2023-2024学年高中数学人教A版必修一4.4 对数函数 同步练习
一、选择题
1．（2023高一上·内江期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】，
，即
所以
故答案为：C
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解，可得答案.
2．（2022高一上·太原期末）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数函数的概念与表示
【解析】【解答】要使函数有意义，则
，解得，
∴函数的定义域是，
故答案为：D
【分析】由函数定义域的求法：被开方数大于等于零以及真数大于零，由此得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围，进而得出函数的定义域。
3．（2022高一上·泸州期末）已知实数，，满足（其中为自然对数的底数），则下列关系中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意得，且.
分别作出的图象，如图，
易得的图象关于直线对称，
直线与图象的交点的横坐标分别为，
数形结合可得，，均可能成立，不可能成立，
故答案为：A
【分析】由已知条件结合对数函数、指数函数以及一次函数的图象，作出函数的图象结合数形结合法即可比较出大小，从而得出答案。
4．（2022高一上·杨浦期末）若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】A
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意得：，解得：。
故答案为：A.
【分析】利用对数型函数的定义域和对数函数的单调性，进而结合交集的运算法则，从而得出实数x的取值范围。
5．（2022高一上·怀仁期末）已知在上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数函数的值域与最值；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，所以为减函数，而当时，是增函数，所以是减函数，于是；由，得在上恒成立，所以.
故答案为：B
【分析】根据题意由复合函数的单调性结合对数函数和一次函数的单调性，整理化简即可得出答案。
6．（2023高一上·官渡期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；互为反函数的两个函数之间的关系；图形的对称性
【解析】【解答】由题意，函数与互为反函数，则，
所以，
由，解得或，即函数的定义域为或，
令，
当时，单调递减；当时，单调递增，
又在上单调递增，
所以的单调递增区间为.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合反函数的图象的对称性和复合函数的单调性，进而得出函数的单调递增区间。
7．（2023高一上·大荔期末）“”是“”的（ ）
A．必要不充分条性 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意得，根据，，
解得，
又由，解得，
所以使得成立，而不能推出成立；
故是“”的必要不充分条件．
故答案为：A．
【分析】根据对数的性质结合充分条件、必要条件的定义，可得答案.
8．（2023高一上·青岛期末）已知函数的定义域为，图象恒过点，对任意，都有则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为对任意，都有，即
即函数在R上是增函数.
若，即
即，，
故答案为：D
【分析】判断出函数在R上是增函数，又，求得，从而求得x的范围.
二、多项选择题
9．（2023高一上·十堰期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，所以，即.
因为，所以.
故答案为：ABD.
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小，可得答案.
10．（2023高一上·深圳期末）已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；基本不等式在最值问题中的应用；不等式的基本性质
【解析】【解答】因为，所以，
不妨令，则，故，A不符合题意，
因为在上单调递减，故，B符合题意；
因为，C符合题意；
若，因为，故，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合对数函数的单调性得出a，b的大小关系、再结合幂函数的单调性、均值不等式求最值的方法、不等式的基本性质，进而找出说法正确的选项。
11．（2023高一上·大荔期末）下列选项中正确的有（ ）
A．函数（且）的图象过定点
B．已知函数的定义域是，则函数的定义域是
C．已知函数是定义在上的奇函数，当时，则当时，的解析式为
D．若，则
【答案】A,C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】A：令，解得，所以函数经过定点，A符合题意；
B：由，可得，，可得，B不符合题意；
C：当时，，由条件可知，C符合题意；
D：构造，由指、对数函数的单调性可知在上是减函数，即，所以，
所以，又因为单调递增，即，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】利用对数函数过定点的性质进行判断A；结合函数奇偶性的性质求解解析式，可判断B；根据对数的性质进行求解，可判断C；构造函数，利用函数的单调性进行判断D.
