2023年广西壮族自治区贵港市平南县中考模拟预测数学试题（含解析）

2023年广西壮族自治区贵港市平南县中考模拟预测数学试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.)
1．2023的相反数是（　　）
A． B． C．2023 D．﹣2023
2．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．截至5月17日，南水北调东中线一期工程已累计向北方输水超6.2×1010立方米，直接受益人口超1.5亿人，其中6.2×1010立方米可表示为（　　）
A．6.2亿立方米 B．62亿立方米
C．620亿立方米 D．6200亿立方米
4．下列运算正确的是（　　）
A．a3+a2＝a5 B．（a4）2＝a8
C．a6÷a2＝a3 D．﹣3（a﹣b）＝﹣3a﹣3b
5．在直角坐标系中，点A的坐标为（2，﹣3），那么点A关于原点对称的点A1的坐标是（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣3，﹣2）
6．如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
7．若关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
8．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．疫情期间，对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性
B．任意画一个三角形，其内角和为180°
C．某校开展“喜迎二十大，筑梦向未来”主题学习活动中，抽到A同学分享发言
D．打开电视机，正在播放“天宫课堂”
9．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，引绳度之，余绳四尺五寸，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在5×4的网格图中，每个小正方形的边长均为1．设经过格点A，B，则弧AD的弧长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
11．某天早晨7：00，小龚从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，修好车后继续骑行，7：20赶到了学校，结合图象，判断下列结论正确的是（　　）
A．小龚修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s
B．小龚家距离学校750m
C．小龚修好车后花了20分钟到达学校
D．小龚修车花了10分钟
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB、AC相交于点D，AE∥OB，反比例函数，若 OA＝6，OC＝4（　　）
A．6 B．11.25 C．12 D．18
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13．（2分）化简＝　 　．
14．（2分）已知分式＝0，则x＝　 　．
15．（2分）明珠塔楼是一栋古代工艺与现代精工艺完美融合的中式建筑．数学活动课上，老师带领兴趣小组去测量明珠塔的高度．如图，在C处用高0.5米的测倾器CE测得塔顶A的仰角为30°，在D处测得塔顶A的仰角为 60°，则明珠塔的高约为 　 　米（结果保留根号）．
16．（2分）有一组数据：3，a，4，6，7．它们的平均数是5，那么这组数据的方差是　 　．
17．（2分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+3的图象与x轴的交点坐标是 　 　．
18．（2分）如图，将半径为4，圆心角为90°的扇形ABC绕弧AC的中点P逆时针旋转 45°，B，C的对应点分别为点D，E，F，点D落在AB上，则图中阴影部分的面积为 　 　．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：（﹣3）2×3﹣1+（﹣8+5）+tan60°
20．（6分）先化简，再求值：
，其中x＝﹣1，y＝2．
21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：在⊙O上作点D，使得线段DB＝DC，
且线段AD与BC相交；
（2）在（1）的条件下，AD与BC相交于点P，求∠ADC 的度数．
22．（10分）阅读理解学习
如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上一点，PM，AC垂直，垂足分别为M，N，有 S△ABC＝S△ABP+S△ACP，即，由AB＝AC 可得 BD＝PM+PN.
