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2023-2024学年高中数学人教A版必修一4.3 对数 同步练习
一、选择题
1．（2023高一上·温州期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高一上·增城期末）声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/），一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，蝙幅发出超声波的声强级为140dB，设蝙蝠发出的超声波的声强为，人能忍受的最高声强为，则=（ ）
A．10 B．100 C．1000 D．10000
3．（2022高一上·如皋期中）的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高一上·阳信期中）若，则（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
5．（2022高一上·南京期中）设，，则=（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高一上·淮安期中）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023高一上·西城期末）设，则（ ）
A．8 B．11 C．12 D．18
8．（2023高一上·岳阳期末）已知且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022高一上·清远月考）区块链作为一种新型技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，若某个密码的长度设定为1024，则密码一共有种可能，为了破解该密码，计算机在一般状态下，最多需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么该计算机在一般状态下破译该密码所需的最长时间大约为（ ）（参考数据：）
A． B．
C． D．
10．（2022高一上·赣州月考）在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长．当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散．而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径．假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者平均会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者可传染的新感染人数为．已知某病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
11．（2022高一上·南山期末）设且，，是正整数，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022高一上·如东期中）已知，则a，b满足的关系有（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022高一上·金坛期中）以下运算中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．
14．（2022高一上·安徽月考）已知，，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023高一上·厦门期末）已知，则下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023高一上·单县期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
17．（2022高一上·贵港期末）若正数满足，则的最大值为 ．
18．（2023高一上·惠来期末） .
19．（2023高一上·保山期末）已知，，则 .
20．（2022高一上·湖南月考）设，则 .
21．（2022高一上·西安月考）设，且，则 ．
22．（2022高一上·盐城期中）若，则 ．
四、解答题
23．（2022高一上·贵港期末）求值：
（1） ；
（2）．
24．（2023高一上·北海期末）
（1）计算：；
（2）求满足的x的值.
25．（2023高一上·红桥月考）
（1）计算：；
（2）已知，且，求a的值．
26．（2022高一上·和平期末）计算：
（1）（式中字母均为正数）；
（2）.
27．（2022高一上·宝鸡期末）计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由可得，，即，
由得，，
根据对数运算法则可知，
即.
故答案为：D
【分析】根据对、指数运算求出a、b，再根据对数运算法则可得出a、b的关系.
2．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】由得到，
将dB代入得：，
将dB代入得：，
故.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合函数的模型和代入法，进而得出的值。
3．【答案】C
【知识点】换底公式的应用
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】利用换底公式进行计算可得答案.
4．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；换底公式的应用
【解析】【解答】∵，
∴.
∴
∴.
故答案为：C
【分析】 根据条件，把指数式化成对数式，结合对数运算性质可得答案.
5．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意知，，
则，
故答案为：D
【分析】 由已知结合对数的运算性质即可求解出答案.
6．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：对于A：，A符合题意；
对于B：，B不符合题意；
对于C：，C不符合题意；
对于D：，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据对数的运算法则及性质判断即可.
7．【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】，则，
，
故答案为：D.
【分析】根据指数幂的运算性质和对数的概念即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；一元二次不等式的解法；基本不等式
【解析】【解答】因为，则且、均为正数，
由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为，所以，，即，解得.
故答案为：C.
【分析】由对数运算性质得，由基本不等式可得，所以，解不等式即可.
9．【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】设计算机在一般状态下破译该密码所需的时间为秒，则有，
两边取常用对数，得
，
所以。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则，进而得出该计算机在一般状态下破译该密码所需的最长时间。
10．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】为了使1个感染者传染人数不超过1，只需，
所以，即，
因为，
所以，解得，
则地疫苗的接种率至少为．
故答案为：A．
【分析】由题意，列出不等式，利用对数的运算性质求出 ，代入不等式中求解 ，即可得到答案.
11．【答案】A,D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】A，由对数的运算性质可得，A符合题意；
B，，B不符合题意；
C，，C不符合题意；
D，，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式即可求解.
12．【答案】A,B,D
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】由，则，
A：，正确；
B：由A知：且，所以，即，故正确，
C：由A、B知：，而，故错误，
D：由上，，故正确.
故答案为：ABD.
【分析】 先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质可判断A；由A可知，再结合基本不等式可判断B、C、D.
13．【答案】A,B,D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】对A，，A符合题意.
对B，，B符合题意.
对C，因为，所以.
因为，
所以，C不符合题意.
对D，
，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】根据指数和对数的运算性质依次判断选项即可.
14．【答案】C,D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于A，，即，，当且仅当等号成立，A不符合题意；
对于B，，，，，，当且仅当等号成立，B不符合题意；
对于C，由A得，，C符合题意；
对于D，由B得，，D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法、对数的运算法则、对数函数的单调性、指数幂的运算法则、指数函数的单调性，进而找出不等式一定成立的选项。
15．【答案】A,C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】由，得，
所以，所以，
所以，
对于A，因为，所以，所以A符合题意，
对于B，因为，所以B不符合题意，
对于C，因为，所以，所以C符合题意，
对于D，因为，所以，所以D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】由已知条件可得，利用对数的运算性质逐项进行判断，可得答案.
