人教版高中数学选择性必修第二册5.2.1基本初等函数的导数 同步作业（含解析）

人教版高中数学选择性必修第二册
5.2.1基本初等函数的导数 同步作业（原卷版）
1．下列结论不正确的是(　　)
A．若y＝x4，则y′|x＝2＝32
B．若y＝，则y′|x＝2＝－
C．若y＝，则y′|x＝1＝－
D．若y＝sin，则y′|x＝＝－1
2．函数f(x)＝在x＝2和x＝3处的导数的大小关系是(　　)
A．f′(2)f′(3)
C．f′(2)＝f′(3) D．大小关系不确定
3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)
A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
4．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度是(　　)
A. B.
C. D.
5．【多选题】在下列函数中，值域不是[－，]的函数是(　　)
A. y＝(sinx)′＋(cosx)′　　 B．y＝(sinx)′＋cosx
C．y＝sinx＋(cosx)′ D．y＝(sinx)′·(cosx)′
6．下列结论
①(sinx)′＝－cosx；②(x)′＝x；
③(log3x)′＝；④(lnx)′＝.
其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
7．下列结论正确的是________(填序号)．
①y＝ln2，则y′＝
②y＝2x，则y′＝2xln2
③y＝log2x，则y′＝
④y＝lnx，则y′＝x
8．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．
9．若曲线y＝lnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
10．曲线y＝log2x在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．
11．点P是曲线y＝－x2上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为(　　)
A．1 B.
C. D.
12．求下列函数的导数：
(1)y＝2x；
(2)y＝x；
(3)y＝；
(4)y＝log3x；
(5)y＝(1－)＋；
(6)y＝(x＋1)(x－1)＋1.
13．(1)求曲线y＝sinx在点A处的切线方程；
(2)求正弦曲线y＝sinx上切线斜率等于的点．
14．(1)求过曲线y＝ex上点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程；
(2)曲线y＝x5上一点M处的切线与直线y＝－x＋3垂直，求此切线方程．
15．已知曲线方程为y＝x2，求过点A(3，5)且与曲线相切的直线方程．
1．y＝的导数是(　　)
A．3x2 B.x2
C．－ D.
2．已知f(x)＝lnx，则f(e)＋f′(1)＝________．
3．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
人教版高中数学选择性必修第二册
5.2.1基本初等函数的导数 同步作业（解析版）
1．下列结论不正确的是(　　)
A．若y＝x4，则y′|x＝2＝32
B．若y＝，则y′|x＝2＝－
C．若y＝，则y′|x＝1＝－
D．若y＝sin，则y′|x＝＝－1
答案　B
解析　∵y＝＝x－，∴y′＝－·x－＝－.∴y′|x＝2＝－＝－.
2．函数f(x)＝在x＝2和x＝3处的导数的大小关系是(　　)
A．f′(2)f′(3)
C．f′(2)＝f′(3) D．大小关系不确定
答案　A
解析　因为y′＝′＝－，
所以y′|x＝2＝－＝－，即f′(2)＝－，y′|x＝3＝－＝－，即f′(3)＝－，
因为－<－，所以f′(2)3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)
A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
答案　A
解析　∵l与直线x＋4y－8＝0垂直，
∴l的斜率为4.∵y′＝4x3，
∴由切线l的斜率是4，得4x3＝4，∴x＝1.
∴切点坐标为(1，1)．
∴切线方程为y－1＝4(x－1)，
即4x－y－3＝0.故选A.
4．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
5．【多选题】在下列函数中，值域不是[－，]的函数是(　　)
A. y＝(sinx)′＋(cosx)′　　 B．y＝(sinx)′＋cosx
C．y＝sinx＋(cosx)′ D．y＝(sinx)′·(cosx)′
答案　BCD
6．下列结论
①(sinx)′＝－cosx；②(x)′＝x；
③(log3x)′＝；④(lnx)′＝.
其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案　B
解析　(sinx)′＝cosx，(x)′＝x，(log3x)′＝.所以①②③都不正确．由求导公式知④正确．故选B.
7．下列结论正确的是________(填序号)．
①y＝ln2，则y′＝
②y＝2x，则y′＝2xln2
③y＝log2x，则y′＝
④y＝lnx，则y′＝x
答案　②③
8．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．
答案　(1，e)　e
9．若曲线y＝lnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
答案　
解析　由题意得y′＝，
直线2x－y＋1＝0的斜率为2.
