2023-2024学年北师大版八年级数学上册 《第1章勾股定理》解答专题提升训练题 （含答案）

2023-2024学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》解答专题提升训练题（附答案）
1．如图，在Rt△ABC中，已知BC=12，AB=13．求斜边上的高CD长．
2．如图，已知，且，，，求A、F两点间的距离．
3．如图，铁路上，两点相距17千米，、为两村庄，于，于．已知，，现要在铁路上建一个土产品收购站，使得，两村到站的距离相等，则站应建在离站多少处？
4．如图1所示，一架梯子AB长10米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为6米，梯子底部向右滑动后停在DE的位置上（如图2所示），测得DB的长为2米，求梯子顶端A下落了多少米．
5．如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度AB．
6．网格直尺画图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上，仅利用无刻度直尺完成下列作图（注：下列求作的点都是格点）．
(1)过点C画线段CD使得且CD=AB；
(2)过点A画线段AG，使得AG⊥BC，垂足为G；
(3)过点A画线段AB的垂线，交BC于点H．
7．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．已知台风运动速度为．
(1)求的度数；
(2)求海港到直线的最短距离；
(3)海港受台风影响吗？若受影响请计算受影响时间，若不受影响请说明理由．
8．学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．
根据以上信息，求旗杆AB的高度．
9．如图是某“飞越丛林”俱乐部最近打造的一款项目的示意图，BC段和垂直于地面的AB段均由不锈钢管材打造，两段总长度为26m，矩形CDEF为一木质平台的主视图．经过测量得CD=1m，AD=15m，请求出立柱AB段的长度．
10．在中，，，，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点．把沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是．当点落在直角边AC的中点上，求CE的长．
11．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A，B，C为格点．判断△ABC的形状，并说明理由．
12．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即ab×4＋（b－a）2，从而得到等式c2＝ab×4＋（b－a）2，化简便得结论a2＋b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题：
(1)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD长度．
(2)如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
13．某校八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们在保证安全的情况下把一根竹竿AB垂直插到离湖边3dm的水底（即），只见竹竿高出水面OC的距离，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变），竿顶A和湖沿的水面C处平齐（即），求湖水的深度OB和竹竿AB的长．
14．为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地AB=2.1米（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温.一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC=1.2米），测温仪自动显示体温，求人头顶离测温仪的距离AD的值．
15．某中学在校园一角开辟了一块四边形的试验田，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到试验田实际操练．如图，四边形ABCD是规划好的试验田，经过测量得知：∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，AB＝13m，BC＝12m．求试验田ABCD的面积．
16．为了测量如图风筝的高度CE．测得如下数据：①BD的长度为8米（注：）；②放出的风筝线BC的长为17米；②牵线放风筝的同学身高为1.60米．
(1)求风筝的高度CE．
(2)若该同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
17．学校校内有一块如图所示的三角形空地，其中米，米，米，于点，若的长度为米．
(1)在中，______，在中，______（用含的代数式表示）；
(2)学校计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为元，学校修建这个花园需要投资多少元？
18．在某台风登陆期间，市接到台风警报时，在该市正南方向的点处台风中心正以20km/h的速度沿方向移动，已知城市到的距离AD=90km．
(1)台风中心经过多长时间从点移动到点？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让处于点的人脱离危险．人必须在接到台风警报后的几时内撤离（撤离速度为6km/h）？
19．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，作等腰Rt△DCE，且∠DCE＝90°，连接AE．
(1)求证：△CEA≌△CDB；
(2)求证：．
20．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)求证：；
(2)求原来的路线的长．
参考答案
1．解：在Rt△ABC中，BC=12，AB=13，
由勾股定理得∶，
又∵，
∴．
2．解：过点F作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，如下图所示，
∵，且，，
∴，
∵，
∴，
∵FG⊥AB，
∴
在中，
．
∴A、F两点间的距离为20．
3．解：∵，两村到站的距离相等．
∴，
∵于，于，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
解得：，
∴．
答：E站应建在离A站5km处.