16．【答案】A,C
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】，A符合题意；
，B不符合题意；
根据对数恒等式可知，，C符合题意；
根据换底公式可得：，D不符合题意．
故答案为：AC
【分析】 根据对数的运算性质、对数的运算法则，换底公式逐项进行判断，即可得答案.
17．【答案】4
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题意得，即，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
即的最大值为4，
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法和对数的运算法则，进而得出的最大值。
18．【答案】9
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】原式.
故答案为：9.
【分析】利用已知条件结合指数幂的运算法则、换底公式和对数的运算法则，进而化简求值。
19．【答案】2
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】因，则，又，
所以.
故答案为：2
【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化及对数运算法则计算作答.
20．【答案】
【知识点】有理数指数幂的化简求值；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】因为，所以，所以，所以，
故答案为：.
另解：由可得，
所以，则，
故答案为：.
【分析】根据，所以，所以，根据指数幂的运算即可得答案.
21．【答案】20
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】依题意有
.
故答案为：20
【分析】利用指对互化可得，再根据对数的运算性质可求出m的值.
22．【答案】3
【知识点】有理数指数幂的化简求值；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】因为，所以，，
此时，化简得，
所以，，
所以3.
故答案为：3.
【分析】根据已知条件，将对数化成指数关系，然后对等，找到a. b之间等量关系，代入到a，b，c三者关系中，找到b， c的关系，即可求解出的值.
23．【答案】（1）解：原式＝；
（2）解：原式＝．
【知识点】有理数指数幂的化简求值；换底公式的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合指数幂的运算法则和根式与指数幂的互化公式，进而化简求值。
（2）利用已知条件结合指数恒等式和对数的运算法则以及换底公式，进而化简求值。
24．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：因为，所以，
所以，则
【知识点】指数式与对数式的互化；换底公式的应用
【解析】【分析】（1）利用换底公式化简计算即可；
（2）利用对数的运算法则进行计算即可.
25．【答案】（1）解：
（2）解：设，
所以，.
所以，即.
所以.
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【分析】 (1)根据对数函数的运算性质，计算即可；
(2) 设， 根据换底公式结合对数的运算性质求出k的值，可得 a的值．
26．【答案】（1）解：原式.
（2）解：
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据指数运算求得正确答案；
（2）根据对数运算求得正确答案.
27．【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂及根式运算法则进行计算；
（2）利用对数运算性质计算出答案.
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2023-2024学年高中数学人教A版必修一4.3 对数 同步练习
一、选择题
1．（2023高一上·温州期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由可得，，即，
由得，，
根据对数运算法则可知，
即.
故答案为：D
【分析】根据对、指数运算求出a、b，再根据对数运算法则可得出a、b的关系.
2．（2023高一上·增城期末）声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/），一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，蝙幅发出超声波的声强级为140dB，设蝙蝠发出的超声波的声强为，人能忍受的最高声强为，则=（ ）
A．10 B．100 C．1000 D．10000
【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】由得到，
将dB代入得：，
将dB代入得：，
故.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合函数的模型和代入法，进而得出的值。
3．（2022高一上·如皋期中）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】换底公式的应用
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】利用换底公式进行计算可得答案.
4．（2022高一上·阳信期中）若，则（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；换底公式的应用
【解析】【解答】∵，
∴.
∴
∴.
故答案为：C
【分析】 根据条件，把指数式化成对数式，结合对数运算性质可得答案.
5．（2022高一上·南京期中）设，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意知，，
则，
故答案为：D
【分析】 由已知结合对数的运算性质即可求解出答案.
6．（2022高一上·淮安期中）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：对于A：，A符合题意；
对于B：，B不符合题意；
对于C：，C不符合题意；
对于D：，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据对数的运算法则及性质判断即可.
7．（2023高一上·西城期末）设，则（ ）
A．8 B．11 C．12 D．18
【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】，则，
，
故答案为：D.
【分析】根据指数幂的运算性质和对数的概念即可求出答案.
8．（2023高一上·岳阳期末）已知且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；一元二次不等式的解法；基本不等式
【解析】【解答】因为，则且、均为正数，
由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为，所以，，即，解得.
故答案为：C.
【分析】由对数运算性质得，由基本不等式可得，所以，解不等式即可.
9．（2022高一上·清远月考）区块链作为一种新型技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，若某个密码的长度设定为1024，则密码一共有种可能，为了破解该密码，计算机在一般状态下，最多需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么该计算机在一般状态下破译该密码所需的最长时间大约为（ ）（参考数据：）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】设计算机在一般状态下破译该密码所需的时间为秒，则有，
两边取常用对数，得
，
所以。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则，进而得出该计算机在一般状态下破译该密码所需的最长时间。
10．（2022高一上·赣州月考）在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长．当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散．而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径．假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者平均会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者可传染的新感染人数为．已知某病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】为了使1个感染者传染人数不超过1，只需，
所以，即，
因为，
所以，解得，
则地疫苗的接种率至少为．
故答案为：A．
【分析】由题意，列出不等式，利用对数的运算性质求出 ，代入不等式中求解 ，即可得到答案.
