人教版高中数学选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义第1课时 同步作业（含解析）

人教版高中数学选择性必修第二册
5.1.2导数的概念及其几何意义第1课时 同步作业（原卷版）
1．在求平均变化率时，自变量的增量Δx应满足(　　)
A．Δx>0　　　　　　　　 B．Δx<0
C．Δx＝0 D．Δx≠0
2．函数在某一点的导数是(　　)
A．在该点的函数的增量与自变量增量的比
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
3．若函数f(x)＝x2的图象上有一点P(2，4)及邻近点Q(2＋Δx，4＋Δy)，则 ＝(　　)
A．4 B．4x
C．4＋2(Δx)2 D．4＋2Δx
4．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为(　　)
A．3 B．0.29
C．2.09 D．2.9
5．函数f(x)在x＝a处可导，则 ＝(　　)
A．f(a) B．f′(a)
C．f′(h) D．f(h)
6．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中，平均变化率最大的是(　　)
A．④ B．③
C．② D．①
7．若f(x)＝，f′(1)＝1，则a的值为(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
8．已知函数f(x)＝，则此函数在[1，1＋Δx]上的平均变化率为________．
9．已知f(x)＝，则 的值是________．
10．函数y＝(3x－1)2在x＝x0处的导数为0，则x0＝________．
11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则
＝(　　)
A．11　　　　　　　　　　　 B．－11
C. D．－
12．已知奇函数f(x)满足f′(－1)＝1，则 ＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
13．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________．
14．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
(1)求当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率；
(2)求当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率；
(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．
15．若f′(x0)＝2，求的值．
16．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)
(1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了多少？
(2)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它表示什么意义？
(3)求T′(5)，并说明它的实际意义．
1．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy＝(　　)
A．f(x0＋Δx)　　　　　　 B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
2．函数y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为(　　)
A．Δx＋2 B．2Δx＋(Δx)2
C．Δx＋3 D．3Δx＋(Δx)2
3．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则f′(1)的值为(　　)
A．2 B．－1
C．1 D．－2
4．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　)
A．k1>k2 B．k1C．k1＝k2 D．不确定
5.如图是函数y＝f(x)的图象，则：
(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．
6．动点P沿x轴运动，运动方程为x＝10t＋5t2，式中t表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在20≤t≤20＋Δt时间段内动点的平均速度，
其中(1)Δt＝1，　(2)Δt＝0.1.
7．求函数y＝sinx在区间和上的平均变化率，并比较它们的大小．
人教版高中数学选择性必修第二册
5.1.2导数的概念及其几何意义第1课时 同步作业（解析版）
1．在求平均变化率时，自变量的增量Δx应满足(　　)
A．Δx>0　　　　　　　　 B．Δx<0
C．Δx＝0 D．Δx≠0
答案　D
解析　Δx是自变量的改变量，不能为0.
2．函数在某一点的导数是(　　)
A．在该点的函数的增量与自变量增量的比
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
答案　C
3．若函数f(x)＝x2的图象上有一点P(2，4)及邻近点Q(2＋Δx，4＋Δy)，则 ＝(　　)
A．4 B．4x
C．4＋2(Δx)2 D．4＋2Δx
答案　A
解析　 ＝ ＝ (4＋Δx)＝4.故选A.
4．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为(　　)
A．3 B．0.29
C．2.09 D．2.9
答案　D
5．函数f(x)在x＝a处可导，则 ＝(　　)
A．f(a) B．f′(a)
C．f′(h) D．f(h)
答案　B
6．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中，平均变化率最大的是(　　)
A．④ B．③
C．② D．①
答案　B
7．若f(x)＝，f′(1)＝1，则a的值为(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案　B
解析　f(1＋Δx)－f(1)＝－a＝，
＝，
f′(1)＝ ＝－a＝1，
所以a＝－1.故选B.
