人教版高中数学选择性必修第二册5.3.1函数的单调性第1课时 同步作业（含解析）

人教版高中数学选择性必修第二册
5.3.1函数的单调性第1课时 同步作业（原卷版）
1.函数y＝f(x)的图象如图所示，则(　　)
A．f′(3)>0
B．f′(3)<0
C．f′(3)＝0
D．f′(3)的符号不确定
2．函数f(x)＝5x2－2x的单调递减区间是(　　)
A.　　　　　 B.
C. D.
3．函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则y＝f(x)为R上的单调递增函数是f′(x)>0的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．若函数y＝f′(x)在区间(x1，x2)上是单调递减函数，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)上的图象可以是(　　)
5．【多选题】函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上(　　)
A．是增函数 B．是减函数
C．是奇函数 D．有最小值
6．函数f(x)＝xlnx，x∈(0，1)，则f(x)(　　)
A．是单调增函数
B．是单调减函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．在上是增函数，在上是减函数
7．函数y＝4x2＋的单调递增区间为(　　)
A．(0，＋∞) B.
C．(－∞，－1) D.
8.如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则在[－2，5]上函数f(x)的单调递增区间为________．
9．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．
10．若f(x)＝(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数，则a∈________．
11．若函数y＝a(x3－x)的单调递减区间为，则a的取值范围是(　　)
A．a＞0 B．－1＜a＜0
C．a＞1 D．0＜a＜1
12．若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的单调递减区间是，则其单调递增区间为________，实数m的值为________．
13．已知f(x)＝ax3＋3x2－x－1在R上是减函数，求a的取值范围．
14．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
15．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝0.
(1)试用含a的代数式表示b；
(2)求f(x)的单调区间．
16．设函数f(x)＝(x>0且x≠1)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)已知2>xa对任意x∈(0，1)成立，求实数a的取值范围．
1．已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－1，1] B．(－1，1]
C．(－1，1) D．[－1，1)
2．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(x＋1)的单调递减区间是(　　)
A．(2，4) B．(－3，－1)
C．(1，3) D．(0，2)
3．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－x；
(2)f(x)＝x2＋alnx(a∈R，a≠0)．
人教版高中数学选择性必修第二册
5.3.1函数的单调性第1课时 同步作业（解析版）
1.函数y＝f(x)的图象如图所示，则(　　)
A．f′(3)>0
B．f′(3)<0
C．f′(3)＝0
D．f′(3)的符号不确定
答案　B
解析　由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，所以f′(3)<0.
2．函数f(x)＝5x2－2x的单调递减区间是(　　)
A.　　　　　 B.
C. D.
答案　B
3．函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则y＝f(x)为R上的单调递增函数是f′(x)>0的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　函数y＝f(x)在R上为单调递增函数，说明f′(x)≥0在R上恒成立，且f′(x)在R的任意子区间内都不恒等于0，推不出f′(x)>0.
根据函数单调性与导数正负的关系，由f′(x)>0显然能推出函数y＝f(x)在R上为单调递增函数．所以函数y＝f(x)为R上的单调递增函数是f′(x)>0的必要不充分条件．
4．若函数y＝f′(x)在区间(x1，x2)上是单调递减函数，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)上的图象可以是(　　)
答案　B
解析　选项A中，f′(x)>0且为常数函数；选项C中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内单调递增；选项D中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内先增后减．故选B.
5．【多选题】函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上(　　)
A．是增函数 B．是减函数
C．是奇函数 D．有最小值
答案　AC
6．函数f(x)＝xlnx，x∈(0，1)，则f(x)(　　)
A．是单调增函数
B．是单调减函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．在上是增函数，在上是减函数
答案　C
解析　f′(x)＝lnx＋1，当0当0.
7．函数y＝4x2＋的单调递增区间为(　　)
A．(0，＋∞) B.
C．(－∞，－1) D.
答案　B
解析　y′＝8x－，令y′＞0，得8x－＞0，
即x3＞， ∴x＞.
8.如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则在[－2，5]上函数f(x)的单调递增区间为________．
答案　(－1，2)和(4，5]
解析　因为在(－1，2)和(4，5]上f′(x)>0，
所以f(x)在[－2，5]上的单调递增区间为(－1，2)和(4，5]．
9．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．
答案　(0，＋∞)
解析　若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则其导数y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.
10．若f(x)＝(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数，则a∈________．
答案　[－1，1]
解析　f′(x)＝2·，
∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f′(x)在[－1，1]上恒大于等于0，即2·≥0.
