人教版高中数学选择性必修第二册5.2.2导数的四则运算法则 同步作业（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第二册5.2.2导数的四则运算法则 同步作业（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 199.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-15 15:41:41 | ||
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文档简介
人教版高中数学选择性必修第二册
5.2.2导数的四则运算法则 同步作业（原卷版）
1．函数y＝x·lnx的导数是( )
A．x B.
C．lnx＋1 D．lnx＋x
2．函数y＝的导数是( )
A．－ B．－sinx
C．－ D．－
3．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
4．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )
A. B.
C. D.
5．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D.
6．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )
A．4 B．－
C．2 D．－
7．(2018·天津)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．
8．若f(x)＝x2－3x－2lnx，则f′(x)>0的解集为________．
9．(2018·课标全国Ⅲ，理)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________．
10．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________．
11．已知f＝，则f′(x)＝( )
A. B．－
C. D．－
12．已知y＝x3－x－1＋1，则其导函数的值域为________．
13．曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于y＝x的切线，则两切线之间的距离为________．
14.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx图象过点(1，5)，其导函数y＝f′(x)图象如图所示，求f(x)解析式．
15．【多选题】下列曲线与直线y＝2x相切的有( )
A．曲线y＝2ex－2 B．曲线y＝2sinx
C．曲线y＝3x＋ D．曲线y＝x3－x－2
16．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线，求f(x)．g(x)的表达式．
1．已知f(x)＝sinx＋cosx，则f′的值为( )
A.－ B.＋
C.－ D．0
2．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)等于( )
A．26 B．29
C．215 D．212
3．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0等于( )
A．e2 B．e
C. D．ln2
4．已知f(x)＝x2－xf′(0)－1，则f(2 015)的值为( )
A．2 012×2 014 B．2 013×2 014
C．2 013×2 015 D．2 014×2 016
5．已知函数y＝f(x)满足f(1)＝2，f′(1)＝－1，则曲线g(x)＝exf(x)在x＝1处的切线斜率是( )
A．－e B．e
C．2e D．3e
6．已知f(x)＝cosx，则f(π)＋f′等于( )
A．－ B.
C．－ D．－
7．【多选题】已知lnx1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln2＝0，记M＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，则( )
A．M的最小值为 B．当M最小时，x2＝
C．M的最小值为 D．当M最小时，x2＝
8．设直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．
9．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′＝，则a＝________，b＝________．
10．求下列函数的导数：
(1)y＝x3·ex；
(2)y＝x2＋log3x；
(3)y＝.
11．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l1，l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
12．已知f′(x)＝3x2－6x，且f(0)＝4，解不等式f(x)>0.
13．若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，求k的值．
人教版高中数学选择性必修第二册
5.2.2导数的四则运算法则 同步作业（解析版）
1．函数y＝x·lnx的导数是( )
A．x B.
C．lnx＋1 D．lnx＋x
答案 C
解析 y′＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋x·＝lnx＋1.
2．函数y＝的导数是( )
A．－ B．－sinx
C．－ D．－
答案 C
解析 y′＝′＝
＝.
3．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
答案 A
解析 因为y＝＝，所以y′＝＝，
所以y′|x＝－1＝2，
所以切线方程为y－(－1)＝2[x－(－1)]，
即y＝2x＋1.
4．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，a＝.
5．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D.
答案 A
解析 y′＝x－，由x－＝，
得x＝3或x＝－2.由于x>0，所以x＝3.
6．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )
A．4 B．－
C．2 D．－
答案 A
解析 依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4，选A.
7．(2018·天津)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．
答案 e
解析 函数f(x)＝exlnx，则f′(x)＝exlnx＋·ex.
∴f′(1)＝e·ln1＋1·e＝e.
8．若f(x)＝x2－3x－2lnx，则f′(x)>0的解集为________．
答案 (2，＋∞)
解析 f′(x)＝2x－3－＝＝(x>0)，
令(2x＋1)(x－2)>0，
得x>2.