8．已知函数f(x)＝，则此函数在[1，1＋Δx]上的平均变化率为________．
答案　－
解析　＝＝＝.
9．已知f(x)＝，则 的值是________．
答案　－
10．函数y＝(3x－1)2在x＝x0处的导数为0，则x0＝________．
答案　
解析　Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(3x0＋3Δx－1)2－(3x0－1)2＝18x0Δx＋9(Δx)2－6Δx，
∴＝18x0＋9Δx－6.
∴ ＝18x0－6＝0，∴x0＝.
11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则
＝(　　)
A．11　　　　　　　　　　　 B．－11
C. D．－
答案　B
12．已知奇函数f(x)满足f′(－1)＝1，则 ＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案　A
解析　由f(x)为奇函数，得f(1)＝－f(－1)，
所以 ＝
＝f′(－1)＝1.故选A.
13．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________．
答案　2
解析　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝a(1＋Δx)＋4－a－4＝aΔx.
∴f′(1)＝ ＝a＝a.
又f′(1)＝2，∴a＝2.
14．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
(1)求当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率；
(2)求当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率；
(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．
解析　f(x)＝2x2＋3x－5，x1＝4，
Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)
＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x12＋3x1－5)
＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx
＝2(Δx)2＋19Δx.
＝＝2Δx＋19.
(1)当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，
Δy＝2(Δx)2＋19Δx＝2＋19＝21，
＝21.
(2)当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，
Δy＝2(Δx)2＋19Δx＝0.02＋1.9＝1.92.
＝2Δx＋19＝19.2.
(3)在(1)题中＝＝，
它表示抛物线上点P0(4，39)与点P1(5，60)连线的斜率，在(2)题中，＝＝，
它表示抛物线上点P0(4，39)与点P2(4.1，40.92)连线的斜率．
15．若f′(x0)＝2，求的值．
解析　令－k＝Δx，∵k→0，∴Δx→0.
则原式可变形为
＝－
＝－f′(x0)＝－×2＝－1.
16．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)
(1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了多少？
(2)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它表示什么意义？
(3)求T′(5)，并说明它的实际意义．
解析　(1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为
T(0)＝＋15＝39，
T(10)＝＋15＝23，则T(0)－T(10)＝16，
故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃.
(2)平均变化率为＝－＝－1.6.
它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.
(3)T′(5)＝ ＝－1.2，
它表示t＝5 min时蜥蜴体温下降的瞬时速度为1.2 ℃/min.
1．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy＝(　　)
A．f(x0＋Δx)　　　　　　 B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
答案　D
解析　函数值的改变量Δy是表示函数y＝f(x)在x＝x0＋Δx的函数值与在x＝x0的函数值之差，因此有Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
2．函数y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为(　　)
A．Δx＋2 B．2Δx＋(Δx)2
C．Δx＋3 D．3Δx＋(Δx)2
答案　C
3．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则f′(1)的值为(　　)
A．2 B．－1
C．1 D．－2
答案　B
4．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　)
A．k1>k2 B．k1C．k1＝k2 D．不确定
答案　D
解析　由定义可知k1＝2x0＋Δx，k2＝2x0－Δx，
因为Δx可正、可负但不可为0，
所以k1与k2大小不确定．故选D.
5.如图是函数y＝f(x)的图象，则：
(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．
解析　(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为
＝＝.
(2)由函数f(x)的图象知，
f(x)＝
所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为
＝＝.
答案　(1)　(2)
6．动点P沿x轴运动，运动方程为x＝10t＋5t2，式中t表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在20≤t≤20＋Δt时间段内动点的平均速度，
其中(1)Δt＝1，　(2)Δt＝0.1.
答案　(1)215 m/s　(2)210.5 m/s
7．求函数y＝sinx在区间和上的平均变化率，并比较它们的大小．
解析　y＝sinx在上的平均变化率为
＝，在上的平均变化率为
＝.
因为2－<1，所以>，
故在上的平均变化率较大．