；
（2）设函数，若方程有4个不相等的实数解．
（i）求实数的取值范围；
（i i）证明：．
【答案】（1）解：设（且），
由于，所以，
由于且，所以解得，
所以.
（2）解：（i），
方程有4个不相等的实数解．
即①有4个不相等的实数解．
令，则，
，
当且仅当时等号成立.
所以①化为②，
对于函数，，
所以是偶函数，图象关于轴对称，
当时，令，，，
任取，，
其中，
，所以在上递增，
根据复合函数单调性同增异减可知在上递增；
由于是偶函数，所以在上递减.
所以的最小值是.
所以方程②在上有两个不同的实数根，
所以，解得，
所以的取值范围是.
（i i）由于是偶函数，图象关于轴对称，
所以不妨设，
所以要证明，
即证明，即证明.
设方程②的两个不同的实数根为，则，
，
由整理得，
解得（对应，所以舍去），
所以，
则，
，
由于，
所以，
即，所以．
【知识点】复合函数的单调性；二次函数的性质；指数函数的概念与表示；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据指数函数的知识求得的解析式；
（2）利用换元法，结合指数函数二次函数的性质以及基本不等式求得的取值范围；结合图象、对称性以及放缩法证得.
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