请你模仿小刚的思路或者用你的新思路解决以下问题：
（1）如图2，当点P在CB的延长线上，且上面问题中其它条件不变时，PM，PN之间的数量关系 　 　．
（2）如图3，当点P是△ABC 内一点，且 AB＝AC＝BC，PM，PN，AC，BC垂直，N，Q，猜想此时线段BD，PM，PQ之间的数量关系是 　 　.并说明理由．
23．（10分）2022年是我国航天事业辉煌的一年，神舟十四号和神舟十五号两个飞行乘组6位航天员在太空会师，在神州大地上掀起了航天热潮，在全校范围内开展了航天知识竞赛，学校随机抽取了50名学生的成绩
组号 成绩 频数 频率
1 140≤x＜50 2 0.04
2 50≤x＜60 a 0.1
3 60≤x＜70 18 0.36
4 70≤x＜80 9 0.18
5 80≤x＜90 b m
6 90≤x≤100 2 0.05
合计 50 1.000

其中60≤x＜70这一组的数据如下：
61，62，62，64，64，64，64，64，64，64，66，67，69
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）表格中a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　；
（2）60≤x＜70这一组数据的众数是 　 　，中位数是 　 　；
（3）若以组中值（每组正中间数值）为本组数据的平均数，全校共有1500名学生参与竞赛
24．（10分）为实现“乡村振兴”战略目标，某乡镇制定了“以产业带动发展”的策略，开发出了某新型农产品，B两种型号的货车将该农产品运往外地销售，已知用1辆A型车和2辆B型车载满该农产品一次可运11吨，计划一次运完，且每辆车都满载．
（1）1辆A型货车和1辆B型货车满载时一次分别运该农产品多少吨？
（2）若1辆A型货车需租金100元/次，1辆B型货车需租金120元/次，请问有几种租车方案？哪种最省钱？
25．（10分）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片ABCD，组织同学们进行折纸探究活动．
【初步尝试】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，点B落在点B'处，连接 B'C，请直接写出∠AEB'与∠ECB'的数量关系．
【能力提升】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，使点B落在EF上的点P处，连接PD，猜想∠APD的度数，并说明理由．
【拓展延伸】在图2的条件下，作点A关于直线CP的对称点A'，连接PA′，AC，如图3

26．（10分）综合与探究．
如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C
（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标，请说明理由；
（3）如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l，交x轴于点D．若点M是二次函数图象上一动点，作直线AM，BM，F，在点M的运动过程中，DE+DF的值是否为定值？若是；若不是，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.)
1．2023的相反数是（　　）
A． B． C．2023 D．﹣2023
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：2023的相反数是﹣2023．
故选：D．
【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、原图不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、原图是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、原图不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．截至5月17日，南水北调东中线一期工程已累计向北方输水超6.2×1010立方米，直接受益人口超1.5亿人，其中6.2×1010立方米可表示为（　　）
A．6.2亿立方米 B．62亿立方米
C．620亿立方米 D．6200亿立方米
【分析】逆运用科学记数法的定义进行求解．
【解答】解：6.2×1010＝620×107＝620亿，
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的逆运用能力，关键是能准确理解并运用科学记数法的定义．
4．下列运算正确的是（　　）
A．a3+a2＝a5 B．（a4）2＝a8
C．a6÷a2＝a3 D．﹣3（a﹣b）＝﹣3a﹣3b
【分析】根据同底数幂的除法，去括号与添括号，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、a3与a2不能合并，故A不符合题意；
B、（a5）2＝a8，故B符合题意；
C、a7÷a2＝a4，故C不符合题意；
D、﹣3（a﹣b）＝﹣3a+3b；
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，去括号与添括号，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．在直角坐标系中，点A的坐标为（2，﹣3），那么点A关于原点对称的点A1的坐标是（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣3，﹣2）
【分析】直接利用关于原点对称点的坐标特点即可得出答案．
【解答】解：∵点A的坐标为（2，﹣3），
∴点A关于原点对称的点A4的坐标是（﹣2，3）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，谁两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反是解题关键．
6．如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】由平行线的判定“同位角相等，两直线平行”可知，∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，即∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°即可．