4．解：在中，，根据勾股定理，得（米），
∵（米），
∴在中，米，
∴（米），
即梯子顶端A下落了2米．
5．解：设AB＝x米，则AC＝（x＋1）米，
由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5米，
在Rt△ABC中，，
即，
解得x＝12，
答：风筝距离地面的高度AB为12米．
6．解：（1）如图所示，线段CD即为所求；
（2）如图所示，线段AG即为所求；
（3）如图所示，线段AH即为所求；
7．解：（1）在中，，，
∵
∴为Rt，
∴=90
（2）如图，作CG⊥AB
∵=
又∵
∵，，
240km
故海港到直线的最短距离为240km
（3）会影响
设DC=EC=260km
在Rt中，
∵CG=240km，DC=260km
∴DGkm
同理可得：EG=100km
∵DE=EG+DG
∴DE=200km
∵
∵s=200km，v=72km/h
∴ t=
故受到影响时间为
8．解：设
依题意可知：在中，，，，，
根据勾股定理得：，即：，
解得：
答：旗杆AB的高度是9米．
9．解：延长FC交AB于点G，
则CG⊥AB，AG=CD=1m，GC=AD=15m，
设BG=x m，则BC=（26-1-x）m，
在Rt△BGC中，
∵BG2+CG2=CB2，
∴x2+152=（26-1-x）2，
解得x=8，
∴BA=BG+GA=8+1=9（m），
∴AB的长度为9m．
10．解：因为点是AC的中点，
所以C＝AC＝3，
设CE＝x，则BE＝8－x，
由题意得E＝BE＝8－x，
由勾股定理得，
解得x＝，
即CE的长为．
11．解：△ABC是直角三角形，
理由：由勾股定理得：
AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，BC2=32+42=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形．
12．（1）解：在Rt△ABC中，AB＝，
由面积的两种算法可得：，
解得：CD＝；
（2）在Rt△ABD中，，
在Rt△ADC中，，
所以，
解得：．
13．解∶设湖水的深度OB=h dm，则竹竿AB的长为( h+1) dm，
在Rt△BOC中，
∵OB=h dm， BC= ( h+1) dm， CO=3dm，
∴32+h2= (h+1)2，
解得h=4，
∴h+1=5．
答∶湖水的深度OB为4dm，竹竿AB的长为5dm ．
14．解：过点D作DE⊥AB于点E，由题意可知AB⊥BC，DC⊥BC，
∴
∴四边形DCBE是矩形，
∴BE=CD=1.6（米），DE=BC=1.2（米），
在中，（米），DE=1.2（米）
根据勾股定理，，
∴AD=1.3（米），
答：人头顶离测温仪的距离AD长为1.3米.
15．解：连接AC，
∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，
∴AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25，
又∵AC＞0，
∴AC＝5，
又∵BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝52+122＝169，
又∵AB2＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ADC＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24（m2）．
16．解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，
∴，
CE＝CD＋DE＝15＋1.6＝16.6米，
答：风筝的高度CE为16.6米；
（2）如图，设风筝沿CD方向下降9米至点，则，
，
，
，
∴他应该往回收线7米．
17．（1）解：米，米，
米，
在中，，
在中，，
故答案为：，；
（2）解：在与中，
，，
，
解得，
，
（米），
学校修建这个花园的费用为：（元）．
答：学校修建这个花园需要投资元．
18．解：（1）在直角三角形中，根据勾股定理，得．
（小时）；
即台风中心经过6小时从点移动到点；
（2）根据垂线段最短，可知游人最好选择沿所在的方向撤离．
根据在30千米范围内都要受到影响，
可得撤离的时间为：（小时），
又台风到点的时间是6小时，
即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离．
19．解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝EC，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△CDB与△CEA中，
，
∴△CDB≌△CEA（SAS）；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠BAC＝45°，
由（1）得△CDB≌△CEA，
∴∠EAC＝∠B＝45°，
∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝45°+45°＝90°，
∴，
，
∴．
20．（1）证明：∵CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米，
，
∴，
∴△CDB为直角三角形，
∴CD⊥AB；
（2）解：设AC＝x千米，则AD＝（x﹣2.5）千米．
∵CD⊥AB，∠ADC＝90°，
∴，即，
解得：x＝8.45．
答：原来的路线AC的长为8.45千米．