9．(2018·课标全国Ⅲ，理)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________．
答案 －3
解析 y′＝a·ex＋(ax＋1)·ex＝ex·(ax＋a＋1)，据题意e0·(a·0＋a＋1)＝－2，∴a＝－3.
10．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________．
答案 3x－y－11＝0
解析 y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3≥3，
当且仅当x＝－1时取等号，当x＝－1时，y＝－14.
∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.
11．已知f＝，则f′(x)＝( )
A. B．－
C. D．－
答案 D
解析 ∵f＝＝， ∴f(x)＝.
∴f′(x)＝－.
12．已知y＝x3－x－1＋1，则其导函数的值域为________．
答案 [2，＋∞)
解析 y′＝x2＋≥2，当且仅当x2＝即x＝±1时，“＝”成立．
13．曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于y＝x的切线，则两切线之间的距离为________．
答案
解析 y＝x(x＋1)(2－x)＝－x3＋x2＋2x，
y′＝－3x2＋2x＋2，令－3x2＋2x＋2＝1，得
x1＝1或x2＝－.
∴两个切点分别为(1，2)和.
切线方程为x－y＋1＝0和x－y－＝0.
∴d＝＝.
14.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx图象过点(1，5)，其导函数y＝f′(x)图象如图所示，求f(x)解析式．
解析 由题意得a＋b＋c＝5，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
∴3ax2＋2bx＋c＝0的两根为1和2，
即f′(1)＝0，f′(2)＝0.
即又a＋b＋c＝5，
∴a＝2，b＝－9，c＝12.
f(x)＝2x3－9x2＋12x.
15．【多选题】下列曲线与直线y＝2x相切的有( )
A．曲线y＝2ex－2 B．曲线y＝2sinx
C．曲线y＝3x＋ D．曲线y＝x3－x－2
答案 ABD
解析 本题考查导数的几何意义．直线y＝2x的斜率为2，对于A，若f(x)＝2ex－2，则由f′(x)＝2ex＝2，得x＝0，点(0，0)在直线y＝2x上，则直线y＝2x与曲线y＝2ex－2相切，故A正确；对于B，若f(x)＝2sinx，则由f′(x)＝2cosx＝2，得x＝2kπ(k∈Z)，f(2kπ)＝0，当k＝0时，切点为(0，0)，点(0，0)在直线y＝2x上，故直线y＝2x与曲线y＝2sinx相切，故B正确；对于C，若f(x)＝3x＋，则由f′(x)＝3－＝2，得x＝±1，点(1，4)，(－1，－4)都不在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝3x＋不相切，故C错误；对于D，若f(x)＝x3－x－2，则由f′(x)＝3x2－1＝2，得x＝±1，其中(－1，－2)在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝x3－x－2相切，故D正确．故选ABD.
16．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线，求f(x)．g(x)的表达式．
解析 ∵f(x)＝2x3＋ax的图象过点P(2，0)，
∴a＝－8.∴f(x)＝2x3－8x.∴f′(x)＝6x2－8.
对于g(x)＝bx2＋c的图象过点P(2，0)，则4b＋c＝0.又g′(x)＝2bx，∴g′(2)＝4b＝f′(2)＝16.
∴b＝4.∴c＝－16.∴g(x)＝4x2－16.
综上可知，f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.
1．已知f(x)＝sinx＋cosx，则f′的值为( )
A.－ B.＋
C.－ D．0
答案 A
解析 f′(x)＝cosx－sinx，
f′＝cos－sin＝－.故选A.
2．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)等于( )
A．26 B．29
C．215 D．212
答案 D
解析 因为a1＝2，a8＝4，
又f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，
所以f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.故选D.
3．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0等于( )
A．e2 B．e
C. D．ln2
答案 B
解析 f′(x)＝lnx＋x·＝lnx＋1，
由f′(x0)＝2，得lnx0＝1，x0＝e.故选B.