12．（2023高一上·桐柏期末）下列说法正确的是（ ）
A．函数的增区间是
B．函数是偶函数
C．函数的减区间是
D．幂函数图象必过原点
【答案】B,C
【知识点】复合函数的单调性；函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】对于A，由解得或，
∴定义域为，
令，则当时，单调递增，
令，其图象为开口向上，对称轴为直线的抛物线，当时，单调递减，当时，单调递增，
又∵定义域为，
∴由复合函数的单调性知，的增区间是，A不符合题意；
对于B，令，定义域为，，都有，
且，∴是偶函数，B符合题意；
对于C，定义域为，
令，则当时，单调递减，
令，由A选项的判断过程，当时，单调递减，当时，单调递增，
∴由复合函数的单调性知，的减区间是，C符合题意；
对于D，幂函数的定义域为，其图象不过原点，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据对数函数的单调性结合复合函数的单调性可判断A；根据函数的奇偶性的定义可判断B；根据指数函数的单调性结合复合函数的单调性可判断C；根据幂函数的图象和性质可判断D.
三、填空题
13．（2023高一上·宝安期末）已知集合，，则 ．
【答案】
【知识点】交集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由题意得：
又为增函数，为减函数
，
，
故答案为：
【分析】根据指数函数与对数函数的性质，求得集合，，结合集合交集的概念与运算，即可求解.
14．（2023高一上·大荔期末）设方程的解为，方程的解为，则 ．
【答案】6
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】由方程得，由方程得.
由于与互为反函数，图像关于对称.
如图示，的根为点A的横坐标，的根为点B的横坐标，
因为与图像关于对称，且与垂直，所以
两点为与的交点，且关于对称.
由解得：，则．
故答案为：6．
【分析】由于与互为反函数，图像关于对称，且与垂直，可得，求解可得x的值，进而得答案.
15．（2023高一上·张家口期末）函数的值域为 .
【答案】
【知识点】对数函数的值域与最值
【解析】【解答】函数的定义域为，
令，则，
因为，所以，即，
所以，即，
所以函数的值域为，
故答案为：
【分析】利用换元法结合对数函数和指数函数的性质求解即可.
16．（2022高一上·深圳期中）不等式的解集为 .
【答案】
【知识点】二次函数的性质；对数函数的图象与性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】根据对数函数性质可知
令
根据幂函数单调性可知在单调递减，所以在单调递减且，当时，时
令，当时，时
因此当时，
故答案为：
【分析】根据对数函数性质可的x的范围，令，根据幂函数单调性可得在单调递减且，令，求解可得不等式的解集.
四、解答题
17．（2023高一上·太康期末）已知函数．
（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性(并予以证明)；
（2）求使的x的取值范围．
【答案】（1）解：由题意，函数，
使函数有意义，必须有，解得，
所以函数的定义域是，所以定义域关于原点对称，
所以
所以函数是奇函数.
（2）解：由，可得，
当时，可得，解得的取值范围是(0，)．
当时，有，解得的取值范围是(－，0)．
综上所述，当时，x的取值范围是(0，)，当时，x的取值范围是．
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；对数函数的图象与性质；函数最值的应用
【解析】【分析】（1） 根据对数函数的性质，要使函数有意义，列出不等式组，求得函数的定义域，结合偶函数的定义与判定的方法，即可得到函数是奇函数；
（2） 根据题意，转化为，分和，两种情况，结合对数函数的性质，列出不等式组，即可求解.
18．（2023高一上·定州期末）已知函数，x∈[，9].
（1）当a=0时，求函数f(x)的值域；
（2）若函数f(x)的最小值为-6，求实数a的值.
【答案】（1）解：当a=0时，，x∈[，9].
∴，，
∴，
∴函数f(x)的值域为；
（2）解：令，
即函数的最小值为，
函数图象的对称轴为，
当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，
解得（舍）；
综上，实数a的值为或.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；对数函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由题意可得，结合定义域，可得函数的值域；
（2） 令，即函数的最小值为， 根据二次函数的性质，分类讨论，，，即可得到结果.
19．（2023高一上·保山期末）已知函数（）.
（1）当时，解关于的不等式：；
（2）若在时都有意义，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
因为在上单调递增，且，
由得，解得：，
即不等式解集为.
