人教版高中数学选择性必修第二册5.3.1函数的单调性 第2课时 同步作业（含解析）

人教版高中数学选择性必修第二册
5.3.1函数的单调性第2课时 同步作业（原卷版）
1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．y＝sinx　　　　　　　 B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝lnx－x
2．下面的命题中，正确的是(　　)
A．可导的奇函数的导函数仍是奇函数
B．可导的偶函数的导函数仍是偶函数
C．可导的周期函数的导函数仍是周期函数
D．可导的单调函数的导函数仍是单调函数
3．函数f(x)＝的单调递减区间为(　　)
A．(3，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，2)和(2，3) D．(2，3)和(3，＋∞)
4.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是(　　)
5．若f(x)＝x3－ax2＋4在(0，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥3 B．a＝3
C．a≤3 D．06．若函数f(x)＝cosx＋2xf′，则f与f的大小关系是(　　)
A．f＝f B．f>f
C．f7．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为增函数的一个充分条件是(　　)
A．b2－4ac>0 B．b>0，c>0
C．b＝0，c>0 D．b2－3ac>0
8．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　)
9．函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex(x∈R)的单调递减区间为________．
10．函数y＝ax－lnx在上单调递增，则a的取值范围为________．
11．已知函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f(x)在(2，3)上单调，则实数a的取值范围是________；
(2)若f(x)在(2，3)上不单调，则实数a的取值范围是________．
12．已知函数f(x)＝－2xlnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性．
13．已知函数f(x)＝ax－－2lnx(a≥0)，若函数f(x)在其定义域上为单调函数，求a的取值范围．
14．已知函数f(x)＝x3－5x＋4.
(1)求这个函数的图象在x＝1处的切线方程；
(2)求证：对任意x1，x2∈(－2，2)且x1f(x2)＋x2.
15．【多选题】已知a>b>1，e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．aea>beb B．alnb>blna
C．alna>blnb D．bea>aeb
16．设函数f(x)＝xekx(k≠0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(－1，1)上单调递增，求k的取值范围．
1．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]
C．(－∞，－1)和(1，2) D．[2，＋∞)
2．已知x>0，a＝x，b＝x－，c＝ln(1＋x)，则(　　)
A．cC．c3．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＋13ex的解集为(　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)
4．如果函数f(x)＝2x2－lnx在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
6．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e－x(x∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若函数f(x)在(－1，1)内单调递减，求a的取值范围；
(2)函数f(x)能否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，请说明理由．
7．已知a，b为实数，且b>a>e，其中e为自然对数的底数，求证：ab>ba.
8．设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
人教版高中数学选择性必修第二册
5.3.1函数的单调性第2课时 同步作业（解析版）
1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．y＝sinx　　　　　　　 B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝lnx－x
答案　B
2．下面的命题中，正确的是(　　)
A．可导的奇函数的导函数仍是奇函数
B．可导的偶函数的导函数仍是偶函数
C．可导的周期函数的导函数仍是周期函数
D．可导的单调函数的导函数仍是单调函数
答案　C
解析　排除法．对于A，取y＝x3可验证其错误；对于B，取y＝x2可验证其错误；对于D，取y＝x3可验证其错误．
3．函数f(x)＝的单调递减区间为(　　)
A．(3，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，2)和(2，3) D．(2，3)和(3，＋∞)
答案　C
解析　函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以ex>0，(x－2)2>0.由f′(x)<0得x<3.
又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3)．
4.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是(　　)
答案　B
解析　由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先上升后下降，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左向右先增大后减小．故选B.
5．若f(x)＝x3－ax2＋4在(0，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥3 B．a＝3
C．a≤3 D．0答案　A
解析　f′(x)＝3x2－2ax，
∵f(x)在(0，2)上单调递减，
∴∴
∴a≥3.
6．若函数f(x)＝cosx＋2xf′，则f与f的大小关系是(　　)
A．f＝f B．f>f
C．f答案　C
解析　依题意得f′(x)＝－sinx＋2f′，
∴f′＝－sin＋2f′，∴f′＝.