【解答】解：当∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，
∵∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，
∴∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键．
7．若关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
【分析】根据△的意义得到k≠0且Δ＝4﹣4k×（﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：∵x的方程kx2+2x﹣4＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＝5﹣4k×（﹣1）＞6，解得k＞﹣1，
∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠3．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
8．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．疫情期间，对从疫情高风险区归来的人员进行核酸检测，检测结果为阳性
B．任意画一个三角形，其内角和为180°
C．某校开展“喜迎二十大，筑梦向未来”主题学习活动中，抽到A同学分享发言
D．打开电视机，正在播放“天宫课堂”
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、疫情期间，检测结果为阳性，不符合题意；
B、任意画一个三角形，是必然事件；
C、某校开展“喜迎二十大，抽到A同学分享发言，不符合题意；
D、打开电视机，是随机事件；
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
9．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，引绳度之，余绳四尺五寸，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
10．如图，在5×4的网格图中，每个小正方形的边长均为1．设经过格点A，B，则弧AD的弧长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
【分析】连接AC，AD，根据的勾股定理得到AC＝AB＝＝，BC＝＝，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：连接AC，AD，
∵AC＝AB＝＝，BC＝＝，
∴AC7+AB2＝BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵∠AEB＝90°，
∴AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∴∠ABD＝∠DAB＝45°，
∴弧AD所对的圆心角为90°，
∴的长＝＝π，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是弧长的计算、等腰直角三角形的判定，锐角三角函数的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
11．某天早晨7：00，小龚从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，修好车后继续骑行，7：20赶到了学校，结合图象，判断下列结论正确的是（　　）
A．小龚修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s
B．小龚家距离学校750m
C．小龚修好车后花了20分钟到达学校
D．小龚修车花了10分钟
【分析】根据横坐标，可得时间；根据函数图象的纵坐标，可得路程．
【解答】解：A．由题意可知＝2.5（m/s）；
B．由纵坐标看出，故本选项不合题意；
C．由横坐标看出，故本选项不合题意；
D．小龚修车花了：15﹣4＝10（分钟）．
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象得出相应的时间，函数图象的纵坐标得出路程是解题关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB、AC相交于点D，AE∥OB，反比例函数，若 OA＝6，OC＝4（　　）
A．6 B．11.25 C．12 D．18
【分析】连接DE，交AB于F，先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA＝DB，证出四边形AEBD是菱形，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出点E的坐标；把点E坐标代入求出k的值即可．
【解答】解：∵BE∥AC，AE∥OB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵四边形OABC是矩形，OA＝6，
∴DA＝ACOB，AB＝OC＝3，
∴DA＝DB，
∴四边形AEBD是菱形；
连接DE，交AB于F
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB与DE互相垂直平分，
∵OA＝6，OC＝4，
∴EF＝DF＝OA＝3AB＝2，
∴点E坐标为：（3，2）．
∵反比例函数的图象经过点E，
∴k＝5×2＝18，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13．（2分）化简＝　3　．
【分析】利用二次根式的运算法则进行化简即可．
【解答】解：＝×＝5，
故答案为：3．
【点评】本题考查利用二次根式的运算法则将其化为最简二次根式，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14．（2分）已知分式＝0，则x＝　﹣3　．
【分析】让分子为0，分母不为0列式求值即可．
【解答】解：由题意得：，
解①得：x＝±6，
解②得x≠3，
∴x＝﹣3，
故答案为﹣5．
【点评】考查分式值为0的条件；用到的知识点为：分式值为0，分子为0，分母不为0．
