2022-2023学年湖南省郴州市七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省郴州市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 已知是方程的解，则等于( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，直线，相交于点，，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
6. 某中学随机地调查名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如表所示：
时间小时
人数
则这名学生这一周在校的体育锻炼时间的众数是( )
A. B. C. D.
7. 为响应“科教兴国”的战略号召，某校成立创客实验室，准备购买航拍无人机和编程机器人已知购买架航拍无人机和个编程机器人所需费用相同，购买个航拍无人机和个编程机器人共需元设购买架航拍无人机需元，购买个编程机器人需元，则可列方程组为( )
A. B.
C. D.
8. 如图所示，将一块直角三角板和直尺摆放在一起，则与的和是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 计算 ______ ．
10. 因式分解： ______ ．
11. 如图，直线，且，之间相距点是直线上一定点，点在直线上运动，则在点的运动过程中，线段的最小值是______ ．
12. 若，，则 ______ ．
13. 在今年的体育中考前，甲、乙两名同学练习投掷实心球，每人投次平均成绩均为米，方差分别为，，则成绩较稳定的是______ 填“甲“或“乙”．
14. 已知计算的结果中不含的一次项，则的值是______ ．
15. 如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到，则 ______
16. 如图，将三角形沿射线方向平移得到三角形若三角形的周长为，则四边形的周长为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解方程组：．
18. 本小题分
若，，求代数式的值．
19. 本小题分
请在横线处填写结论或结论成立的理由，完成下面的证明过程．
如图，，，试说明．
解：因为已知，所以两直线平行，同位角相等，
又因为已知，所以______ 等量代换，
所以______ ，所以______
20. 本小题分
如图，已知三角形和直线，且三角形的顶点在网格格点上．
画出三角形向上平移小格后的三角形；
画出三角形关于直线成轴对称的三角形．
21. 本小题分
某校为助力我市旅发大会，特组织七年级各班的合唱比赛，决定在七年级各班中选取合唱成绩最好的班级参加这次演出，其中两个班的各项得分如表：
服装分 音准分 创新分
七年级一班
七年级二班
请计算两个班这三项的平均得分，根据平均得分比较哪个班成绩更好？
如果将服装、音准、创新三项得分按：：的比例确定各班的最终成绩，通过计算比较哪个班成绩更好？
22. 本小题分
为了迎接湖南省第二届旅发大会，我市各景区准备新增个停车位，用以解决景区停车难的问题已知新建个地上停车位和个地下停车位共需万元；新建个地上停车位和个地下停车位共需万元．
求新建个地上停车位和个地下停车位各需多少万元？
有关部门计划投资万元用于建造这个停车位，请问可以建造地上停车位和地下停车位各多少个？
23. 本小题分
如图，直线，被直线，所截，，，垂足为直线平分交于点点在直线上，，．
试说明：；
求的度数．
24. 本小题分
阅读与思考：如果一对数，，满足，我们称这一对数，为“相随数对”，记为．
若是“相随数对”，则 ______ ；
若是“相随数对”，
用含的代数式表示；
若，求，的值．
25. 本小题分
如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．
请用含字母，的代数式表示图中阴影部分的面积．
观察图，请写出三个代数式：，之间的等量关系；
用张长为，宽为的小长方形纸片，按图方式无空隙不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，如果的长度变化时，始终保持不变，则，应满足的关系是什么？
26. 本小题分
如图，小明将一个含的直角三角板其中，按图所示放置，使得直角三角板的一边落在直线上过顶点作直线作直线，分别交直线，于点，．
如图，求的度数．
如图，将直角三角板绕顶点逆时针旋转，旋转角为，且在旋转过程中，直线，位置保持不变，直线随着点的运动位置发生变化．
当点在直线下方时，试说明；
当直角三角板的一边与直线平行时，求旋转角及的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】解：是方程的一个解，
代入得：，
解得：，
故选：．
把代入方程，即可得出一个关于的方程，求出方程的解即可．
本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能根据题意得出关于的方程是解此题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】
【解析】解：，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.，是整式的乘法，故不合题意．
故选：．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
根据垂线定义可求得，进而求得，再根据对顶角相等求解即可．
本题考查垂线定义、对顶角相等，熟练掌握垂线定义和对顶角相等是解答的关键．
6.【答案】
【解析】解：根据统计图可知，这组数据中出现次，次数最多，
所以这组数据的众数为．
故选：．
根据众数的概念求解即可．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
本题考查了众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
7.【答案】
【解析】解：设购买架航拍无人机需元，购买个编程机器人需元，
由题意得：．
故选：．
根据“购买架航拍无人机和个编程机器人所需费用相同，购买个航拍无人机和个编程机器人共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
8.【答案】
【解析】解：如图所示：过作，
由题意可知：，
，
，
，
，
，
，，
．
故选：．
过点作的平行线，，，在根据平行线的性质，即可求得的值．
本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