（2）解：在时都有意义，即在上恒成立，
即在时恒成立，
即在时恒成立，
令，，则只需即可，
令，，
∵，，
当且仅当，，且，即时等号成立，
∴，
∴，即最大值为1，
∴，
∴的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；对数函数的单调区间
【解析】【分析】（1） 时，， 再根据结合对数函数的单调性得到，即可求解；
（2） 在时都有意义，即在上恒成立，即在时恒成立，分离参数得 在时恒成立， 构造函数，
（），则只需即可，利用换元法令，， 结合基本不等式即可求解.
20．（2023高一上·榆林期末）已知是对数函数.
（1）求a的值.
（2）函数，，是否存在正实数k，使得有解？若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：因为是对数函数，所以，
解得.
（2）解：由（1）知，
，，
令，因为，，
所以t在上单调递增，且.
令，因为在上单调递增，
所以，.
因为有解，所以，
解得，即k的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；对数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据对数函数的定义及定义域得， 解得；
（2） 由（1）知，，，令，由二次函数的性质得t在上单调递增，且，令，根据对数函数单调性得，计算计算求解即可.
21．（2023高一上·西安期末）已知函数．
（1）若的定义域为，求a的取值范围；
（2）若的值域为，求a的取值范围：
（3）若，求的值域：
【答案】（1）解：的定义域为等价于恒成立，
则，解得；
（2）解：的值域为等价于是值域的子集，
即存在，使得成立，
则，解得；
（3）解：时，，
，又是递增函数，
故，故的值域为.
【知识点】对数函数的概念与表示；对数函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）的定义域为等价于恒成立， 进而求解；
（2） 的值域为 ，等价于存在，使得成立， 进而求解即可；
（3） 时，先计算得，再借助的单调性进行求解.
22．（2023高一上·增城期末）已知函数.
（1）若函数的图像过点，求b的值：
（2）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，求a的值．
【答案】（1）解：因为函数的图像过点，
所以，
即；
（2）解：因为，函数在区间上的最大值与最小值的差为2，
因为，故在上是增函数，
所以，
解得.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数的解析式代入法得出实数b的值。
（2）利用已知条件结合对数型函数的图象判断出函数的单调性，进而得出函数的最值，从而得出实数a的值。
23．（2023高一上·延庆期末）已知函数．
（1）当时，求的反函数；
（2）若时的最小值是，求解析式．
【答案】（1）解：当时，.
所以，
所以，
所以或，
此时是两个对着同一个，因此不是单调函数，
因此，没有反函数；
（2）解：令，则原函数可化为.
因为，
所以，即.
因为二次函数的对称轴为，
①当，即时，有最小值.
②当，即时，有最小值.
③当，即时，有最小值.
综上的最小值的解析式为
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【分析】(1)利用a的值得出函数的解析式，再结合反函数求解方法得出函数f(x)的反函数。
（2） 令，则原函数可化为，再利用结合指数函数的单调性，进而得出t的取值范围，再结合二次函数的对称性结合分类讨论的方法，再利用二次函数的开口方向判断出二次函数的单调性，进而得出二次函数的最小值，从而得出函数的最小值的解析式。
24．（2023高一上·孝义期末）已知函数，函数．
（1）若的值域为R，求实数m的取值范围；
（2）当时，求函数的最小值h(a)；
（3）是否存在非负实数m，n，使得函数的定义域为[m，n]，值域为[3m，3n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由．
【答案】（1）解：由，所以
又的值域为，
则的值域应该包含
当时，，满足
当时，则
综上：.
（2）解：令，则，
所以在最小值
等价于在的最小值，
对称轴为，
当时，在递增，
则在处有最小值，
当时，则在处有最小值，
当时，在递减，
则在处有最小值，
综上：.
（3）解：存在.
①
由为非负实数，所以①在单调递增
又值域为，所以
所以存在，当时，
函数在上，值域为.
