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2023-2024学年高中数学人教A版必修一 4.5 函数的应用（二）同步练习
一、选择题
1．（2023高一上·东莞期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高一上·岳阳期末）函数在下列区间中存在零点的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高一上·河南月考）利用二分法求方程的近似解时，若第一次确定的有解区间是，则第二次确定的有解区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高一上·太原期末）已知若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是（ ）
A．{-1} B．
C． D．
5．（2023高一上·玉溪期末）已知f(x)的定义域为R，且是最小正周期为2的周期函数.当时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间［0，6］上与x轴的交点个数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．（2022高一上·杭州期末）函数，若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023高一上·钦州期末）若直角坐标平面内的两点、满足条件：①、都在函数的图象上；②、关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（点对与看作同一对“友好点对”）．已知函数，则此函数的“友好点对”有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
8．（2023高一上·东莞期末）已知定义在上的函数满足①；②，则函数与的图象在区间［－3，3]上的交点个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．（2023高一上·福田期末）设函数，若关于x的方程有4个不等实根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高一上·北碚期末）函数的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多项选择题
11．（2023高一上·龙岗期末）已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A． B．函数是定义域上的增函数
C．函数有个零点 D．方程有两个实数解
12．（2023高一上·楚雄期末）设函数，则（ ）
A．
B．当时，
C．方程只有一个实数根
D．方程有个不等的实数根
13．（2023高一上·榆林期末）函数，则（ ）
A．在内有零点 B．在内有零点
C．在内有零点 D．在内有零点
14．（2023高一上·襄阳期末）已知定义在上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题，正确的命题是（ ）
A．函数（其中为常数，为回旋函数的充要条件是
B．函数是回旋函数
C．若函数为回旋函数，则
D．函数是的回旋函数，则在上至少有1011个零点
15．（2023高一上·临渭期末）已知函数的零点，且m，n满足，则k的可能值为（ ）
A． B． C． D．0
16．（2023高一上·北碚期末）已知定义在上的函数，若函数的图象关于点对称，且函数，关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
三、填空题
17．（2023高一上·宝安期末）已知函数，若存在，，且，使得成立，则实数a的取值范围是 ．
18．（2023高一上·安徽期末）已知函数的零点为，则，则 ．
19．（2023高一上·河北期末）已知函数，给出下列三个结论：
①当时，函数的单调递减区间为；
②若函数无最小值，则的取值范围为；
③若且，则，使得函数.恰有3个零点，，，且．
其中，所有正确结论的序号是 ．
20．（2022高一上·南阳）若若有两个零点，则实数的取值范围为 .
四、解答题
21．（2023高一上·龙岗期末）已知常数，函数.
（1）当时，求不等式的解集（用区间表示）；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围；
22．（2023高一上·临渭期末）已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围．
（3）对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
23．（2023高一上·保山期末）已知函数，.
（1）判断是否有零点，若有，求出该零点；若没有，请说明理由；
（2）若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围.
24．（2023高一上·楚雄期末）已知幂函数在上单调递增．
（1）求的解析式；
（2）若函数在上有零点，求的取值范围．
25．（2023高一上·湖北期末）已知函数．
（1）若，且函数有零点，求实数的取值范围；
（2）当时，解关于的不等式；
（3）若正数满足，且对于任意的恒成立，求实数的值．
26．（2023高一上·青岛期末）已知函数，对且，恒有
（1）求和的单调区间；
（2）证明：的图象与的图象只有一个交点.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合函数的单调性和零点存在性定理，进而得出函数的零点所在的区间。
2．【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为显然单调递增，
又，，
由零点存在定理可得的零点所在区间为.
故答案为：B
【分析】显然单调递增，然后结合零点存在性定理判断即可.
3．【答案】C
【知识点】二分法求方程的近似解
【解析】【解答】设，
，
第二次确定的有解区间是。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合二分法求近似值的方法，再结合零点存在性定理，进而得出第二次确定的有解区间。
4．【答案】D
【知识点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】作出函数的图象与直线，
观察图象，或时，直线与曲线有两个交点，故实数的取值范围是．
故答案为：D
【分析】根据题意由二次函数和对数函数的图象和性质，即可得出分段函数的图象，利用数形结合法即可得出满足题意的a的取值范围。
5．【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当时，令解得
又函数的最小正周期为2，
所以在区间内的零点有0，1，2，3，4，5，6.