∵f′(x)＝－sinx＋1≥0，∴f(x)＝cosx＋x是R上的增函数，注意到－<，于是有f7．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为增函数的一个充分条件是(　　)
A．b2－4ac>0 B．b>0，c>0
C．b＝0，c>0 D．b2－3ac>0
答案　C
解析　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
f(x)为增函数的充要条件是f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0.
∵a>0，∴Δ＝4b2－12ac≤0，
即b2－3ac≤0.
观察四个选项，选项C使上式成立，且不是必要条件．故选C.
8．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　)
答案　A
解析　考查导函数的基本概念及导数的几何意义．
∵导函数f′(x)在[a，b]上是增函数，
∴在[a，b]上切线的斜率随着切点横坐标的增大而逐渐增大．故选A.
9．函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex(x∈R)的单调递减区间为________．
答案　(－2，－1)
解析　f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)，
令f′(x)<0，解得－2所以函数f(x)的单调递减区间为(－2，－1)．
10．函数y＝ax－lnx在上单调递增，则a的取值范围为________．
答案　[2，＋∞)
解析　∵y′＝a－，∴在上y′≥0，
即a－≥0，∴a≥.由x>，得<2.
要使a≥恒成立，只需a≥2.
11．已知函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f(x)在(2，3)上单调，则实数a的取值范围是________；
(2)若f(x)在(2，3)上不单调，则实数a的取值范围是________．
答案　(1)(－∞，3]∪　(2)
解析　(1)由f(x)＝x3－ax2，得f′(x)＝3x.
若f(x)在(2，3)上单调，则有≤2或≥3，∴a≤3或a≥.
(2)由f(x)＝x3－ax2，得f′(x)＝3x2－2ax＝3x.若f(x)在(2，3)上不单调，则有可得312．已知函数f(x)＝－2xlnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性．
解析　由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
g(x)＝f′(x)＝2(x－1－lnx－a)，
所以g′(x)＝2－＝.
当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
13．已知函数f(x)＝ax－－2lnx(a≥0)，若函数f(x)在其定义域上为单调函数，求a的取值范围．
解析　f′(x)＝a＋－，
要使函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为单调函数，
只需f′(x)在(0，＋∞)上恒大于等于0或恒小于等于0.
当a＝0时，f′(x)＝－<0在(0，＋∞)内恒成立；
当a>0时，要使f′(x)＝a＋a－≥0恒成立，∴a－≥0，解得a≥1.
综上，a的取值范围为a≥1或a＝0.
14．已知函数f(x)＝x3－5x＋4.
(1)求这个函数的图象在x＝1处的切线方程；
(2)求证：对任意x1，x2∈(－2，2)且x1f(x2)＋x2.
解析　(1)因为f′(x)＝x2－5，
所以k＝f′(1)＝－4.
又因为f(1)＝－，
所以在x＝1处的切线方程为y＋＝－4(x－1)，
即12x＋3y－10＝0.
(2)证明：设g(x)＝f(x)＋x＝x3－4x＋4，
因为g′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，
所以当x∈(－2，2)时，g′(x)<0.
所以g(x)在(－2，2)内为减函数．
则当x1，x2∈(－2，2)且x1g(x2)．
即当任意x1，x2∈(－2，2)且x1f(x2)＋x2.