先根据单项式乘单项式的法则计算，再合并同类项即可得出结果．
本题考查了单项式的乘法，整式的加减，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：当时，根据垂线段最短，可以知道此时线段最短，
直线，且、之间相距，
线段的最小值是，
故答案为：．
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，根据平行线之间的距离和垂线段最短即可得出答案．
本题考查了平行线之间的距离的定义，牢记平行线之间的距离的定义和垂线段最短是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：当，时，
．
故答案为：．
利用完全平方公式进行求解即可．
本题主要考查完全平方公式，解答的关键是熟记完全平方公式的形式：．
13.【答案】乙
【解析】解：，，
，
成绩较稳定的是乙，
故答案为：乙．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
14.【答案】
【解析】解：
，
结果中不含的一次项，
，
解得：．
故答案为：．
利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件即可求解．
本题主要考查多项式乘多项式，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15.【答案】
【解析】解：将三角形绕点按逆时针方向旋转得到，
，
，
，
故答案为：．
由旋转的性质得出，，由即可．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．
16.【答案】
【解析】解：沿方向平移得到，
，，
的周长为，即，
，
即四边形的周长为．
故答案为：．
先根据平移的性质得，，再由的周长为得到，然后利用等线段代换可计算出．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
17.【答案】解：，得，
解得，
把代入，得，
解得，
故方程组的解为．
【解析】，消去未知数进行求解即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
18.【答案】解：原式
，
当，时，
原式
．
【解析】先对多项式进行因式分解：第一步提取公因式，第二步用公式法分解，第三步检查分解是否彻底，再整体代入计算即可
本题考查了因式分解，整体代入法求代数式的值，正确进行因式分解是解题的关键．
19.【答案】 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补
【解析】解：因为已知，
所以两直线平行，同位角相等，
又因为已知，
所以等量代换，
所以内错角相等，两直线平行，
所以两直线平行，同旁内角互补．
故答案为：；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
根据平行线的判定方法和性质解答即可．
本题考查了平行线的判定与性质，熟记判定方法和相关性子是解题关键．
20.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求．
【解析】根据图形平移的性质画出即可；
根据轴对称的性质画出即可．
本题考查的是作图轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
21.【答案】解：七年级一班平均成绩为分，
七年级二班平均成绩为分，
，
七年级一班成绩好；
七年级一班平均成绩为分，
七年级二班平均成绩为分，
，
七年级二班成绩好．
【解析】根据算术平均数的定义列式计算即可得出答案；
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数和算术平均数的定义．
22.【答案】解：设新建个地上停车位需要万元，新建个地下停车位需要万元，
根据题意得：，
解得：
新建个地上停车位需要万元，新建个地下停车位需要万元．
设新建个地下停车位，则新建个地上停车位，
根据题意得：，
解得：，
，
答：新建个地下停车位，个地上停车位．
【解析】设新建个地上停车位需要万元，新建个地下停车位需要万元，根据“新建个地上停车位和个地下停车位共需万元；新建个地上停车位和个地下停车位共需万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设新建个地下停车位，则新建个地上停车位，根据总价单价数量即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程．
23.【答案】解：，，
，
直线平分交于点，
，
，
，
，
，
；
，，
，
，
．
【解析】先根据，得出，再由直线平分交于点得出，根据可得出，由即可得出结论；
由可知，，，故可得出的度数，进而得出结论．
本题考查的是平行线的性质和垂线的定义，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：是“相随数对”，
，
解得：，
故答案为：；
是“相随数对”，
，
，
解得：；
，，
，
解得：，
，
的值为，的值为．
根据“相随数对”的意义可得：，然后进行计算即可解答；
根据“相随数对”的意义可得：，然后进行计算即可解答；
把代入中进行计算，即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
25.【答案】解：阴影部分的面积为．
阴影部分的面积也可为，
故．
左上角的阴影部分的面积，
右下角的阴影部分的面积，
，
化简后，，
如果的长度变化时，始终保持不变，
，
．
【解析】阴影部分的面积间接用大减小可求，或直接求边长求亦可；
根据阴影部分的面积的两种表示方法列等式即可；
先用，，表示出，再根据的长度变化时始终保持不变，得出，应满足的关系．
本题考查学生掌握图形面积展开分析面积法的能力，以及对关于的函数关系式中的变与不变的分析能力．
26.【答案】解：，
，
；
如图所示，设与交于点，
，
，
；
由可知，，
当时，如图所示，设与交于点，
，
，
，
，
，
，
，
当时，如图所示
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，舍，
综上，，或，．
【解析】由，得进而；
设与交于点，由，可得，进而由外角得出；
由可知，，然后分情况讨论：当时；当时；当时；三种情况分别得出结论即可．
本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和等知识是解题的关键．
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