故答案为：C
【分析】直接解方程求零点，令解得，结合周期性可得答案.
6．【答案】A
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】令，解得或，
即函数的零点为和a，又，
由零点的存在性定理，得，
，
所以，，
又，得，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合函数零点的求解方法以及零点存在性定理，进而结合作差法比较出 的大小关系 。
7．【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由题意，设点，则的坐标为，
因为，
所以此函数的“友好点对”的个数即方程在时的解的个数，
作与的图像如图所示，
两函数图象有两个交点，所以此函数的“友好点对”有2对
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合友好点对的定义，所以此函数的“友好点对”的个数即方程在时的解的个数，再结合分段函数中与的图象和两函数的图象的交点的横坐标与方程的根的等价关系，进而得出此函数的“友好点对”的对数。
8．【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由①②可知：函数是周期为的函数且在上，
在同一坐标系内分别作出函数和在区间上的图象，如图所示：
由图可知：函数和在区间上有4个交点，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合函数的周期性和函数和在区间上的图象，进而得出函数与的图象在区间［－3，3]上的交点个数。
9．【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】函数的图象如图所示，
关于x的方程有4个不等实根，即可转化为函数与直线有4个不同的交点，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再结合分段函数的图象结合两函数的交点的横坐标与方程的根的等价关系，进而找出实数a的取值范围。
10．【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】本题转化为函数和函数的交点个数，做出两个函数的图象，如图，
根据图像可得两个函数交点的个数为个，所以函数的零点个数为个.
故答案为：C.
【分析】 条件转化为函数和函数的交点个数，作出函数图象，数形结合即可求出答案.
11．【答案】A,C
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用；根的存在性及根的个数判断；函数的零点
【解析】【解答】对于A选项，因为，则，A对；
对于B选项，因为函数在上不单调，故函数在定义域上不单调，B不符合题意；
对于C选项，当时，由，可得，
当时，由，可得.
综上所述，函数有个零点，C对；
对于D选项，当时，由可得，
当时，由，可得，解得或.
综上所述，方程有三个实数解，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】代入求得的值，可判定A正确；根据二次函数的性质，得到函数在上不单调，可判定B不符合题意；分求得的根，可判定C正确；根据 ，列出方程，求得方程的解，可判定D不符合题意.
12．【答案】B,C,D
【知识点】函数的值；分段函数的应用；函数的零点
【解析】【解答】对于A，，A不符合题意；
对于B，当时，，，B符合题意；
对于C，当时，令，解得：；
由B知：当时，，
由解析式知：当时，的周期为，当时，；
综上所述：方程只有一个实数根，C符合题意；
对于D，当时，，则当时，恒成立；
作出与图象如下图所示，
结合图象可知：与共有个交点，
方程有个不等的实数根，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】根据解析式可推导求得，知A错误；利用，可求得时的解析式，知B正确；当可知是的实数根，当时，结合周期性和的解析式可知无解，由此可知C正确；作出与的图象，由交点个数可确定方程根的个数，知D正确.
13．【答案】A,C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作出函数和的图象，如图所示，
由图象可知：最多有两个零点，
因为，，，，，
所以，，
由零点存在性定理可知在内有零点，在内有零点.
故答案为：AC
【分析】作出函数和的图象，由图象可知：最多有两个零点，利用零点存在性定理可知在内有零点，在内有零点.
14．【答案】A,C,D
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】函数（其中a为常数，）是定义在R上的连续函数，且，当时，对于任意的实数x恒成立，若对任意实数x恒成立，则，解得：，故函数（其中a为常数，）为回旋函数的充要条件是，A符合题意；
是定义在R上的连续函数，且，不存在，使得，B不符合题意；
在R上为连续函数，且，要想函数为回旋函数，则有解，则，C符合题意；
由题意得：，令得：，所以与异号，或，当时，由零点存在性定理得：在上至少存在一个零点，同理可得：在区间上均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点，当时，有，所以在上至少有1011个零点，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】得到，当时，对于任意的实数x恒成立，可判断A；得到，不存在，可判断B；化简得到有解，则，可判断C；赋值法结合零点存在性定理得到在区间上均至少有一个零点，得到在上至少有1011个零点，可判断D.
15．【答案】B,C
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】在R上单调递增，下面开始赋值：
当或，满足题意，
故答案为：BC．
【分析】由指数函数的性质确定m，n的范围，得出函数的单调性，然后由零点存在定理确定零点所在区间，可得答案.