【知识点】函数的值域；二次函数的性质；对数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据等价转化的方法，得到的值域应该包含 ，然后利用分类讨论的方法，或，并结合二次函数的图象与性质，可得结果；
（2）利用换元法，可得，然后根据讨论对称轴与区间的位置关系，根据函数单调性，可得结果；
（3）化简式子可得，，然后根据讨论对称轴与区间的位置关系，根据函数单调性，可得结果.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版必修一4.4 对数函数 同步练习
一、选择题
1．（2023高一上·内江期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高一上·太原期末）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高一上·泸州期末）已知实数，，满足（其中为自然对数的底数），则下列关系中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高一上·杨浦期末）若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
5．（2022高一上·怀仁期末）已知在上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高一上·官渡期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高一上·大荔期末）“”是“”的（ ）
A．必要不充分条性 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．不充分也不必要条件
8．（2023高一上·青岛期末）已知函数的定义域为，图象恒过点，对任意，都有则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．（2023高一上·十堰期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高一上·深圳期末）已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
11．（2023高一上·大荔期末）下列选项中正确的有（ ）
A．函数（且）的图象过定点
B．已知函数的定义域是，则函数的定义域是
C．已知函数是定义在上的奇函数，当时，则当时，的解析式为
D．若，则
12．（2023高一上·桐柏期末）下列说法正确的是（ ）
A．函数的增区间是
B．函数是偶函数
C．函数的减区间是
D．幂函数图象必过原点
三、填空题
13．（2023高一上·宝安期末）已知集合，，则 ．
14．（2023高一上·大荔期末）设方程的解为，方程的解为，则 ．
15．（2023高一上·张家口期末）函数的值域为 .
16．（2022高一上·深圳期中）不等式的解集为 .
四、解答题
17．（2023高一上·太康期末）已知函数．
（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性(并予以证明)；
（2）求使的x的取值范围．
18．（2023高一上·定州期末）已知函数，x∈[，9].
（1）当a=0时，求函数f(x)的值域；
（2）若函数f(x)的最小值为-6，求实数a的值.
19．（2023高一上·保山期末）已知函数（）.
（1）当时，解关于的不等式：；
（2）若在时都有意义，求实数的取值范围.
20．（2023高一上·榆林期末）已知是对数函数.
（1）求a的值.
（2）函数，，是否存在正实数k，使得有解？若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由.
21．（2023高一上·西安期末）已知函数．
（1）若的定义域为，求a的取值范围；
（2）若的值域为，求a的取值范围：
（3）若，求的值域：
22．（2023高一上·增城期末）已知函数.
（1）若函数的图像过点，求b的值：
（2）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，求a的值．
23．（2023高一上·延庆期末）已知函数．
（1）当时，求的反函数；
（2）若时的最小值是，求解析式．
24．（2023高一上·孝义期末）已知函数，函数．
（1）若的值域为R，求实数m的取值范围；
（2）当时，求函数的最小值h(a)；
（3）是否存在非负实数m，n，使得函数的定义域为[m，n]，值域为[3m，3n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】，
，即
所以
故答案为：C
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解，可得答案.
2．【答案】D
【知识点】对数函数的概念与表示
【解析】【解答】要使函数有意义，则
，解得，
∴函数的定义域是，
故答案为：D
【分析】由函数定义域的求法：被开方数大于等于零以及真数大于零，由此得出关于x的不等式组，求解出x的取值范围，进而得出函数的定义域。
3．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意得，且.
分别作出的图象，如图，
易得的图象关于直线对称，
直线与图象的交点的横坐标分别为，
数形结合可得，，均可能成立，不可能成立，
故答案为：A
【分析】由已知条件结合对数函数、指数函数以及一次函数的图象，作出函数的图象结合数形结合法即可比较出大小，从而得出答案。
4．【答案】A
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意得：，解得：。
故答案为：A.
【分析】利用对数型函数的定义域和对数函数的单调性，进而结合交集的运算法则，从而得出实数x的取值范围。
5．【答案】B
【知识点】对数函数的值域与最值；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，所以为减函数，而当时，是增函数，所以是减函数，于是；由，得在上恒成立，所以.
故答案为：B
【分析】根据题意由复合函数的单调性结合对数函数和一次函数的单调性，整理化简即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；互为反函数的两个函数之间的关系；图形的对称性
【解析】【解答】由题意，函数与互为反函数，则，
所以，
由，解得或，即函数的定义域为或，
令，
当时，单调递减；当时，单调递增，
又在上单调递增，
所以的单调递增区间为.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合反函数的图象的对称性和复合函数的单调性，进而得出函数的单调递增区间。
7．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题意得，根据，，
解得，
又由，解得，
所以使得成立，而不能推出成立；
故是“”的必要不充分条件．
故答案为：A．
【分析】根据对数的性质结合充分条件、必要条件的定义，可得答案.