4．已知f(x)＝x2－xf′(0)－1，则f(2 015)的值为( )
A．2 012×2 014 B．2 013×2 014
C．2 013×2 015 D．2 014×2 016
答案 D
解析 因为f′(x)＝2x－f′(0)，
所以f′(0)＝2×0－f′(0)，
所以f′(0)＝0，
所以f(x)＝x2－1，
所以f(2 015)＝2 0152－1＝(2 015－1)(2 015＋1)＝2 014×2 016.故选D.
5．已知函数y＝f(x)满足f(1)＝2，f′(1)＝－1，则曲线g(x)＝exf(x)在x＝1处的切线斜率是( )
A．－e B．e
C．2e D．3e
答案 B
解析 g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)，
g′(1)＝ef(1)＋ef′(1)＝e.故选B.
6．已知f(x)＝cosx，则f(π)＋f′等于( )
A．－ B.
C．－ D．－
答案 D
解析 因为f′(x)＝－cosx－sinx，所以f(π)＋f′＝cosπ－cos－sin＝－－＝－.故选D.
7．【多选题】已知lnx1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln2＝0，记M＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，则( )
A．M的最小值为 B．当M最小时，x2＝
C．M的最小值为 D．当M最小时，x2＝
答案 BC
解析 本题考查两点间距离的最小值的相关问题，导数的应用．由lnx1－x1－y1＋2＝0得y1＝lnx1－x1＋2，(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值可转化为函数y＝lnx－x＋2图象上的点到直线x＋2y－4－2ln2＝0上的点的距离的最小值的平方．
由y＝lnx－x＋2得y′＝－1，与直线x＋2y－4－2ln2＝0平行的直线的斜率为－，则令－1＝－，解得x＝2，∴切点坐标为(2，ln2)，∴点(2，ln2)到直线x＋2y－4－2ln2＝0的距离d＝＝，即函数y＝lnx－x＋2的图象上的点到直线x＋2y－4－2ln2＝0上的点的距离的最小值为，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为d2＝.
过点(2，ln2)与直线x＋2y－4－2ln2＝0垂直的直线为y－ln2＝2(x－2)，即2x－y－4＋ln2＝0.由解得x＝，即当M最小时，x2＝.故选BC.
8．设直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．
答案 ln2－1
9．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′＝，则a＝________，b＝________．
答案 0 －1
解析 f′(x)＝2ax－bcosx，∴f′(0)＝－b＝1.
f′＝2a·－b·cos＝，得a＝0，b＝－1.
10．求下列函数的导数：
(1)y＝x3·ex；
(2)y＝x2＋log3x；
(3)y＝.
解析 (1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.
(2)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.
(3)y′＝＝＝.
11．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l1，l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
解析 (1)因为y′＝2x＋1，则直线l1的斜率k1＝2×1＋1＝3，则直线l1的方程为y＝3x－3，设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，则l2的方程为
y＝(2b＋1)x－b2－2.
因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－，b＝－.
所以直线l2的方程为y＝－x－.
(2)解方程组得
所以直线l1和l2的交点坐标为，l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1，0)，.所以所求三角形的面积S＝××|－|＝.
12．已知f′(x)＝3x2－6x，且f(0)＝4，解不等式f(x)>0.
解析 ∵f′(x)＝3x2－6x，
∴可设f(x)＝x3－3x2＋c.
又f(0)＝4，∴c＝4.
不等式f(x)>0即为x3－3x2＋4>0，
即(x＋1)(x－2)2>0，∴x>－1且x≠2.
∴原不等式解集为{x|x>－1且x≠2}．
13．若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，求k的值．
解析 设切点坐标为(x0，y0)，y′|x＝x0＝3x02－6x0＋2＝k.
若x0＝0，则k＝2.若x0≠0，由y0＝kx0，得k＝.
∴3x02－6x0＋2＝，
即3x02－6x0＋2＝.解之，得x0＝.