16．【答案】A,B,C
【知识点】函数的图象；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】若函数的图象关于点对称，则函数关于原点对称，
对于方程，令可得，即，
∵，则有两个不相等的实根，不妨设，
又∵，即，则有：
当时，则，如图1，可得有且仅有一个实根，有3个不相等的实根，
故关于的方程有4个不同的实数解；
当时，则，如图2，可得有且仅有一个实根，有2个不相等的实根，
故关于的方程有3个不同的实数解；
当时，则，如图3，可得、均只有一个实根，
故关于的方程有2个不同的实数解；
当时，则，如图4，可得有2个不相等的实根，有且仅有一个实根，
故关于的方程有3个不同的实数解；
当时，则，如图5，可得有3个不相等的实根，有且仅有一个实根，
故关于的方程有4个不同的实数解；
综上所述：关于的方程的实数解的个数有2或3或4.
A、B、C符合题意，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】 由题意可知y= f(x)是奇函数，画出f (x)的图象，设f(x)=t，可得，即，由△>0可知方程有两个不相等的实根，设，再利用韦达定理，分m=0，m>0，m<0三种情况，数形结合分别求出原方程根的个数，即可得出 的所有可能的值 .
17．【答案】
【知识点】函数的图象；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】因为是开口方向向下，对称轴为直线的一元二次函数，
由可知，
①当，即时，由二次函数对称性知：必存在，使得；
②当，即时，若存在，使得，
则函数图象需满足下图所示：
即，解得：，所以；
综上所述：，从而实数a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】化简函数的解析式为，分当和，两种情况讨论，结合函数的图象，得出不等式，即可求解.
18．【答案】2
【知识点】函数单调性的性质；函数零点的判定定理
【解析】【解答】∵函数，函数在上单调递增，
又，
∴，即。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合函数的单调性和零点存在性定理，进而得出n的值。
19．【答案】②③
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】对于①，当时，由，，所以函数在区间不单调递减，故①错误；
对于②，函数可转化为，
画出函数的图象，如图：
由题意可得若函数无最小值，则的取值范围为，故②正确；
对于③，令即，结合函数图象不妨设，
则，
所以，，，所以，
令即，
当时，，存在三个零点，且，符合题意；
当时，，存在三个零点，且，符合题意；
故③正确.
故答案为：②③.
【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象不妨设，进而可得，，，令验证后即可判断③；即可得解.
20．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为有两个零点，
所以与有两个不同的交点，如图所示，
所以有，即。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用函数的零点与两函数的交点的等价关系，进而得出实数t的取值范围。
21．【答案】（1）解：当时，，
∴，解得，
∴原不等式的解集为；
（2）解：函数有两个零点，即方程有两个不等的实根，
∴，
∴，
令，则，
由题意得方程在上只有两解，
令， ，则
当时，直线和函数的图象只有两个公共点，
即函数只有两个零点，
∴实数的范围；
【答案】解：∵函数在上单调递减，
∴函数在定义域内单调递减，
∴函数在区间上的最大值为，
最小值为，
∴，
由题意得，
∴恒成立，
令，
∴对，恒成立，
∵在上单调递增，
∴
∴，
解得，
又，
∴．
∴实数的取值范围是.
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用；根的存在性及根的个数判断；函数的零点
【解析】【分析】（1） 当时，把不等式转化为，进而得到，结合指数函数的性质，即可求解；
（2） 转化为，即，令，得到，由题意转化为方程在上只有两解，令， 结合直线和函数的图象只有两个公共点，即可求解；
（3）由复合函数的单调性得到函数在定义域内单调递减，求得最大值为，最小值为，由题意得到，即恒成立，令，转化为对，恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
22．【答案】（1）解：由，即，
即，即，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为.
（2）解：由函数在区间上有两个不同的零点，
即方程在上有两个不同的根，
所以，解得，
实数的取值范围为.
（3）解：由题意，对任意的，恒成立，
即恒成立，即恒成立，
令，，则，
又，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的取值范围.
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式的解法；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】(1)由题意得 ，令(x+ 1)(x- k)=0，解得x=-1或x=k，分类讨论k=-1，k>-1，k<-1，结合二次函数的图象与性质，即可解出不等式解集；
(2)由题意转化为方程在上有两个不同的根，结合二次函数的图象与性质，列出关于k的不等式组，即可求出实数的取值范围；
(3)利用分离参数法，由题意转化为对任意的 ， 恒成立，令 ，利用基本不等式求出g (x)的最小值，即可求出实数的取值范围．
23．【答案】（1）解：设有零点，则方程有解，即有解，
设，，得（*），
，（*）方程无正解，
所以没有零点.
