人教版高中数学选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念第3课时 同步作业（含解析）

人教版高中数学选择性必修第二册
4.3.1等比数列的概念第3课时 同步作业（原卷版）
1．【多选题】对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a4，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
2．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)
A．7　　　　　　　　　　　 B．5
C．－5 D．－7
3．(高考真题·全国Ⅰ)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和S8＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
4．两个正数插入3和9之间，使前三个数成等比数列而后三个数成等差数列，那么这两个正数之和是(　　)
A．13 B．11
C．10 D．0
5．(高考真题·全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)
A．21 B．42
C．6 D．84
6．(2017·课标全国Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项和为(　　)
A．－24 B．－3
C．3 D．8
7．(2020·广西柳州模拟)在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a13＋a15＝20，则a10－a12＝(　　)
A．4 B．5
C．6 D．8
8．(2017·课标全国Ⅲ，理)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________．
9．已知三个数成等比数列，其和为28，其积为512，则这三个数为________．
10．已知数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，判断下列哪些数列是等比数列．
①{an·bn}；②{an2}；③{an·an＋1}；④{k·an}；⑤{an＋bn}；
⑥；⑦{an＋2}；⑧{an＋2}．
11．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为(　　)
A．n100 B．n10
C．100n D．10n
12．若实数a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的个数是________．
13．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只．以此类推，假设n个月后共有老鼠an只，则an＝________．
14．设二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n∈N*)有两个实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.
(1)试用an表示an＋1；
(2)求证：是等比数列；
(3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式．
15．(2016·四川)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)
(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
16．(2020·安徽十四校联考)“中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于余数的问题，现有这样一个问题：将1到2 019这2 019个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为(　　)
A．167 B．168
C．169 D．170
17．(2020·河南八市联考)《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？设牛、马、羊的主人分别应偿还x斗，y斗，z斗，则下列判断正确的是(　　)
A．y2＝xz且x＝ B．y2＝xz且x＝
C．2y＝x＋z且x＝ D．2y＝x＋z且x＝
1．(2016·天津)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的(　　)
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．(高考真题·山东卷)设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
人教版高中数学选择性必修第二册
4.3.1等比数列的概念第3课时 同步作业（解析版）
1．【多选题】对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a4，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
答案　BD
解析　A中，＝q2，＝q6，∴不一定等于.∴A错误．同理验证B，C，D，可知选BD.
2．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)
A．7　　　　　　　　　　　 B．5
C．－5 D．－7
答案　D
解析　由a5a6＝a4a7，得a4a7＝－8，又a4＋a7＝2，所以a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，所以q3＝－或q3＝－2.当q3＝－时，a1＋a10＝＋a4q6＝＋4×＝－7；当q3＝－2时，a1＋a10＝＋a4q6＝＋(－2)×(－2)2＝－7.故选D.
3．(高考真题·全国Ⅰ)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和S8＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
答案　C
解析　∵a4＝2，a5＝5，∴a4a5＝a1a8＝a2a7＝a3a6＝10，
∴S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1a2…a8)
＝lg(a1a8)4＝lg(a4a5)4＝4lg(a4a5)＝4lg10＝4.故选C.
4．两个正数插入3和9之间，使前三个数成等比数列而后三个数成等差数列，那么这两个正数之和是(　　)
A．13 B．11
C．10 D．0
答案　B
解析　设 4个正数为3，a，b，9，则
∴2a2＝3(9＋a)，∴2a2－3a－27＝0，(2a－9)(a＋3)＝0.
∵a>0，∴2a－9＝0，a＝，∴b＝，∴a＋b＝.
5．(高考真题·全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)
A．21 B．42
C．6 D．84
答案　B
解析　由于a1(1＋q2＋q4)＝21，a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故选B.
6．(2017·课标全国Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项和为(　　)
A．－24 B．－3
C．3 D．8
答案　A
解析　设等差数列的公差为d，因为a2，a3，a6成等比数列，所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，即(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，得d2＋2d＝0，又d≠0，故d＝－2，
所以S6＝6a1＋d＝6＋×(－2)＝－24.