15．（2分）明珠塔楼是一栋古代工艺与现代精工艺完美融合的中式建筑．数学活动课上，老师带领兴趣小组去测量明珠塔的高度．如图，在C处用高0.5米的测倾器CE测得塔顶A的仰角为30°，在D处测得塔顶A的仰角为 60°，则明珠塔的高约为 　（23+0.5）　米（结果保留根号）．
【分析】设AG＝x米，分别在Rt△AFG和Rt△AEG中，表示出FG和GE的长度，然后根据CD＝40米，求出x的值，继而可求出明珠塔的高度AB．
【解答】解：如图，
设AG＝x米，
在Rt△AFG中，∠AFG＝60°＝，
∴FG＝x，
在Rt△AEG中，∠AEG＝30°，
∴EG＝x，
∴x﹣，
解得：x＝23．
∴AG＝23米，
则AB＝（23+0.5）米．
答：明珠塔的高AB为（23+0.5）米．
故答案为：（23+0.5）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．
16．（2分）有一组数据：3，a，4，6，7．它们的平均数是5，那么这组数据的方差是　2　．
【分析】先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算．一般地设n个数据，x1，x2，…，xn的平均数为，＝（x1+x2+…+xn），则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．
【解答】解：a＝5×5﹣3﹣4﹣6﹣8＝5，
s2＝[（3﹣3）2+（5﹣5）2+（4﹣3）2+（6﹣5）2+（7﹣2）2]＝2．
故答案为：5．
【点评】本题考查了方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…，xn的平均数为，＝（x1+x2+…+xn），则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
17．（2分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+3的图象与x轴的交点坐标是 　（﹣，0）　．
【分析】令一次函数解析式中y＝0，则可得出关于x的一元一次方程，解方程得出x值，从而得出一次函数图象与x轴的交点坐标．
【解答】解：令y＝2x+3中y＝6，则2x+3＝8，
解得：x＝﹣．
∴一次函数y＝﹣4x+3的图象与x轴的交点坐标为（﹣，0）．
故答案为：（﹣，0）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，令一次函数解析式中y（或x）＝0，求出x（或y）值是关键．
18．（2分）如图，将半径为4，圆心角为90°的扇形ABC绕弧AC的中点P逆时针旋转 45°，B，C的对应点分别为点D，E，F，点D落在AB上，则图中阴影部分的面积为 　4π+8﹣16　．
【分析】设DE与BC的交点为Q，连接BP、DP、AP，过点P作PG⊥AB于点G，由S弓形AP＝S弓形DP可得S阴影＝S扇形ABC﹣S△ADP﹣S△DBQ，再证△BPG，△DBQ是等腰直角三角形，求出相关线段长度，进而求出S△ADP，S△DBQ，代入计算即可．
【解答】解：如图，设DE与BC的交点为Q、DP，过点P作PG⊥AB于点G，
∵扇形ABC绕点P逆时针旋转45°得到扇形DEF，
∴S弓形AP＝S弓形DP，扇形ABC中空白部分的面积＝S△ADP+S△DBQ，
∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△ADP﹣S△DBQ．
∵AP＝DP，
∴△ADP是等腰三角形，
∴AG＝GD，
∵∠ABC＝90°，P为弧AC的中点，
∴∠ABP＝45°，
∴△BPG是等腰直角三角形，
∵BP＝4，
∴GB＝GP＝2，
∴AG＝4﹣2，
∴AD＝8﹣4，
∴S△ADP＝ AD PG＝）×6﹣2，
∵∠PDQ＝∠PAD，
∴∠QDB＝45°，
∴△DBQ为等腰直角三角形，
∴S△DBQ＝BD3＝（3﹣AD）2＝24﹣16，
∵S扇形ABC＝＝4π，
∴S阴影＝8﹣（4﹣16﹣16．
故答案为：4π+8﹣16．
【点评】本题考查旋转的性质，扇形的面积，等腰三角形的判定和性质等，解题的关键是通过推导得出S阴影＝S扇形ABC﹣S△ADP﹣S△DBQ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：（﹣3）2×3﹣1+（﹣8+5）+tan60°
【分析】根据负整数指数幂，有理数的乘方，有理数的乘法，有理数的加法，特殊锐角三角函数值进行计算即可．
【解答】解：原式＝9×+（﹣3）+
＝5﹣3+
＝．
【点评】本题考查实数的混合运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
20．（6分）先化简，再求值：
，其中x＝﹣1，y＝2．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式和多项式除以单项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，最后将x、y的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝x6﹣y2+x2﹣6xy+y2+xy﹣4
＝8x2﹣xy﹣4，
当x＝﹣3，y＝2时2﹣（﹣5）×2﹣4＝3．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．
21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：在⊙O上作点D，使得线段DB＝DC，
且线段AD与BC相交；
（2）在（1）的条件下，AD与BC相交于点P，求∠ADC 的度数．
【分析】（1）根据垂径定理，作BC的垂直平分线即可；
（2）根据圆周角定理求解．
【解答】解：（1）如图：点D即为所求；
（2）∵∠ABP＝∠BAP，
∴AC＝BD，
∵DB＝DC，
∴AC＝BD＝CD，
∴∠ADC＝30°．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握圆周角定理是解题的关键．
22．（10分）阅读理解学习
如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上一点，PM，AC垂直，垂足分别为M，N，有 S△ABC＝S△ABP+S△ACP，即，由AB＝AC 可得 BD＝PM+PN.