（2）解：，
设，恒成立，
，
因为，所以恒成立，
所以恒成立，
又，
所以，
所以的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；函数的零点
【解析】【分析】（1）将问题转化为是否有解，设，判断在时是否有解即可；
（2）设，利用函数在 上为单调递增函数，得恒成立，常数分离后得的取值范围.
24．【答案】（1）解：为幂函数，且在上单调递增，，解得：，
.
（2）解：由（1）得：，在上连续且单调递增，
，解得：，
即的取值范围为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的零点
【解析】【分析】（1）根据幂函数定义和单调性可构造方程组，求得，从而得到；
（2）根据幂函数单调性和零点存在定理可直接构造不等式 ，解得，即可得解.
25．【答案】（1）解：时，，
由函数有零点，可得，即或；
（2）解： 时， ，
当即时，的解集为，
当即时，的解集为，
当即时，的解集为；
（3）解：二次函数开口响上，对称轴，由可得在单调递增，
时恒成立，当且仅当，即，即，
由，可得，
则，由可得，即，则，
此时，则．
【知识点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由可得结果；
（2）时， ，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可；
（3）时恒成立，当且仅当 ，即，即， 由，可得，则，解不等式即可的结果．
26．【答案】（1）解：对且即时，，时，，
，则时，，时，，
设，，
当时，，，所以在上是增函数，
当时，，则，所以在上是减函数，
又，设，则，则，
所以在上是减函数，同理在上是增函数，
综上，的增区间是，减区间是，的增区间是，减区间是；
（2）证明：设，，
由（1）知时，递减，递增，
设，，即，
所以在上是减函数，
又，
，
所以存在唯一的，使得，
时，由（1）知，即，，
所以，
所以在上无零点，
综上，只有一个零点，即与的图象只有一个交点．
【知识点】复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据单调性的定义结合已知恒等式得出的单调区间，然后由复合函数的单调性得出单调区间；
（2）设，然后由（1）得在上是减函数，再由零点存在定理得其有唯一零点，利用（1）的结论和不等式的性质得时，，综合后可证明结论成立．
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2023-2024学年高中数学人教A版必修一 4.5 函数的应用（二）同步练习
一、选择题
1．（2023高一上·东莞期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合函数的单调性和零点存在性定理，进而得出函数的零点所在的区间。
2．（2023高一上·岳阳期末）函数在下列区间中存在零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】因为显然单调递增，
又，，
由零点存在定理可得的零点所在区间为.
故答案为：B
【分析】显然单调递增，然后结合零点存在性定理判断即可.
3．（2022高一上·河南月考）利用二分法求方程的近似解时，若第一次确定的有解区间是，则第二次确定的有解区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二分法求方程的近似解
【解析】【解答】设，
，
第二次确定的有解区间是。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合二分法求近似值的方法，再结合零点存在性定理，进而得出第二次确定的有解区间。
4．（2022高一上·太原期末）已知若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是（ ）
A．{-1} B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】作出函数的图象与直线，
观察图象，或时，直线与曲线有两个交点，故实数的取值范围是．
故答案为：D
【分析】根据题意由二次函数和对数函数的图象和性质，即可得出分段函数的图象，利用数形结合法即可得出满足题意的a的取值范围。
5．（2023高一上·玉溪期末）已知f(x)的定义域为R，且是最小正周期为2的周期函数.当时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间［0，6］上与x轴的交点个数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当时，令解得
又函数的最小正周期为2，
所以在区间内的零点有0，1，2，3，4，5，6.
故答案为：C
【分析】直接解方程求零点，令解得，结合周期性可得答案.