7．(2020·广西柳州模拟)在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a13＋a15＝20，则a10－a12＝(　　)
A．4 B．5
C．6 D．8
答案　A
解析　∵a4＋a6＋a13＋a15＝2(a4＋a15)＝20，
∴a4＋a15＝10，
∴a10－a12＝(5a10－a12)
＝(a8＋a9＋a10＋a11＋a12－a12)
＝(a4＋a15)＝4.故选A.
8．(2017·课标全国Ⅲ，理)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________．
答案　－8
解析　设等比数列{an}的公比为q，由题意得
解得q＝－2或q＝－1(舍)，当q＝－2时，a1＝1，
故a4＝a1·q3＝1×(－2)3＝－8.
9．已知三个数成等比数列，其和为28，其积为512，则这三个数为________．
答案　4，8，16或16，8，4
解析　设这三个数为，a，aq，
则
由②式，得a＝8.
把a＝8代入①式，得＋2q＝5，解得q＝2或.
∴这三个数为4，8，16或16，8，4.
10．已知数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，判断下列哪些数列是等比数列．
①{an·bn}；②{an2}；③{an·an＋1}；④{k·an}；⑤{an＋bn}；
⑥；⑦{an＋2}；⑧{an＋2}．
答案　①②③⑥⑧为等比数列．
11．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为(　　)
A．n100 B．n10
C．100n D．10n
答案　D
解析　由题意，在1和100之间插入n个正数，使得这n＋2个数构成等比数列，将插入的n个正数之积记作Tn，由等比数列的性质，序号的和相等，则项的乘积也相等知Tn＝100＝10n.
12．若实数a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的个数是________．
答案　0
解析　∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac(b≠0)．
又Δ＝b2－4ac＝－3b2<0，∴抛物线与x轴无交点．
13．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只．以此类推，假设n个月后共有老鼠an只，则an＝________．
答案　2×7n
解析　由题意可得1个月后的老鼠的只数a1＝(1＋6)×2＝2×7，
2个月后老鼠的只数a2＝2×(1＋6)×7＝2×72，
3个月后老鼠的只数a3＝2×(1＋6)×72＝2×73，…，
n个月后老鼠的只数an＝2×7n.
14．设二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n∈N*)有两个实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.
(1)试用an表示an＋1；
(2)求证：是等比数列；
(3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式．
解析　(1)由题意知α＋β＝，αβ＝，而6α－2αβ＋6β＝3，得－＝3，即6an＋1－2＝3an，得an＋1＝an＋.
(2)证明：由an＋1＝an＋，得an＋1－＝，若a1－＝0，则an＝，此时Δ＝an＋12－4an＜0，不满足题意．所以a1≠，所以是等比数列．
(3)当a1＝时，是以－＝为首项，以为公比的等比数列， 故an－＝×＝，则an＝＋.
15．(2016·四川)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)
(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
答案　B
解析　根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1>200，两边同时取对数，得n－1>.又≈＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元．故选B.
16．(2020·安徽十四校联考)“中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于余数的问题，现有这样一个问题：将1到2 019这2 019个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为(　　)
A．167 B．168
C．169 D．170
答案　C
解析　由题意得，能被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数，所以an＝12n－11，n∈N*，由an≤2 019，得n≤169.因为n∈N*，所以此数列的项数为169.故选C.
17．(2020·河南八市联考)《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？设牛、马、羊的主人分别应偿还x斗，y斗，z斗，则下列判断正确的是(　　)
A．y2＝xz且x＝ B．y2＝xz且x＝
C．2y＝x＋z且x＝ D．2y＝x＋z且x＝
答案　B
解析　由题意可知x，y，z依次成公比为的等比数列，则x＋y＋z＝x＋x＋x＝5，解得x＝.由等比数列的性质可得y2＝xz.故选B.
1．(2016·天津)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的(　　)
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　若对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0，则a1＋a2<0，又a1>0，所以a2<0，所以q＝<0.若q<0，可取q＝－1，a1＝1，则a1＋a2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0.所以“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分条件．故选C.
2．(高考真题·山东卷)设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　设数列{an}的公比为q，因为a10，所以有a11，所以数列{an}是递增数列；反之，若数列{an}是递增数列，因为a1>0，所以公比q>1，所以a1