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为对任意，都有，即
即函数在R上是增函数.
若，即
即，，
故答案为：D
【分析】判断出函数在R上是增函数，又，求得，从而求得x的范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，所以，即.
因为，所以.
故答案为：ABD.
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小，可得答案.
10．【答案】B,C,D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用；基本不等式在最值问题中的应用；不等式的基本性质
【解析】【解答】因为，所以，
不妨令，则，故，A不符合题意，
因为在上单调递减，故，B符合题意；
因为，C符合题意；
若，因为，故，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合对数函数的单调性得出a，b的大小关系、再结合幂函数的单调性、均值不等式求最值的方法、不等式的基本性质，进而找出说法正确的选项。
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】A：令，解得，所以函数经过定点，A符合题意；
B：由，可得，，可得，B不符合题意；
C：当时，，由条件可知，C符合题意；
D：构造，由指、对数函数的单调性可知在上是减函数，即，所以，
所以，又因为单调递增，即，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】利用对数函数过定点的性质进行判断A；结合函数奇偶性的性质求解解析式，可判断B；根据对数的性质进行求解，可判断C；构造函数，利用函数的单调性进行判断D.
12．【答案】B,C
【知识点】复合函数的单调性；函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】对于A，由解得或，
∴定义域为，
令，则当时，单调递增，
令，其图象为开口向上，对称轴为直线的抛物线，当时，单调递减，当时，单调递增，
又∵定义域为，
∴由复合函数的单调性知，的增区间是，A不符合题意；
对于B，令，定义域为，，都有，
且，∴是偶函数，B符合题意；
对于C，定义域为，
令，则当时，单调递减，
令，由A选项的判断过程，当时，单调递减，当时，单调递增，
∴由复合函数的单调性知，的减区间是，C符合题意；
对于D，幂函数的定义域为，其图象不过原点，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据对数函数的单调性结合复合函数的单调性可判断A；根据函数的奇偶性的定义可判断B；根据指数函数的单调性结合复合函数的单调性可判断C；根据幂函数的图象和性质可判断D.
13．【答案】
【知识点】交集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由题意得：
又为增函数，为减函数
，
，
故答案为：
【分析】根据指数函数与对数函数的性质，求得集合，，结合集合交集的概念与运算，即可求解.
14．【答案】6
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】由方程得，由方程得.
由于与互为反函数，图像关于对称.
如图示，的根为点A的横坐标，的根为点B的横坐标，
因为与图像关于对称，且与垂直，所以
两点为与的交点，且关于对称.
由解得：，则．
故答案为：6．
【分析】由于与互为反函数，图像关于对称，且与垂直，可得，求解可得x的值，进而得答案.
15．【答案】
【知识点】对数函数的值域与最值
【解析】【解答】函数的定义域为，
令，则，
因为，所以，即，
所以，即，
所以函数的值域为，
故答案为：
【分析】利用换元法结合对数函数和指数函数的性质求解即可.
16．【答案】
【知识点】二次函数的性质；对数函数的图象与性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】根据对数函数性质可知
令
根据幂函数单调性可知在单调递减，所以在单调递减且，当时，时
令，当时，时
因此当时，
故答案为：
【分析】根据对数函数性质可的x的范围，令，根据幂函数单调性可得在单调递减且，令，求解可得不等式的解集.
17．【答案】（1）解：由题意，函数，
使函数有意义，必须有，解得，
所以函数的定义域是，所以定义域关于原点对称，
所以
所以函数是奇函数.
（2）解：由，可得，
当时，可得，解得的取值范围是(0，)．
当时，有，解得的取值范围是(－，0)．
综上所述，当时，x的取值范围是(0，)，当时，x的取值范围是．
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；对数函数的图象与性质；函数最值的应用
【解析】【分析】（1） 根据对数函数的性质，要使函数有意义，列出不等式组，求得函数的定义域，结合偶函数的定义与判定的方法，即可得到函数是奇函数；
（2） 根据题意，转化为，分和，两种情况，结合对数函数的性质，列出不等式组，即可求解.