6．（2022高一上·杭州期末）函数，若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】令，解得或，
即函数的零点为和a，又，
由零点的存在性定理，得，
，
所以，，
又，得，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合函数零点的求解方法以及零点存在性定理，进而结合作差法比较出 的大小关系 。
7．（2023高一上·钦州期末）若直角坐标平面内的两点、满足条件：①、都在函数的图象上；②、关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（点对与看作同一对“友好点对”）．已知函数，则此函数的“友好点对”有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由题意，设点，则的坐标为，
因为，
所以此函数的“友好点对”的个数即方程在时的解的个数，
作与的图像如图所示，
两函数图象有两个交点，所以此函数的“友好点对”有2对
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合友好点对的定义，所以此函数的“友好点对”的个数即方程在时的解的个数，再结合分段函数中与的图象和两函数的图象的交点的横坐标与方程的根的等价关系，进而得出此函数的“友好点对”的对数。
8．（2023高一上·东莞期末）已知定义在上的函数满足①；②，则函数与的图象在区间［－3，3]上的交点个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由①②可知：函数是周期为的函数且在上，
在同一坐标系内分别作出函数和在区间上的图象，如图所示：
由图可知：函数和在区间上有4个交点，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合函数的周期性和函数和在区间上的图象，进而得出函数与的图象在区间［－3，3]上的交点个数。
9．（2023高一上·福田期末）设函数，若关于x的方程有4个不等实根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】函数的图象如图所示，
关于x的方程有4个不等实根，即可转化为函数与直线有4个不同的交点，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再结合分段函数的图象结合两函数的交点的横坐标与方程的根的等价关系，进而找出实数a的取值范围。
10．（2023高一上·北碚期末）函数的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】本题转化为函数和函数的交点个数，做出两个函数的图象，如图，
根据图像可得两个函数交点的个数为个，所以函数的零点个数为个.
故答案为：C.
【分析】 条件转化为函数和函数的交点个数，作出函数图象，数形结合即可求出答案.
二、多项选择题
11．（2023高一上·龙岗期末）已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A． B．函数是定义域上的增函数
C．函数有个零点 D．方程有两个实数解
【答案】A,C
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用；根的存在性及根的个数判断；函数的零点
【解析】【解答】对于A选项，因为，则，A对；
对于B选项，因为函数在上不单调，故函数在定义域上不单调，B不符合题意；
对于C选项，当时，由，可得，
当时，由，可得.
综上所述，函数有个零点，C对；
对于D选项，当时，由可得，
当时，由，可得，解得或.
综上所述，方程有三个实数解，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】代入求得的值，可判定A正确；根据二次函数的性质，得到函数在上不单调，可判定B不符合题意；分求得的根，可判定C正确；根据 ，列出方程，求得方程的解，可判定D不符合题意.
12．（2023高一上·楚雄期末）设函数，则（ ）
A．
B．当时，
C．方程只有一个实数根
D．方程有个不等的实数根
【答案】B,C,D
【知识点】函数的值；分段函数的应用；函数的零点
【解析】【解答】对于A，，A不符合题意；
对于B，当时，，，B符合题意；
对于C，当时，令，解得：；
由B知：当时，，
由解析式知：当时，的周期为，当时，；
综上所述：方程只有一个实数根，C符合题意；
对于D，当时，，则当时，恒成立；
作出与图象如下图所示，
结合图象可知：与共有个交点，
方程有个不等的实数根，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】根据解析式可推导求得，知A错误；利用，可求得时的解析式，知B正确；当可知是的实数根，当时，结合周期性和的解析式可知无解，由此可知C正确；作出与的图象，由交点个数可确定方程根的个数，知D正确.
13．（2023高一上·榆林期末）函数，则（ ）
A．在内有零点 B．在内有零点
C．在内有零点 D．在内有零点
【答案】A,C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作出函数和的图象，如图所示，
由图象可知：最多有两个零点，
因为，，，，，
所以，，
由零点存在性定理可知在内有零点，在内有零点.
故答案为：AC
【分析】作出函数和的图象，由图象可知：最多有两个零点，利用零点存在性定理可知在内有零点，在内有零点.
14．（2023高一上·襄阳期末）已知定义在上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题，正确的命题是（ ）
A．函数（其中为常数，为回旋函数的充要条件是
B．函数是回旋函数
C．若函数为回旋函数，则
D．函数是的回旋函数，则在上至少有1011个零点
【答案】A,C,D
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】函数（其中a为常数，）是定义在R上的连续函数，且，当时，对于任意的实数x恒成立，若对任意实数x恒成立，则，解得：，故函数（其中a为常数，）为回旋函数的充要条件是，A符合题意；
是定义在R上的连续函数，且，不存在，使得，B不符合题意；
在R上为连续函数，且，要想函数为回旋函数，则有解，则，C符合题意；
由题意得：，令得：，所以与异号，或，当时，由零点存在性定理得：在上至少存在一个零点，同理可得：在区间上均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点，当时，有，所以在上至少有1011个零点，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】得到，当时，对于任意的实数x恒成立，可判断A；得到，不存在，可判断B；化简得到有解，则，可判断C；赋值法结合零点存在性定理得到在区间上均至少有一个零点，得到在上至少有1011个零点，可判断D.
