2022-2023学年河北省石家庄市裕华区瀚林学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省石家庄市裕华区瀚林学校七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在中，画边上的高，正确的是( )
A. B. C. D.
2. 下列命题中是真命题的是( )
A. 同位角相等 B. 若，则
C. 等角的补角相等 D. 两条直线不相交就平行
3. 在中，，，，的值可能是( )
A. B. C. D.
4. 如图，是直线上一点，若，则为 ( )
A. B. C. D. 或
5. 如图所示，下列条件可判定直线的是( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，已知为直线外一定点，为直线上一动点则下列说法正确的是( )
A. 当点自左向右移动时，，两点间的距离越来越小
B. 连接，则线段的长度即为点到直线的距离
C. 过点有且只有一条直线与直线平行
D. 同一平面内，过点有两条直线与直线垂直
7. 今年某市约有名应届初中毕业生参加中考，用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
8. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
9. 若是关于、的二元一次方程，那么的取值满足( )
A. B. C. D.
10. 如果是一个完全平方式，则的值为( )
A. B. C. D.
11. 下列乘法公式的运用，不正确的是( )
A. B.
C. D.
12. 如图，，，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
13. 如图，直尺经过一副三角尺中的一块三角板的顶点，若，，则度数为( )
A. B. C. D.
14. 如图，三边的中线，，的公共点为，若，则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
15. 我国民间流传着一道数学问题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人：每人两多两，每人半斤少半斤注：古代斤两试问各位善算者，多少人分多少银．设有人，分两银，根据题意列二元一次方程组正确的是( )
A. B. C. D.
16. 将一副三角板按如图放置，则下列结论正确的个数有( )
如果与互余，则；
；
如果，则有；
如果，必有．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共4小题，共13.0分）
17. 将方程改写成用含的代数式表示的形式，则 ______ ．
18. 计算：______．
19. 如图是一个台阶侧面示意图，如果要在台阶上铺地毯，那么要买地毯______ 米
20. 如图所示，将一张长为，宽为的长方形纸片沿虚线剪成个直角三角形，拼成如图的正方形相邻纸片之间不重叠，无缝隙，若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，则：
______；
原长方形纸片的周长是______．
三、解答题（本大题共6小题，共45.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
解二元一次方程组
；
．
22. 本小题分
计算与化简：
；
．
23. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
24. 本小题分
如图，在中，，．
求证：；
若平分，，求的度数．
25. 本小题分
水果经营户老李用元从水果批发市场批发苹果和橙子共千克，然后到水果市场去卖，已知苹果和橙子当天的批发价和零售价如下表所示：
品名 苹果 橙子
批发价元千克
零售价元千克
求老李购进的苹果和橙子各多少千克？
如果苹果和橙子全部卖完，求老李能赚多少元．
26. 本小题分
如图，直线与直线、分别交于点、，平分交于点，且．
求证：；
如图，点是射线上一动点不与点、重合，平分交于点，于点，设，．
当点在点的右侧时，若，求的大小；
点在整个运动过程中，直接写出和之间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据高的定义，过点并且与边垂直．只有选项符合题意．
故选：．
根据高的定义，过点并且与边垂直的线段就是边上的高．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的角平分线、中线和高
2.【答案】
【解析】解：两直线平行，同位角相等，故A是假命题，不符合题意；
若，则或，故B是假命题，不符合题意；
等角的补角相等，故C是真命题，符合题意；
在同一平面内，两条直线不相交就平行，故D是假命题，不符合题意；
故选：．
根据平行线性质，补角、平行线、平方等定义逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握补角、平方运算、平行线等定义．
3.【答案】
【解析】解：中，，，，
，
符合，
故选：．
首先根据三角形的三边关系确定的取值范围，然后得到值．
本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是正确的利用三边关系列出不等式，难度不大．
4.【答案】
【解析】解：是直线上一点，，
．
故选：．
根据邻补角的定义可知，，据此计算即可．
本题主要考查了邻补角的运用，解决问题的关键是掌握邻补角的性质：邻补角互补，即和为．
5.【答案】
【解析】解：、根据能推出，故不合题意；
B、根据不能推出，故不合题意；
C、根据能推出，故不合题意；
D、根据能推出，故符合题意；
故选：．
平行线的判定定理有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据以上内容判断即可．
本题考查了平行线的判定，注意：平行线的判定定理有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
6.【答案】
【解析】解：、当点自左向右移动时，，两点间距离的变化趋势是先变小后边大，故本选项说法错误，不符合题意；
B、过点作直线的垂线段，垂线段的长度为点到直线的距离，故本选项说法错误，不符合题意；
C、过点有且只有一条直线与直线平行，故本选项说法正确，符合题意；
D、同一平面内，过点有且只有一条直线与直线垂直，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：．
根据两点间的距离的定义，点到直线的距离的定义，平行公理，垂线的性质进行判断即可．
本题考查了两点间的距离，点到直线的距离，平行公理，垂线的性质，掌握各定义与性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式．其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
8.【答案】
【解析】解：、，故此选项错误；
B、，不是同类项无法合并；
C、，故此选项错误；
D、，正确；
故选：．
直接利用负指数幂的性质以及同底数幂的乘除运算法则计算得出答案．
此题主要考查了负指数幂的性质以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：是关于、的二元一次方程，
，，
解得：．
故选：．
利用二元一次方程的定义判断即可．