∴k＝3×－6×＋2＝－.
综上，k＝2或k＝－.
5.2.2导数的四则运算法则 同步作业（原卷版）
1．函数y＝x·lnx的导数是( )
A．x B.
C．lnx＋1 D．lnx＋x
2．函数y＝的导数是( )
A．－ B．－sinx
C．－ D．－
3．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
4．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )
A. B.
C. D.
5．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D.
6．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )
A．4 B．－
C．2 D．－
7．(2018·天津)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．
8．若f(x)＝x2－3x－2lnx，则f′(x)>0的解集为________．
9．(2018·课标全国Ⅲ，理)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________．
10．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________．
11．已知f＝，则f′(x)＝( )
A. B．－
C. D．－
12．已知y＝x3－x－1＋1，则其导函数的值域为________．
13．曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于y＝x的切线，则两切线之间的距离为________．
14.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx图象过点(1，5)，其导函数y＝f′(x)图象如图所示，求f(x)解析式．
15．【多选题】下列曲线与直线y＝2x相切的有( )
A．曲线y＝2ex－2 B．曲线y＝2sinx
C．曲线y＝3x＋ D．曲线y＝x3－x－2
16．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线，求f(x)．g(x)的表达式．
1．已知f(x)＝sinx＋cosx，则f′的值为( )
A.－ B.＋
C.－ D．0
2．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)等于( )
A．26 B．29
C．215 D．212
3．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0等于( )
A．e2 B．e
C. D．ln2
4．已知f(x)＝x2－xf′(0)－1，则f(2 015)的值为( )
A．2 012×2 014 B．2 013×2 014
C．2 013×2 015 D．2 014×2 016
5．已知函数y＝f(x)满足f(1)＝2，f′(1)＝－1，则曲线g(x)＝exf(x)在x＝1处的切线斜率是( )
A．－e B．e
C．2e D．3e
6．已知f(x)＝cosx，则f(π)＋f′等于( )
A．－ B.
C．－ D．－
7．【多选题】已知lnx1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln2＝0，记M＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，则( )
A．M的最小值为 B．当M最小时，x2＝
C．M的最小值为 D．当M最小时，x2＝
8．设直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．
9．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′＝，则a＝________，b＝________．
10．求下列函数的导数：
(1)y＝x3·ex；
(2)y＝x2＋log3x；
(3)y＝.
11．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l1，l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
12．已知f′(x)＝3x2－6x，且f(0)＝4，解不等式f(x)>0.
13．若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，求k的值．
人教版高中数学选择性必修第二册
5.2.2导数的四则运算法则 同步作业（解析版）
1．函数y＝x·lnx的导数是( )
A．x B.
C．lnx＋1 D．lnx＋x
答案 C
解析 y′＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋x·＝lnx＋1.
2．函数y＝的导数是( )
A．－ B．－sinx
C．－ D．－
答案 C
解析 y′＝′＝
＝.
3．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
答案 A
解析 因为y＝＝，所以y′＝＝，
所以y′|x＝－1＝2，
所以切线方程为y－(－1)＝2[x－(－1)]，
即y＝2x＋1.
4．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，a＝.
5．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D.
答案 A
解析 y′＝x－，由x－＝，
得x＝3或x＝－2.由于x>0，所以x＝3.
6．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )
A．4 B．－
C．2 D．－
答案 A
解析 依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4，选A.
7．(2018·天津)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．
答案 e
解析 函数f(x)＝exlnx，则f′(x)＝exlnx＋·ex.
∴f′(1)＝e·ln1＋1·e＝e.
8．若f(x)＝x2－3x－2lnx，则f′(x)>0的解集为________．
答案 (2，＋∞)
解析 f′(x)＝2x－3－＝＝(x>0)，
令(2x＋1)(x－2)>0，
得x>2.