15．（2023高一上·临渭期末）已知函数的零点，且m，n满足，则k的可能值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B,C
【知识点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】在R上单调递增，下面开始赋值：
当或，满足题意，
故答案为：BC．
【分析】由指数函数的性质确定m，n的范围，得出函数的单调性，然后由零点存在定理确定零点所在区间，可得答案.
16．（2023高一上·北碚期末）已知定义在上的函数，若函数的图象关于点对称，且函数，关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A,B,C
【知识点】函数的图象；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】若函数的图象关于点对称，则函数关于原点对称，
对于方程，令可得，即，
∵，则有两个不相等的实根，不妨设，
又∵，即，则有：
当时，则，如图1，可得有且仅有一个实根，有3个不相等的实根，
故关于的方程有4个不同的实数解；
当时，则，如图2，可得有且仅有一个实根，有2个不相等的实根，
故关于的方程有3个不同的实数解；
当时，则，如图3，可得、均只有一个实根，
故关于的方程有2个不同的实数解；
当时，则，如图4，可得有2个不相等的实根，有且仅有一个实根，
故关于的方程有3个不同的实数解；
当时，则，如图5，可得有3个不相等的实根，有且仅有一个实根，
故关于的方程有4个不同的实数解；
综上所述：关于的方程的实数解的个数有2或3或4.
A、B、C符合题意，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】 由题意可知y= f(x)是奇函数，画出f (x)的图象，设f(x)=t，可得，即，由△>0可知方程有两个不相等的实根，设，再利用韦达定理，分m=0，m>0，m<0三种情况，数形结合分别求出原方程根的个数，即可得出 的所有可能的值 .
三、填空题
17．（2023高一上·宝安期末）已知函数，若存在，，且，使得成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数的图象；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】因为是开口方向向下，对称轴为直线的一元二次函数，
由可知，
①当，即时，由二次函数对称性知：必存在，使得；
②当，即时，若存在，使得，
则函数图象需满足下图所示：
即，解得：，所以；
综上所述：，从而实数a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】化简函数的解析式为，分当和，两种情况讨论，结合函数的图象，得出不等式，即可求解.
18．（2023高一上·安徽期末）已知函数的零点为，则，则 ．
【答案】2
【知识点】函数单调性的性质；函数零点的判定定理
【解析】【解答】∵函数，函数在上单调递增，
又，
∴，即。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合函数的单调性和零点存在性定理，进而得出n的值。
19．（2023高一上·河北期末）已知函数，给出下列三个结论：
①当时，函数的单调递减区间为；
②若函数无最小值，则的取值范围为；
③若且，则，使得函数.恰有3个零点，，，且．
其中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】对于①，当时，由，，所以函数在区间不单调递减，故①错误；
对于②，函数可转化为，
画出函数的图象，如图：
由题意可得若函数无最小值，则的取值范围为，故②正确；
对于③，令即，结合函数图象不妨设，
则，
所以，，，所以，
令即，
当时，，存在三个零点，且，符合题意；
当时，，存在三个零点，且，符合题意；
故③正确.
故答案为：②③.
【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象不妨设，进而可得，，，令验证后即可判断③；即可得解.
20．（2022高一上·南阳）若若有两个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】因为有两个零点，
所以与有两个不同的交点，如图所示，
所以有，即。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用函数的零点与两函数的交点的等价关系，进而得出实数t的取值范围。
四、解答题
21．（2023高一上·龙岗期末）已知常数，函数.
（1）当时，求不等式的解集（用区间表示）；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围；
【答案】（1）解：当时，，
∴，解得，
∴原不等式的解集为；
（2）解：函数有两个零点，即方程有两个不等的实根，
∴，
∴，
令，则，
由题意得方程在上只有两解，
令， ，则
当时，直线和函数的图象只有两个公共点，
即函数只有两个零点，
∴实数的范围；
【答案】解：∵函数在上单调递减，
∴函数在定义域内单调递减，
∴函数在区间上的最大值为，
最小值为，
∴，
由题意得，
∴恒成立，
令，
∴对，恒成立，
∵在上单调递增，
∴
∴，
解得，
又，
∴．
∴实数的取值范围是.