∵(x2＋2)2＞0，
∴x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立．
令g(x)＝x2－ax－2，
则即
∴－1≤a≤1.即a的取值范围是[－1，1]．
11．若函数y＝a(x3－x)的单调递减区间为，则a的取值范围是(　　)
A．a＞0 B．－1＜a＜0
C．a＞1 D．0＜a＜1
答案　A
解析　y′＝a(3x2－1)，解3x2－1＜0，得－＜x＜.
∴f(x)＝x3－x在上为减函数．
又y＝a(x3－x)的单调递减区间为.
∴a＞0.
12．若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的单调递减区间是，则其单调递增区间为________，实数m的值为________．
答案　，(1，＋∞)　－
解析　f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex.因为f(x)的单调递减区间是，所以f′(x)＝0的两个根分别为x1＝－，x2＝1，所以f(x)的单调递增区间是，(1，＋∞)，由解得m＝－.
13．已知f(x)＝ax3＋3x2－x－1在R上是减函数，求a的取值范围．
解析　∵f′(x)＝3ax2＋6x－1，且f(x)在R上单调递减，
∴f′(x)≤0对x∈R恒成立．
即3ax2＋6x－1≤0对x∈R恒成立，显然a≠0.
∴∴a≤－3.
即a的取值范围为(－∞，－3]．
14．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
解析　f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，
解得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不符合题意．
当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．而当x∈(1，4)时，f′(x)≤0；
当x∈(6，＋∞)时，f′(x)≥0.
∴4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
∴a的取值范围是[5，7]．
15．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝0.
(1)试用含a的代数式表示b；
(2)求f(x)的单调区间．
解析　(1)依题意，得f′(x)＝x2＋2ax＋b.
由f′(－1)＝0，得1－2a＋b＝0.∴b＝2a－1.
(2)由(1)，得f(x)＝x3＋ax2＋(2a－1)x.
故f′(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋1)(x＋2a－1)．
令f′(x)＝0，则x＝－1或x＝1－2a.
①当a>1时，1－2a<－1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，1－2a) (1－2a，－1) (－1，＋∞)
f′(x) ＋ － ＋
f(x) 单调递增 单调递减 单调递增
由此得，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(1－2a，－1)．
②当a＝1时，1－2a＝－1，此时f′(x)≥0恒成立，且仅在x＝－1处f′(x)＝0，故函数f(x)的单调递增区间为R.
③当a<1时，1－2a>－1，同理可得函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调递减区间为(－1，1－2a)．
综上：当a>1时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(1－2a，－1)；
当a＝1时，函数f(x)的单调递增区间为R；
当a<1时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调递减区间为(－1，1－2a)．
16．设函数f(x)＝(x>0且x≠1)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)已知2>xa对任意x∈(0，1)成立，求实数a的取值范围．
解析　(1)f′(x)＝－.
若f′(x)＝0，则x＝.
当f′(x)>0，即0当f′(x)<0，即1时，f(x)为减函数．
所以f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为和(1，＋∞)．
(2)在2>xa两边取对数，得ln2>alnx.
由于0.①
由(1)的结果知：当x∈(0，1)时，f(x)≤f＝－e.
为使①式对所有x∈(0，1)成立，
当且仅当>－e，即a>－eln2.
1．已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－1，1] B．(－1，1]
C．(－1，1) D．[－1，1)
答案　D
解析　f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，
由f′(x)<0得－2由题意(2m，m＋1) (－2，2)，
所以解得－1≤m<1.故选D.
2．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(x＋1)的单调递减区间是(　　)
A．(2，4) B．(－3，－1)
C．(1，3) D．(0，2)
答案　D
解析　由f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)知，当x∈(1，3)时，f′(x)<0.函数f(x)在(1，3)上为减函数，函数f(x＋1)的图象是由函数y＝f(x)图象向左平移1个单位长度得到的，所以(0，2)为函数y＝f(x＋1)的单调递减区间．
3．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－x；
(2)f(x)＝x2＋alnx(a∈R，a≠0)．
解析　(1)函数的定义域为R，
f′(x)＝3x2－1＝(x＋1)(x－1)，
令f′(x)>0得到x>或x<－，
令f′(x)<0得－因此函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋，当a>0时，f′(x)>0，函数f(x)只有单调递增区间为(0，＋∞)．
当a<0时，由f′(x)＝x＋>0，得x>；
由f′(x)＝x＋<0，得0所以当a<0时，函数f(x)的单调递增区间是(，＋∞)，单调递减区间是(0，)．