请你模仿小刚的思路或者用你的新思路解决以下问题：
（1）如图2，当点P在CB的延长线上，且上面问题中其它条件不变时，PM，PN之间的数量关系 　BD＝PM﹣PN　．
（2）如图3，当点P是△ABC 内一点，且 AB＝AC＝BC，PM，PN，AC，BC垂直，N，Q，猜想此时线段BD，PM，PQ之间的数量关系是 　BD＝PM+PN+PQ　.并说明理由．
【分析】（1）连接PA，由△ABC的面积＝△APC的面积﹣△APB的面积，得到AC BD＝AC PN﹣AB PM，又AB＝AC，即可推出BD＝PM﹣PN；
（2）连接PA、PB、PC，由△ABC的面积＝△PAB的面积+△PAC的面积+△PBC的面积，得到AC BD＝AB PM+AC PN+BC PQ，又AB＝AC＝BC，即可证明BD＝PM+PN+PQ．
【解答】解：（1）BD＝PM﹣PN，理由如下：
连接PA，
∵PN⊥AC，BD⊥AC，
∴△APC的面积＝AC PNAB PMAC BD，
∵△ABC的面积＝△APC的面积﹣△APB的面积，
∴AC BD＝AB PM，
∵AB＝AC，
∴BD＝PM﹣PN，
故答案为：BD＝PM﹣PN．
（2）BD＝PM+PN+PQ，理由如下：
连接PA、PB，
∵BD是△ABC 的高，PM，PQ分别与直线AB，BC垂直，
∴△ABC的面积＝AC BDAB PMAC PNBC PQ，
∵△ABC的面积＝△PAB的面积+△PAC的面积+△PBC的面积，
∴AC BD＝AC PN+，
∵AB＝AC＝BC，
∴BD＝PM+PN+PQ，
故答案为：BD＝PM+PN+PQ．
【点评】本题考查三角形的面积，等腰三角形、等边三角形的性质，关键是由三角形面积公式来解决问题．
23．（10分）2022年是我国航天事业辉煌的一年，神舟十四号和神舟十五号两个飞行乘组6位航天员在太空会师，在神州大地上掀起了航天热潮，在全校范围内开展了航天知识竞赛，学校随机抽取了50名学生的成绩
组号 成绩 频数 频率
1 140≤x＜50 2 0.04
2 50≤x＜60 a 0.1
3 60≤x＜70 18 0.36
4 70≤x＜80 9 0.18
5 80≤x＜90 b m
6 90≤x≤100 2 0.05
合计 50 1.000

其中60≤x＜70这一组的数据如下：
61，62，62，64，64，64，64，64，64，64，66，67，69
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）表格中a＝　5　，b＝　14　，m＝　0.28　；
（2）60≤x＜70这一组数据的众数是 　64　，中位数是 　64　；
（3）若以组中值（每组正中间数值）为本组数据的平均数，全校共有1500名学生参与竞赛
【分析】（1）根据频数＝频率×总数及各组频数之和等于总数求解即可；
（2）根据众数和中位数的定义求解即可；
（3）利用加权平均数的定义及样本估计总体求解即可．
【解答】解：（1）a＝50×0.1＝4，b＝50﹣（2+5+18+2+2）＝14，
∴m＝14÷50＝0.28，
故答案为：2，14；
（2）根据60≤x＜70这一组的数据：61，62，64，64，64，64，64，64，64，69；
中位数是：＝64，
故答案为：64，64；
（3）×（45×5+55×5+65×18+75×9+85×14+95×7）＝71.8（分），
答：估计所有学生成绩的平均分约为71.8分．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（10分）为实现“乡村振兴”战略目标，某乡镇制定了“以产业带动发展”的策略，开发出了某新型农产品，B两种型号的货车将该农产品运往外地销售，已知用1辆A型车和2辆B型车载满该农产品一次可运11吨，计划一次运完，且每辆车都满载．
（1）1辆A型货车和1辆B型货车满载时一次分别运该农产品多少吨？
（2）若1辆A型货车需租金100元/次，1辆B型货车需租金120元/次，请问有几种租车方案？哪种最省钱？
【分析】（1）设1辆A型货车载满该农产品一次可运送x吨，1辆B型货车载满该农产品一次可运送y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满洋葱一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋葱一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解之即可；
（2）设租用A型货车α辆，B型货车b辆，根据一次运送31吨该农产品，即可得出关于a，b的二元一次方程，解之a，b均为非负整数，即可得出各租车方案；
【解答】解：（1）设1辆A型货车载满该农产品一次可运送x吨，1辆B型货车载满该农产品一次可运送y吨，
由题意可得：，
解得：，
答：1辆A型货车载满该农产品一次可运送3吨，6辆B型货车载满该农产品一次可运送4吨；
（2）设租用A型货车α辆，B型货车b辆，
由题意可得：3a+3b＝31，
∴a＝，
又∵a，b均为非负整数，
∴或或，
∴该物流公司共有5种租车方案，
方案1：租用9辆A型车，4辆B型车；
方案2：租用5辆A型车，3辆B型车；
方案3：租用1辆A型车，7辆B型车，
∴方案1的费用：9×100+4×120＝1020元，
方案2的费用：5×100+8×120＝980元，
方案1的费用：1×100+2×120＝940元，
∵1020＞980＞940，
∴方案3最省钱．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，二次一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