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用；根的存在性及根的个数判断；函数的零点
【解析】【分析】（1） 当时，把不等式转化为，进而得到，结合指数函数的性质，即可求解；
（2） 转化为，即，令，得到，由题意转化为方程在上只有两解，令， 结合直线和函数的图象只有两个公共点，即可求解；
（3）由复合函数的单调性得到函数在定义域内单调递减，求得最大值为，最小值为，由题意得到，即恒成立，令，转化为对，恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
22．（2023高一上·临渭期末）已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围．
（3）对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由，即，
即，即，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为.
（2）解：由函数在区间上有两个不同的零点，
即方程在上有两个不同的根，
所以，解得，
实数的取值范围为.
（3）解：由题意，对任意的，恒成立，
即恒成立，即恒成立，
令，，则，
又，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的取值范围.
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式的解法；根的存在性及根的个数判断
【解析】【分析】(1)由题意得 ，令(x+ 1)(x- k)=0，解得x=-1或x=k，分类讨论k=-1，k>-1，k<-1，结合二次函数的图象与性质，即可解出不等式解集；
(2)由题意转化为方程在上有两个不同的根，结合二次函数的图象与性质，列出关于k的不等式组，即可求出实数的取值范围；
(3)利用分离参数法，由题意转化为对任意的 ， 恒成立，令 ，利用基本不等式求出g (x)的最小值，即可求出实数的取值范围．
23．（2023高一上·保山期末）已知函数，.
（1）判断是否有零点，若有，求出该零点；若没有，请说明理由；
（2）若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：设有零点，则方程有解，即有解，
设，，得（*），
，（*）方程无正解，
所以没有零点.
（2）解：，
设，恒成立，
，
因为，所以恒成立，
所以恒成立，
又，
所以，
所以的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；函数的零点
【解析】【分析】（1）将问题转化为是否有解，设，判断在时是否有解即可；
（2）设，利用函数在 上为单调递增函数，得恒成立，常数分离后得的取值范围.
24．（2023高一上·楚雄期末）已知幂函数在上单调递增．
（1）求的解析式；
（2）若函数在上有零点，求的取值范围．
【答案】（1）解：为幂函数，且在上单调递增，，解得：，
.
（2）解：由（1）得：，在上连续且单调递增，
，解得：，
即的取值范围为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的零点
【解析】【分析】（1）根据幂函数定义和单调性可构造方程组，求得，从而得到；
（2）根据幂函数单调性和零点存在定理可直接构造不等式 ，解得，即可得解.
25．（2023高一上·湖北期末）已知函数．
（1）若，且函数有零点，求实数的取值范围；
（2）当时，解关于的不等式；
（3）若正数满足，且对于任意的恒成立，求实数的值．
【答案】（1）解：时，，
由函数有零点，可得，即或；
（2）解： 时， ，
当即时，的解集为，
当即时，的解集为，
当即时，的解集为；
（3）解：二次函数开口响上，对称轴，由可得在单调递增，
时恒成立，当且仅当，即，即，
由，可得，
则，由可得，即，则，
此时，则．
【知识点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由可得结果；
（2）时， ，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可；
（3）时恒成立，当且仅当 ，即，即， 由，可得，则，解不等式即可的结果．
26．（2023高一上·青岛期末）已知函数，对且，恒有
（1）求和的单调区间；
（2）证明：的图象与的图象只有一个交点.
【答案】（1）解：对且即时，，时，，
，则时，，时，，
设，，
当时，，，所以在上是增函数，
当时，，则，所以在上是减函数，
又，设，则，则，
所以在上是减函数，同理在上是增函数，
综上，的增区间是，减区间是，的增区间是，减区间是；
（2）证明：设，，
由（1）知时，递减，递增，
设，，即，
所以在上是减函数，
又，
，
所以存在唯一的，使得，
时，由（1）知，即，，
所以，
所以在上无零点，
综上，只有一个零点，即与的图象只有一个交点．
【知识点】复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据单调性的定义结合已知恒等式得出的单调区间，然后由复合函数的单调性得出单调区间；
（2）设，然后由（1）得在上是减函数，再由零点存在定理得其有唯一零点，利用（1）的结论和不等式的性质得时，，综合后可证明结论成立．
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