9．(2018·课标全国Ⅲ，理)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________．
答案 －3
解析 y′＝a·ex＋(ax＋1)·ex＝ex·(ax＋a＋1)，据题意e0·(a·0＋a＋1)＝－2，∴a＝－3.
10．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________．
答案 3x－y－11＝0
解析 y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3≥3，
当且仅当x＝－1时取等号，当x＝－1时，y＝－14.
∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.
11．已知f＝，则f′(x)＝( )
A. B．－
C. D．－
答案 D
解析 ∵f＝＝， ∴f(x)＝.
∴f′(x)＝－.
12．已知y＝x3－x－1＋1，则其导函数的值域为________．
答案 [2，＋∞)
解析 y′＝x2＋≥2，当且仅当x2＝即x＝±1时，“＝”成立．
13．曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于y＝x的切线，则两切线之间的距离为________．
答案
解析 y＝x(x＋1)(2－x)＝－x3＋x2＋2x，
y′＝－3x2＋2x＋2，令－3x2＋2x＋2＝1，得
x1＝1或x2＝－.
∴两个切点分别为(1，2)和.
切线方程为x－y＋1＝0和x－y－＝0.
∴d＝＝.
14.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx图象过点(1，5)，其导函数y＝f′(x)图象如图所示，求f(x)解析式．
解析 由题意得a＋b＋c＝5，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
∴3ax2＋2bx＋c＝0的两根为1和2，
即f′(1)＝0，f′(2)＝0.
即又a＋b＋c＝5，
∴a＝2，b＝－9，c＝12.
f(x)＝2x3－9x2＋12x.
15．【多选题】下列曲线与直线y＝2x相切的有( )
A．曲线y＝2ex－2 B．曲线y＝2sinx
C．曲线y＝3x＋ D．曲线y＝x3－x－2
答案 ABD
解析 本题考查导数的几何意义．直线y＝2x的斜率为2，对于A，若f(x)＝2ex－2，则由f′(x)＝2ex＝2，得x＝0，点(0，0)在直线y＝2x上，则直线y＝2x与曲线y＝2ex－2相切，故A正确；对于B，若f(x)＝2sinx，则由f′(x)＝2cosx＝2，得x＝2kπ(k∈Z)，f(2kπ)＝0，当k＝0时，切点为(0，0)，点(0，0)在直线y＝2x上，故直线y＝2x与曲线y＝2sinx相切，故B正确；对于C，若f(x)＝3x＋，则由f′(x)＝3－＝2，得x＝±1，点(1，4)，(－1，－4)都不在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝3x＋不相切，故C错误；对于D，若f(x)＝x3－x－2，则由f′(x)＝3x2－1＝2，得x＝±1，其中(－1，－2)在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝x3－x－2相切，故D正确．故选ABD.
16．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线，求f(x)．g(x)的表达式．
解析 ∵f(x)＝2x3＋ax的图象过点P(2，0)，
∴a＝－8.∴f(x)＝2x3－8x.∴f′(x)＝6x2－8.
对于g(x)＝bx2＋c的图象过点P(2，0)，则4b＋c＝0.又g′(x)＝2bx，∴g′(2)＝4b＝f′(2)＝16.
∴b＝4.∴c＝－16.∴g(x)＝4x2－16.
综上可知，f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.
1．已知f(x)＝sinx＋cosx，则f′的值为( )
A.－ B.＋
C.－ D．0
答案 A
解析 f′(x)＝cosx－sinx，
f′＝cos－sin＝－.故选A.
2．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)等于( )
A．26 B．29
C．215 D．212
答案 D
解析 因为a1＝2，a8＝4，
又f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，
所以f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.故选D.
3．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0等于( )
A．e2 B．e
C. D．ln2
答案 B
解析 f′(x)＝lnx＋x·＝lnx＋1，
由f′(x0)＝2，得lnx0＝1，x0＝e.故选B.