15．【多选题】已知a>b>1，e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．aea>beb B．alnb>blna
C．alna>blnb D．bea>aeb
答案　ACD
解析　设f(x)＝xex，x>1，则f′(x)＝(x＋1)ex>0在(1，＋∞)上恒成立，故函数f(x)单调递增，故f(a)>f(b)，即aea>beb，故A正确；
设g(x)＝，x>1，则g′(x)＝，易知函数g(x)在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，故当1g(b)，即>，alnb设h(x)＝xlnx，x>1，则h′(x)＝lnx＋1>0在(1，＋∞)上恒成立，故函数h(x)单调递增，故h(a)>h(b)，即alna>blnb，故C正确；
设k(x)＝，x>1，则k′(x)＝>0在(1，＋∞)上恒成立，故函数k(x)单调递增，故k(a)>k(b)，即>，故bea>aeb，故D正确．
16．设函数f(x)＝xekx(k≠0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(－1，1)上单调递增，求k的取值范围．
解析　(1)由f′(x)＝(1＋kx)ekx＝0，得x＝－(k≠0)．
若k>0，则当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
若k<0，则当x∈时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
(2)由(1)知，若k>0，则当且仅当－≤－1，即k≤1时，函数f(x)在(－1，1)上单调递增；
若k<0，则当且仅当－≥1，即k≥－1时，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．
综上可知，函数f(x)在区间(－1，1)上单调递增时，k的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．
1．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]
C．(－∞，－1)和(1，2) D．[2，＋∞)
答案　B
解析　令k≤0，得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调递减区间为(－∞，2]．
2．已知x>0，a＝x，b＝x－，c＝ln(1＋x)，则(　　)
A．cC．c答案　D
解析　令f(x)＝a－c＝x－ln(1＋x)，x>0，则f′(x)＝1－>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)>f(0)＝0，可得a>c.
令g(x)＝c－b＝ln(1＋x)－x＋，x>0，
则g′(x)＝－1＋x＝>0，
∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴g(x)>g(0)＝0，可得c>b.
综上可得a>c>b.
3．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＋13ex的解集为(　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)
答案　C
解析　令g(x)＝，
因为f(x)＋1则g′(x)＝>0，
故g(x)在R上单调递增，且g(0)＝3.
由f(x)＋1>3ex，可得>3，即g(x)>g(0)，所以x>0.
4．如果函数f(x)＝2x2－lnx在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
答案　1≤k<
解析　显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝4x－＝.
由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为；
由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为.
由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，
所以解得1≤k<.
6．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e－x(x∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若函数f(x)在(－1，1)内单调递减，求a的取值范围；
(2)函数f(x)能否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，请说明理由．
解析　(1)因为f(x)＝(－x2＋ax)e－x，所以f′(x)＝[x2－(a＋2)x＋a]e－x，
要使f(x)在(－1，1)上单调递减，则f′(x)≤0对一切x∈(－1，1)都成立，
即x2－(a＋2)x＋a≤0对x∈(－1，1)都成立，
令g(x)＝x2－(a＋2)x＋a，则 解得a≤－.
所以a的取值范围是.
(2)①若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对任意的x∈R都成立，
即[x2－(a＋2)x＋a]e－x≤0对x∈R都成立，从而x2－(a＋2)x＋a≤0对x∈R都成立，
令g(x)＝x2－(a＋2)x＋a，抛物线y＝g(x)开口向上，不可能对x∈R，g(x)≤0都成立．
②若函数f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0对x∈R都成立，
从而x2－(a＋2)x＋a≥0对x∈R都成立，
由于Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，
故f′(x)≥0不能对一切x∈R都成立，
综上可知，函数f(x)不可能是R上的单调函数．
7．已知a，b为实数，且b>a>e，其中e为自然对数的底数，求证：ab>ba.
证明　方法一：∵b>a>e，
∴要证ab>ba，只需证blna>alnb.
设f(x)＝xlna－alnx(x>a)，则f′(x)＝lna－.
∵x>a>e，∴lna>1，且<1，∴f′(x)>0.
∴函数f(x)＝xlna－alnx在(a，＋∞)上单调递增．
∵b>a>e，∴f(b)>f(a)＝alna－alna＝0，即blna－alnb>0，∴blna>alnb，即ab>ba.
方法二：∵b>a>e，∴要证ab>ba，只需证blna>alnb，即>.设f(x)＝(x>e)，则f′(x)＝.∵x>e，∴f′(x)＝>0，故函数f(x)＝在(e，＋∞)上单调递增．又b>a>e，∴>，从而ab>ba.
8．设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解析　(1)因为f(x)＝xea－x＋bx，
所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.
依题设，知
即
解得a＝2，b＝e.
(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex.
由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x>0知，
f′(x)与1－x＋ex－1同号．
令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.
所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，
从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．
综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．
故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．