二、多项选择题
11．（2022高一上·南山期末）设且，，是正整数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】A，由对数的运算性质可得，A符合题意；
B，，B不符合题意；
C，，C不符合题意；
D，，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式即可求解.
12．（2022高一上·如东期中）已知，则a，b满足的关系有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】由，则，
A：，正确；
B：由A知：且，所以，即，故正确，
C：由A、B知：，而，故错误，
D：由上，，故正确.
故答案为：ABD.
【分析】 先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质可判断A；由A可知，再结合基本不等式可判断B、C、D.
13．（2022高一上·金坛期中）以下运算中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．
【答案】A,B,D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】对A，，A符合题意.
对B，，B符合题意.
对C，因为，所以.
因为，
所以，C不符合题意.
对D，
，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】根据指数和对数的运算性质依次判断选项即可.
14．（2022高一上·安徽月考）已知，，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C,D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于A，，即，，当且仅当等号成立，A不符合题意；
对于B，，，，，，当且仅当等号成立，B不符合题意；
对于C，由A得，，C符合题意；
对于D，由B得，，D符合题意.
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法、对数的运算法则、对数函数的单调性、指数幂的运算法则、指数函数的单调性，进而找出不等式一定成立的选项。
15．（2023高一上·厦门期末）已知，则下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】由，得，
所以，所以，
所以，
对于A，因为，所以，所以A符合题意，
对于B，因为，所以B不符合题意，
对于C，因为，所以，所以C符合题意，
对于D，因为，所以，所以D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】由已知条件可得，利用对数的运算性质逐项进行判断，可得答案.
16．（2023高一上·单县期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】，A符合题意；
，B不符合题意；
根据对数恒等式可知，，C符合题意；
根据换底公式可得：，D不符合题意．
故答案为：AC
【分析】 根据对数的运算性质、对数的运算法则，换底公式逐项进行判断，即可得答案.
三、填空题
17．（2022高一上·贵港期末）若正数满足，则的最大值为 ．
【答案】4
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题意得，即，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
即的最大值为4，
故答案为：4。
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法和对数的运算法则，进而得出的最大值。
18．（2023高一上·惠来期末） .
【答案】9
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】原式.
故答案为：9.
【分析】利用已知条件结合指数幂的运算法则、换底公式和对数的运算法则，进而化简求值。
19．（2023高一上·保山期末）已知，，则 .
【答案】2
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】因，则，又，
所以.
故答案为：2
【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化及对数运算法则计算作答.
20．（2022高一上·湖南月考）设，则 .
【答案】
【知识点】有理数指数幂的化简求值；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】因为，所以，所以，所以，
故答案为：.
另解：由可得，
所以，则，
故答案为：.
【分析】根据，所以，所以，根据指数幂的运算即可得答案.
21．（2022高一上·西安月考）设，且，则 ．
【答案】20
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】依题意有
.
故答案为：20
【分析】利用指对互化可得，再根据对数的运算性质可求出m的值.
22．（2022高一上·盐城期中）若，则 ．
【答案】3
【知识点】有理数指数幂的化简求值；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】因为，所以，，
此时，化简得，
所以，，
所以3.
故答案为：3.
【分析】根据已知条件，将对数化成指数关系，然后对等，找到a. b之间等量关系，代入到a，b，c三者关系中，找到b， c的关系，即可求解出的值.
四、解答题
23．（2022高一上·贵港期末）求值：
（1） ；
（2）．
【答案】（1）解：原式＝；
（2）解：原式＝．
【知识点】有理数指数幂的化简求值；换底公式的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合指数幂的运算法则和根式与指数幂的互化公式，进而化简求值。
（2）利用已知条件结合指数恒等式和对数的运算法则以及换底公式，进而化简求值。
24．（2023高一上·北海期末）
（1）计算：；
（2）求满足的x的值.
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：因为，所以，
所以，则
【知识点】指数式与对数式的互化；换底公式的应用
【解析】【分析】（1）利用换底公式化简计算即可；
（2）利用对数的运算法则进行计算即可.
25．（2023高一上·红桥月考）
（1）计算：；
（2）已知，且，求a的值．
【答案】（1）解：
（2）解：设，
所以，.
所以，即.
所以.
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【分析】 (1)根据对数函数的运算性质，计算即可；
(2) 设， 根据换底公式结合对数的运算性质求出k的值，可得 a的值．
26．（2022高一上·和平期末）计算：
（1）（式中字母均为正数）；
（2）.
【答案】（1）解：原式.
（2）解：
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据指数运算求得正确答案；
（2）根据对数运算求得正确答案.
27．（2022高一上·宝鸡期末）计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂及根式运算法则进行计算；
（2）利用对数运算性质计算出答案.
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