25．（10分）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片ABCD，组织同学们进行折纸探究活动．
【初步尝试】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，点B落在点B'处，连接 B'C，请直接写出∠AEB'与∠ECB'的数量关系．
【能力提升】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，使点B落在EF上的点P处，连接PD，猜想∠APD的度数，并说明理由．
【拓展延伸】在图2的条件下，作点A关于直线CP的对称点A'，连接PA′，AC，如图3

【分析】（1）连接BB'，由折叠的性质证出BE＝BE'，∠AEB＝∠AEB'，BB'⊥AE，得出AE∥CB'，由平行线的性质得出∠AEB＝∠ECB'，则可得出结论；
（2）证明△APD是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠APD＝60°；
（3）连接A'C、AA'，证明△AA'B≌△CA'B（SSS），得出∠AA'B＝∠CA'B＝∠AA'C＝30°，则可得出答案．
【解答】解：（1）∠AEB'＝∠ECB'．
连接BB'，
∵把正方形对折，
∴E为BC的中点，
∴BE＝CE，
∵沿过点A与点E所在的直线折叠，点B落在点B'处，
∴BE＝BE'，∠AEB＝∠AEB'，
∴BE＝CE＝BE'
∴∠BB'C＝90°，
∴AE∥CB'，
∴∠AEB＝∠ECB'，
∴∠AEB'＝∠ECB'；
（2）猜想：∠APD＝60°．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ADC＝90°，
由折叠性质可得：，EF⊥AD．
∴PA＝PD＝AD，
∴△APD是等边三角形，
∴∠APD＝60°；
（3）解：连接A'C、AA'，
由（2）得△APD是等边三角形，
∴∠PAD＝∠PDA＝∠APD＝60°，AP＝DP＝AD，
∵∠ADC＝90°，
∴∠PDC＝30°，
又∵PD＝AD＝DC，
∴∠DPC＝∠DCP＝，∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠PAC＝∠PAD﹣∠DAC＝60°﹣45°＝15°，∠ACP＝∠DCP﹣∠DCA＝75°﹣45°＝30°．
由对称性质得：AC＝A'C，∠ACP＝∠A'CP＝30°，
∴∠ACA'＝60°，
∴△ACA'是等边三角形，
在△AA'B 与△CA'B中，
，
∴△AA'B≌△CA'B（SSS），
∴∠AA'B＝∠CA'B＝∠AA'C＝30°，
又∵∠CA'P＝∠CAP＝15°，
∴∠PA'B＝∠CA'B﹣∠CA'P＝15°．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质是解题的关键．
26．（10分）综合与探究．
如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C
（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标，请说明理由；
（3）如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l，交x轴于点D．若点M是二次函数图象上一动点，作直线AM，BM，F，在点M的运动过程中，DE+DF的值是否为定值？若是；若不是，请说明理由．
【分析】（1）先根据二次函数的性质求出A，B，C的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）分两种情况讨论，当点P在BC上方时，当点P在BC下方时，再利用勾股定理和待定系数法进行求解即可；
（3）由（2）得抛物线的对称轴为直线x＝1，求出点D的坐标，设且﹣1＜t＜3，分别求出直线AM的解析式和直线BM的解析式，进而表示出，即可求解．
【解答】解：（1）当y＝0时，即，
解得：x8＝﹣1，x2＝4．
∴图象与x轴交于点A（﹣1，0），6），
当x＝0时，y＝2，4），
∴直线BC的函数表达式为；
（2）存在，理由如下：
当点P在BC上方时，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CP∥AB，即CP∥x轴，
∴点P与点C关于抛物线的对称轴对称，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线；
∵C（0，2），
∴P（8，2）；
当点P在BC下方时，设CP交x轴于点K（m，
则OK＝m，KB＝3﹣m．
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CK＝BK＝5﹣m．
在Rt△COK中，OC2+OK2＝CK4，
∴22+m3＝（3﹣m）2，
解得：，
∴，
设直线CK的解析式为y＝kx+d，
，
解得：，
∴直线CK的解析式为，
联立，得，
解得：（舍去），，
∴．
综上所述，点P的坐标为（2；
（3）存在，DE+DF的值为定值
由（2）得抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴D（4，0），
设且﹣1＜t＜4，
设直线AM的解析式为y＝k1x+b1，
将A（﹣6，0）和点M的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AM的解析式为，
当x＝7时，，
∴，
同理，直线BM的解析式为：，
当x＝1时，，
∴，
∴，
∴，
∴DE+DF的值是定值，．
【点评】本题考查了二次函数的综合题目，涉及待定系数法求一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．