此题考查了二元一次方程的定义，以及绝对值，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
在中，．
故选：．
这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和的积的倍，故．
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．
11.【答案】
【解析】解：选项运用平方差公式；
选项运用平方差公式；
选项是运用了完全平方公式计算正确；
选项运用完全平方公式计算，所以选项错误．
故选：．
选项运用了平方差公式，计算正确；
选项运用了平方差公式，计算正确；
选项运用了完全平方公式，计算正确；
选项运用了完全平方公式，所以原题计算错误．
本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，解决此类问题要熟知两个公式的形式：平方差是两数的和与两数的差的乘积等于两数的平方差，完全平方公式是两数的和或差的平方等于两数的平方和加上或减去这两数的乘积的倍首平方，尾平方，倍在中央，符号看前方．
12.【答案】
【解析】解：如图，过点作，
，
又，
，
，
，
即，
故选：．
如图，过点作，利用平行线的性质得到即可．
本题考查平行线的判定定理以及平行线的性质．注意如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行的运用．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
依据三角形外角性质，即可得到，再根据平行线的性质，即可得到的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
14.【答案】
【解析】解：因为点为三条中线的交点，
所以：：，即：：．
又点为中点，即是的中线，
所以．
所以．
则．
又．
所以阴影部分的面积为：．
故选：．
利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，以及三角形的重心把每条中线分成：的两部分，可解决问题．
本题考查了三角形重心的性质，以及三角形的中线可把三角形的面积平分．正确的将阴影部分的面积进行转化是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：每人两多两，
；
每人半斤少半斤，
．
列出的二元一次方程组为．
故选：．
根据“每人两多两，每人半斤少半斤”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：和是一副三角板，
，，，，
与互余，
，
，
，
，
与不平行，
结论不正确；
，
，，
，
结论正确；
，
，
即：，
，，
，
，
，
结论正确；
，，
，
，
，
，
，
结论正确．
综上所述：正确的结论为，共三个．
故选：．
首先根据和是一副三角板得，，，，
根据与互余可得，进而求出，据此得，进而可对结论进行判断；
根据，得，，据此可求出的度数，进而可对结论进行判断；
先由得，继而可求出，据此可求出的度数，进而可对结论进行判断；
先由，，继而可求出，由此得，进而可判定，最后根据平行线的性质可对结论进行判断，综上所述即可得出此题的答案．
此题主要考查了平行线的判定及性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定和性质，难点是利用一副三角板的特征进行有关角的计算．
17.【答案】
【解析】解：，
解得．
故答案为：．
要用的代数式表示，先移项，再将系数化为即可．
此题考查了解二元一次方程的知识．解本题关键是把方程中含有的项移到等号的右边，再把的系数化为．
18.【答案】
【解析】
【分析】
直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
【解答】
解：
．
故答案为：．
19.【答案】
【解析】解：根据平移可得至少要买这种地毯米，
故答案为：．
根据楼梯高为，楼梯长为，再把高和长相加即可．
本题考查了生活中的平移，解答此题的关键是找出楼梯的高和长与直角三角形两直角边的等量关系．
20.【答案】 ；
．
【解析】解：因为正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，
所以，
，
所以，
又因为，
所以，取正值
故答案为：；
因为图的正方形中间空白处的正方形的面积为，
所以，
所以
则有， 解得，， ，
原长方形的周长为，
故答案为：．
由拼图可知，，由完全平方公式可求出答案；
原长方形的周长为，利用的结论进行计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
21.【答案】解：，
把代入，得，
化简，得，
．
把代入，得．
原方程组的解为．
，
，得，
．
把代入，得，
．
原方程组的解为．
【解析】利用代入法求解比较简便；
利用加减消元法求解比较简便．
本题考查了二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
22.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先利用积的乘方法则，再利用合并同类项法则进行计算即可；
把看成一个整体，利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可．
本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握积的乘方法则，合并同类项法则和乘法公式．
23.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
24.【答案】证明：，
，
，
，
；
解：，，
，
平分，
，
，
，
，
．
【解析】根据平行线的性质推出，等量代换得出，推出；
平分，得出，再根据平行线的性质推出，再利用平角定义，外角性质得出的度数．
本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质，掌握三角形内角和定理、平行线的判定与性质的综合应用是解题关键．
25.【答案】解：设老李购进苹果千克，橙子千克，
根据题意得：，
解得：．
答：老李购进苹果千克，橙子千克；
元，
苹果和橙子全部卖完，老李能赚元．
【解析】设老李购进苹果千克，橙子千克，根据老李用元从水果批发市场批发苹果和橙子共千克，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
利用总利润每千克的销售利润销售数量购进数量，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
26.【答案】解：平分，
，
又，
，
；
如图，，
，
，
，
又平分，平分，
，，
，
又，
中，，
即；
分两种情况讨论：
如图，当点在点的右侧时，
证明：，
，
又平分，平分，
，，
，
又，
中，，
即；
如图，当点在点的左侧时，，
证明：，
，
又平分，平分，
，，
，
又，
中，，
即
【解析】依据角平分线，可得，根据，可得，进而得出；
依据平行线的性质可得，再根据平分，平分，即可得到，再根据，即可得到中，；
分两种情况进行讨论：当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，
本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进行推算．
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