2022-2023学年山东省淄博市张店二中、齐德中学、齐盛中学八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省淄博市张店二中、齐德中学、齐盛中学八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 对边相等 D. 对角线互相平分
2. 菱形的两条对角线长分别为和，则菱形的边长是( )
A. B. C. D.
3. 如图，矩形的顶点的坐标为，则长为( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
5. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
7. 把方程化成一般式的形式，则、、的值分别是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
8. 关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. 把根号外的因式移入根号内，化简的结果是( )
A. B. C. D.
10. 如图，正方形和正方形的边长分别是和，且点，，在同一直线上，是线段的中点，连接，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______ ．
12. 若与最简二次根式可以合并，则 ______ ．
13. 如图，菱形的对角线，相交于点，已知，菱形的面积为，则的长为______
14. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为______ ．
15. 已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简：______．
三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：
；
17. 本小题分
解下列方程：
；
．
18. 本小题分
如图，在平行四边形中，、分别是边、上的点，且，．
求证：；
四边形是矩形．
19. 本小题分
已知长方形长，宽．
求长方形的周长；
求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．
20. 本小题分
观察下列等式：
；
；
；
回答下列问题：
仿照上列等式，写出第个等式：______ ；
利用你观察到的规律，化简：；
计算：．
21. 本小题分
阅读材料：
材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题．
材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ______ ， ______ ．
类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值．
思维拓展：实数、满足，，且，求的值．
22. 本小题分
如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于点，垂足为点，连接，．
若，求的长；
当点为的中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
若点为的中点，当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请直接写出答案．
23. 本小题分
如图，正方形中，是对角线上一点，连接，过点作，交边于点．
求证：；
写出线段，的数量关系并加以证明；
若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：．
利用矩形与菱形的性质即可解答本题．
本题考查了矩形与菱形的性质，中心对称图形，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，以及勾股定理的内容．根据菱形的性质，可得到直角三角形，再利用勾股定理可求出边长．
【解答】
解：菱形的对角线互相垂直平分，
两条对角线的一半与菱形的边长构成直角三角形，
菱形的边长，
故选C．

3.【答案】
【解析】解：如图，连接，
点的坐标为，
，
四边形是矩形，
，
故选：．
由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可得，即可求即解．
本题考查了矩形的性质，两点距离公式，掌握矩形的性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
故选：．
根据正方形性质得出，，根据等边三角形性质得出，，推出，，根据等腰三角形性质得出，根据三角形的内角和定理求出即可．
本题考查了三角形的内角和定理，正方形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，是一道比较好的题目．
5.【答案】
【解析】解：、和不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、和不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减法，二次根式的除法和化简二次根式的方法求解判断即可．
本题主要考查了二次根式的混合运算，化简二次根式，正确计算是解题的关键．
6.【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义求解即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．
注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
【解答】
解：、未知数的最高次数是，不是一元二次方程，故A不符合题意；
B、方程含有个未知数，不是一元二次方程，故B不符合题意；
C、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故C符合题意；
D、是分式方程，故D不符合题意；
故选：．
7.【答案】
【解析】解：去括号得，，
移项得，，
所以、、的值可以分别是，，．
故选：．
先去括号，再移项、合并同类项，化为的形式，再根据对应相等得到、、的值．
一元二次方程的一般形式为为常数，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．
8.【答案】
【解析】解：一元二次方程无实数根
，
解得，
由一次函数可得，
，
一次函数过一、二、四象限，不过第三象限，
故选：．
根据一元二次方程根与判别式的关系，求得的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．
此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
9.【答案】
【解析】解：由已知可得，，即，
所以，．
故选：．
由于被开方数为非负数，可确定的取值范围，然后再按二次根式的乘除法法则计算即可．
本题主要考查二次根式的性质与化简，由已知得出的取值范围是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：延长至，延长与交于点，
则在和中，
，
≌，即，，
，
，
在直角中，为斜边，
解直角得：，
又，
，
故选：．
延长至，易证≌，得，，又，且，解直角可以求得的长，根据即可解题．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边长相等的性质，考查了正方形各内角均为直角的性质，本题中求证是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：要使在实数范围内有意义，必须，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件得出，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记中是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
与最简二次根式可以合并，
，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式的性质得出，根据同类二次根式的定义得出，再求出即可．
本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
13.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，
，
，
菱形的面积为，
，即，
，
故答案为．
根据菱形的性质，求得，再根据菱形的面积求得．
本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式，关键是熟记菱形的性质与面积公式．
14.【答案】
【解析】解：将代入原方程得：，
，
．
故答案为：．
将代入原方程，可得出，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的解，将方程的解代入原方程，求出是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由数轴可得：，，，，
故，，，
原式
．
直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
16.【答案】解：
；
．
【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可；
先化简，然后去括号，再合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
，
，，，
，
，．
【解析】利用因式分解法求解即可；
先化简整理为一般形式，再利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
≌；
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形．
【解析】由平行四边形的性质得，，再由证≌即可；
由平行四边形的性质得，，再证，则四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：长方形的周长为；
长方形的面积为，
则正方形的边长为，
此正方形的周长为，
，，且，
，
则长方形的周长大于正方形的周长．
【解析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序，运算法则及其性质．
根据周长公式列出算式，再利用二次根式的加减运算法则和乘除法则计算可得；
先求出正方形的边长，再由周长公式求解可得．
20.【答案】
【解析】解：第个等式为；
原式；
原式．
故答案为：
仿照以上等式，写出第个等式即可；
利用得出的规律化简原式即可；
原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果．
此题考查了分母有理化，找出题中的规律是解本题的关键．
21.【答案】
【解析】解：一元二次方程的两个根为，，
，，
故答案为：，；
一元二次方程的两根分别为，，
，，
；
实数，满足，，且，
，是一元二次方程的两个实数根，
，．
，
，
，
的值为或．
利用根与系数的关系，即可得出及的值；
利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论；
由实数、满足，，且，可得出，是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出，，结合，可求出的值，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
22.【答案】解：，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
；
四边形是菱形．理由如下：
由得，，
，点为的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
当时，四边形是正方形．
证明如下：
，，
，
又点为的中点，
，
，
，
又四边形是菱形，
四边形是正方形．
【解析】根据，得，结合得，根据平行四边形的判定，得；
由题得，根据直角三角形斜边上的中线的性质，得，可判定四边形是平行四边形，又根据，判定平行四边形是菱形；
根据三角形内角和，当时，得，根据直角三角形斜边上的中线的性质，得，根据等角对等边，得，又根据正方形的判定，即可判定四边形是正方形．
本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形内角和定理和直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质．
23.【答案】证明：过点作于，交于点，如图：
四边形为正方形，
，，，
，
，
四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
．
，
，
在和中
≌，
．
解：，理由如下：
由知≌，，
，
四边形为矩形，
，
，
，
；
解：设，，
由得：，
由得，
，
，
，
，
解方程得：，舍去，
．
【解析】过点作于，交于点，由四边形为正方形，，可证明≌，即可得．
由≌，，可得，而，故CF；
设可得：，而，若，有，可解得．
本题考查正方形的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是作辅助线，构造三角形全等．
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