4．已知f(x)＝x2－xf′(0)－1，则f(2 015)的值为( )
A．2 012×2 014 B．2 013×2 014
C．2 013×2 015 D．2 014×2 016
答案 D
解析 因为f′(x)＝2x－f′(0)，
所以f′(0)＝2×0－f′(0)，
所以f′(0)＝0，
所以f(x)＝x2－1，
所以f(2 015)＝2 0152－1＝(2 015－1)(2 015＋1)＝2 014×2 016.故选D.
5．已知函数y＝f(x)满足f(1)＝2，f′(1)＝－1，则曲线g(x)＝exf(x)在x＝1处的切线斜率是( )
A．－e B．e
C．2e D．3e
答案 B
解析 g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)，
g′(1)＝ef(1)＋ef′(1)＝e.故选B.
6．已知f(x)＝cosx，则f(π)＋f′等于( )
A．－ B.
C．－ D．－
答案 D
解析 因为f′(x)＝－cosx－sinx，所以f(π)＋f′＝cosπ－cos－sin＝－－＝－.故选D.
7．【多选题】已知lnx1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln2＝0，记M＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，则( )
A．M的最小值为 B．当M最小时，x2＝
C．M的最小值为 D．当M最小时，x2＝
答案 BC
解析 本题考查两点间距离的最小值的相关问题，导数的应用．由lnx1－x1－y1＋2＝0得y1＝lnx1－x1＋2，(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值可转化为函数y＝lnx－x＋2图象上的点到直线x＋2y－4－2ln2＝0上的点的距离的最小值的平方．
由y＝lnx－x＋2得y′＝－1，与直线x＋2y－4－2ln2＝0平行的直线的斜率为－，则令－1＝－，解得x＝2，∴切点坐标为(2，ln2)，∴点(2，ln2)到直线x＋2y－4－2ln2＝0的距离d＝＝，即函数y＝lnx－x＋2的图象上的点到直线x＋2y－4－2ln2＝0上的点的距离的最小值为，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为d2＝.
过点(2，ln2)与直线x＋2y－4－2ln2＝0垂直的直线为y－ln2＝2(x－2)，即2x－y－4＋ln2＝0.由解得x＝，即当M最小时，x2＝.故选BC.
8．设直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．
答案 ln2－1
9．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′＝，则a＝________，b＝________．
答案 0 －1
解析 f′(x)＝2ax－bcosx，∴f′(0)＝－b＝1.
f′＝2a·－b·cos＝，得a＝0，b＝－1.
10．求下列函数的导数：
(1)y＝x3·ex；
(2)y＝x2＋log3x；
(3)y＝.
解析 (1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.
(2)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.
(3)y′＝＝＝.
11．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l1，l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
解析 (1)因为y′＝2x＋1，则直线l1的斜率k1＝2×1＋1＝3，则直线l1的方程为y＝3x－3，设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，则l2的方程为
y＝(2b＋1)x－b2－2.
因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－，b＝－.
所以直线l2的方程为y＝－x－.
(2)解方程组得
所以直线l1和l2的交点坐标为，l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1，0)，.所以所求三角形的面积S＝××|－|＝.
12．已知f′(x)＝3x2－6x，且f(0)＝4，解不等式f(x)>0.
解析 ∵f′(x)＝3x2－6x，
∴可设f(x)＝x3－3x2＋c.
又f(0)＝4，∴c＝4.
不等式f(x)>0即为x3－3x2＋4>0，
即(x＋1)(x－2)2>0，∴x>－1且x≠2.
∴原不等式解集为{x|x>－1且x≠2}．
13．若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，求k的值．
解析 设切点坐标为(x0，y0)，y′|x＝x0＝3x02－6x0＋2＝k.
若x0＝0，则k＝2.若x0≠0，由y0＝kx0，得k＝.
∴3x02－6x0＋2＝，
即3x02－6x0＋2＝.解之，得x0＝.
∴k＝3×－6×＋2＝－.
综上，k＝2或k＝－.