设P(m，n)，
则＝2，解得m＝，n＝－ln2，
所以点P的坐标为.
10．曲线y＝log2x在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．
答案　
解析　∵y′＝，∴k＝y′|x＝1＝.
∴切线方程为y＝(x－1)．
∴三角形面积为S△＝×1×＝.
11．点P是曲线y＝－x2上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为(　　)
A．1 B.
C. D.
答案　B
解析　依题意知，当曲线y＝－x2在P点处的切线与直线y＝x＋2平行时，点P到直线y＝x＋2的距离最小，设此时P点的坐标为(x0，y0)．由导数的几何意义可知在P点的切线的斜率为k＝－2x0，因为该切线与直线y＝x＋2平行，所以有－2x0＝1.得x0＝－.
故P点的坐标为，这时点P到直线y＝x＋2的距离d＝＝.
12．求下列函数的导数：
(1)y＝2x；
(2)y＝x；
(3)y＝；
(4)y＝log3x；
(5)y＝(1－)＋；
(6)y＝(x＋1)(x－1)＋1.
解析　(1)y′＝2xln2.　(2)y′＝x－.
(3)y′＝(x)′＝x－.　(4)y′＝.
(5)因为y＝(1－)＋＝＋＝，
所以y′＝－x－.
(6)因为y＝(x＋1)(x－1)＋1＝x3－1＋1＝x3，所以y′＝(x3)′＝3x2.
13．(1)求曲线y＝sinx在点A处的切线方程；
(2)求正弦曲线y＝sinx上切线斜率等于的点．
解析　(1)∵y＝sinx，∴y′＝cosx.
∴y′|x＝＝cos＝，k＝.
∴切线方程为y－＝.
化简得6x－12y＋6－π＝0.
(2)∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.
设曲线上点P(x0，y0)处的切线的斜率为，则
y′|x＝x0＝cosx0＝，∴x0＝2kπ±(k∈Z)．
∴y0＝sinx0＝sin＝±.
∴适合题意的点的坐标为(2kπ＋，)，(2kπ－，
－)(k∈Z)．
14．(1)求过曲线y＝ex上点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程；
(2)曲线y＝x5上一点M处的切线与直线y＝－x＋3垂直，求此切线方程．
解析　(1)∵y′＝ex，
∴曲线在点P(1，e)处的切线斜率是y′|x＝1＝e.
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为k＝－.
∴所求直线方程为y－e＝－(x－1)，
即x＋ey－e2－1＝0.
(2)∵切线与y＝－x＋3垂直，∴切线斜率为1.
又y′＝x4，令x4＝1，∴x＝±1.
∴切线方程为5x－5y－4＝0或5x－5y＋4＝0.
15．已知曲线方程为y＝x2，求过点A(3，5)且与曲线相切的直线方程．
解析　方法一：设过A(3，5)与曲线y＝x2相切的直线方程为y－5＝k(x－3)，即y＝kx＋5－3k.
由
得x2－kx＋3k－5＝0.
Δ＝k2－4(3k－5)＝0，
整理得(k－2)(k－10)＝0.
∴k＝2或k＝10.
所求的直线方程为
2x－y－1＝0，10x－y－25＝0.
方法二：设切点P的坐标为(x0，y0)，
由y＝x2，得y′＝2x.
∴y′|x＝x0＝2x0.
由已知kPA＝2x0，即＝2x0.
又y0＝x02，代入上式整理，得x0＝1或x0＝5.
∴切点坐标为(1，1)，(5，25)．
∴所求直线方程为2x－y－1＝0，10x－y－25＝0.
1．y＝的导数是(　　)
A．3x2 B.x2
C．－ D.
答案　D
解析　y＝＝x，
所以y′＝x－＝.故选D.
2．已知f(x)＝lnx，则f(e)＋f′(1)＝________．
答案　2
解析　∵f′(x)＝，∴f′(1)＝1.
又∵f(e)＝lne＝1，
∴f(e)＋f′(1)＝1＋1＝2.
3．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
解析　如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，
所以ex0＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，
即P(0，1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.