18．【答案】（1）解：当a=0时，，x∈[，9].
∴，，
∴，
∴函数f(x)的值域为；
（2）解：令，
即函数的最小值为，
函数图象的对称轴为，
当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，
解得（舍）；
综上，实数a的值为或.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；对数函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由题意可得，结合定义域，可得函数的值域；
（2） 令，即函数的最小值为， 根据二次函数的性质，分类讨论，，，即可得到结果.
19．【答案】（1）解：当时，，
因为在上单调递增，且，
由得，解得：，
即不等式解集为.
（2）解：在时都有意义，即在上恒成立，
即在时恒成立，
即在时恒成立，
令，，则只需即可，
令，，
∵，，
当且仅当，，且，即时等号成立，
∴，
∴，即最大值为1，
∴，
∴的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；对数函数的单调区间
【解析】【分析】（1） 时，， 再根据结合对数函数的单调性得到，即可求解；
（2） 在时都有意义，即在上恒成立，即在时恒成立，分离参数得 在时恒成立， 构造函数，
（），则只需即可，利用换元法令，， 结合基本不等式即可求解.
20．【答案】（1）解：因为是对数函数，所以，
解得.
（2）解：由（1）知，
，，
令，因为，，
所以t在上单调递增，且.
令，因为在上单调递增，
所以，.
因为有解，所以，
解得，即k的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；对数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据对数函数的定义及定义域得， 解得；
（2） 由（1）知，，，令，由二次函数的性质得t在上单调递增，且，令，根据对数函数单调性得，计算计算求解即可.
21．【答案】（1）解：的定义域为等价于恒成立，
则，解得；
（2）解：的值域为等价于是值域的子集，
即存在，使得成立，
则，解得；
（3）解：时，，
，又是递增函数，
故，故的值域为.
【知识点】对数函数的概念与表示；对数函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）的定义域为等价于恒成立， 进而求解；
（2） 的值域为 ，等价于存在，使得成立， 进而求解即可；
（3） 时，先计算得，再借助的单调性进行求解.
22．【答案】（1）解：因为函数的图像过点，
所以，
即；
（2）解：因为，函数在区间上的最大值与最小值的差为2，
因为，故在上是增函数，
所以，
解得.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数的解析式代入法得出实数b的值。
（2）利用已知条件结合对数型函数的图象判断出函数的单调性，进而得出函数的最值，从而得出实数a的值。
23．【答案】（1）解：当时，.
所以，
所以，
所以或，
此时是两个对着同一个，因此不是单调函数，
因此，没有反函数；
（2）解：令，则原函数可化为.
因为，
所以，即.
因为二次函数的对称轴为，
①当，即时，有最小值.
②当，即时，有最小值.
③当，即时，有最小值.
综上的最小值的解析式为
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【分析】(1)利用a的值得出函数的解析式，再结合反函数求解方法得出函数f(x)的反函数。
（2） 令，则原函数可化为，再利用结合指数函数的单调性，进而得出t的取值范围，再结合二次函数的对称性结合分类讨论的方法，再利用二次函数的开口方向判断出二次函数的单调性，进而得出二次函数的最小值，从而得出函数的最小值的解析式。
24．【答案】（1）解：由，所以
又的值域为，
则的值域应该包含
当时，，满足
当时，则
综上：.
（2）解：令，则，
所以在最小值
等价于在的最小值，
对称轴为，
当时，在递增，
则在处有最小值，
当时，则在处有最小值，
当时，在递减，
则在处有最小值，
综上：.
（3）解：存在.
①
由为非负实数，所以①在单调递增
又值域为，所以
所以存在，当时，
函数在上，值域为.
【知识点】函数的值域；二次函数的性质；对数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据等价转化的方法，得到的值域应该包含 ，然后利用分类讨论的方法，或，并结合二次函数的图象与性质，可得结果；
（2）利用换元法，可得，然后根据讨论对称轴与区间的位置关系，根据函数单调性，可得结果；
（3）化简式子可得，，然后根据讨论对称轴与区间的位置关系，根据函数单调性，可得结果.
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