2022-2023学年广东省惠州市惠城区重点中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省惠州市惠城区重点中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 搭载神舟十五号载人飞船的长征二号火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，该火箭的起飞推力约，目前，神舟十五号航天员乘组状态良好，计划于年月返回地面将“”用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 如图，直线，被直线所截，，若，则( )
A.
B.
C.
D.
4. 一组数据，，，的中位数是( )
A. B. C. D.
5. 如图，在中，，为的中点，若，则( )
A.
B.
C.
D.
6. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
7. 如图，将正方形放置在平面直角坐标系中，其中点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
8. 下列数值不是不等式组的整数解的是( )
A. B. C. D.
9. 关于二次函数，以下说法错误的是( )
A. 开口向上 B. 对称轴为直线
C. 有最小值 D. 与轴交点为
10. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点若，则( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 计算： ______ ．
12. 已知一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数是______ ．
13. 小明同学在“测高”综合实践活动中发现：在一个阳光明媚的午后，身高的自己在阳光下的影长是，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是，则旗杆高为______ ．
14. 若，则 ______ ．
15. 如图，四边形为矩形，为平面内一点，且，连接，则的最大值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
先化简，再求值，其中．
17. 本小题分
如图，在中，为上一点，且，，求的度数．
18. 本小题分
为配合国家“全面推进乡村振兴重点工作”的政策，某农户在线上平台开设了网店销售荔枝和龙眼两种水果如下表是两种水果的销售信息：荔枝箱，龙眼箱
商品 荔枝 龙眼
成本元箱
售价元箱
开始线上销售一个星期后，网店销售荔枝和龙眼共，获利元，这个星期网店销售荔枝和龙眼各多少箱？
19. 本小题分
已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示．
求该品牌电动车电池的电压；
该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请你帮该小组确定这时电阻值的范围．
20. 本小题分
“双减”政策要求全面压减作业总量和时长，减轻学生过重作业负担某初中为七年级学生规划了各科书面作业时间，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图请根据统计图所提供的信息，解答下列问题：
七年级学生各科书面作业的时间总长为______ 分钟，其中历史科目在扇形统计图中的圆心角度数为______ 度；
请将图补充完整；
现准备对班和班进行关于数学或英语科目的实际书面作业时长的调研，请用树状图或列表法求出两个班恰好都被抽中数学科目调研的概率．
21. 本小题分
如图，为 的对角线，垂直平分，分别交，，于点，，，连接，．
求证：四边形为菱形；
若，，求四边形的周长．
22. 本小题分
如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，垂足为．
求证：是的切线；
若，．
求的长；
点为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由．
23. 本小题分
如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，．
求的面积；
点为轴上一点，是否存在点，使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
点为抛物线上一点点与点不重合，且使得中有一个角是，请直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：如图，，
，
，
，
．
故选：．
先利用对顶角相等得到，然后根据平行线的性质，利用可计算出的度数．
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
4.【答案】
【解析】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，
中间两位数是，，
所以中位数为．
故选：．
根据中位数的定义解答即可．
本题考查了中位数的定义等，解题的关键在于能够熟知中位数的定义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
5.【答案】
【解析】解：在中，，为中点．，
，
故选：．
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
7.【答案】
【解析】解：正方形中，点的坐标为，点的坐标为，
，，
．
故选：．
依据正方形的性质，即可得到，，进而得出点的坐标．
本题主要考查了平面直角坐标系以及正方形的性质的运用，解题时注意：点到轴的距离与纵坐标有关，点到轴的距离与横坐标有关．
8.【答案】
【解析】解：不等式组，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解为，，，
则不是不等式组的整数解．
故选：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可作出判断．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
其对称轴为，开口向上，顶点坐标为，
函数有最小值，
故A、C正确，不合题意；B错误符合题意；
令可得，
与轴的交点坐标为，
故D正确，不合题意；
故选：．
由二次函数的顶点式可判断其开口方向、对称轴、顶点坐标，函数的最值；令可求得与轴的交点坐标；则可得出答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：设，，
，
，
由题意得：，，
，
，
，
，
解得：，
，
故选：．
设，，根据已知可得，根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
先去括号，再进行整式的加减运算．
此题考查了整式加减和乘法的运算能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．
12.【答案】
【解析】解：正多边形的边数是：．
故答案为：．
正多边形的一个外角为，且每个外角都相等，根据多边形外角和为，可直接求出边数．
此题考查正多边形的外角和，解题关键是正多边形的边数为．
13.【答案】
【解析】解：根据题意可得：设旗杆高为．
根据在同一时刻身高与影长成比例可得：，
故．
答：旗杆高为米，
故答案为：．
利用在同一时刻身高与影长成比例计算．
本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度，体现了方程的思想．
14.【答案】
【解析】解：，
，，解得，，
原式．
故答案为：．
先根据非负数的性质求出、的值，再代入所求代数式进行计算即可．
本题考查的是非负数的性质，熟知当几个数或式的偶次方相加或绝对值的和为时，则其中的每一项都必须等于是解答此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：作的外接圆，作直线，交于点，连接，，此时，当与重合时，最大，最大值为的长，
连接，，
是直径，
，
，
在上，
中，
，，
，
，
，
∽，
，即，
，
的最大值是．
故答案为：．
作的外接圆，作直线，交于点，连接，，此时，当与重合时，最大，最大值为的长，连接，，根据圆周角定理得出，即可证得在上，解直角三角形求得，，即可得到，从而证得∽，由相似三角形的性质求得的长即可．
本题考查了圆周角定理，矩形的性质，解直角三角形，三角形相似的判断和性质等，当、、在一条直线时，值最大是解题的关键．
16.【答案】解：
，
当时，
原式．
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17.【答案】解：，
．
，
．
，
．
．
，
．
，
．
【解析】由等腰三角形的性质，分析各角之间的关系，进而求解．
本题难度不大，主要考查等腰三角形的性质，里面相等的角比较多，要注意区分．
18.【答案】解：设这个星期网店销售荔枝箱，龙眼箱，则这个星期网店销售荔枝，龙眼，
由题意得：，
解得：，
答：这个星期网店销售荔枝箱，龙眼箱．
【解析】设这个星期网店销售荔枝箱，龙眼箱，则这个星期网店销售荔枝，龙眼，根据网店销售荔枝和龙眼共，获利元，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
19.【答案】解：由电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，设，
把代入得：，
解得，
该品牌电动车电池的电压为；
由知，
当时，，
当时，，
电阻值的范围是
【解析】由电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，设，用待定系数法可得，即该品牌电动车电池的电压为；
求出当时，，当时，，即可得到答案．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从题干中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
20.【答案】
【解析】解：七年级学生各科书面作业的时间总长为：分，
历史科目在扇形统计图中的圆心角度数为：．
故答案为：，；
组的人数为：人，
补全统计图：
列树状图如下：
由表可知总共有种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两个班恰好都被抽中数学科目调研的结果为种，
两个班恰好都被抽中数学科目调研的概率为．
根据组的人数和所占的百分比，可以计算出各科书面作业的时间总长，然后计算组的百分比，再计算圆心角度数即可；
利用总人数即可计算出组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
列出树状图解答即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】证明：垂直平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
解：，，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
四边形的周长是．
【解析】由平行四边形的性质得，可证明≌，得，则四边形是平行四边形，由线段的垂直平分线的性质得，则四边形是菱形；
由，，得，，而，则，因为四边形是菱形，所以四边形的周长为．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明≌是解题的关键．
22.【答案】证明：连接、，如图：
是的直径，
，，
，
，
，
是的中位线，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：若，，则，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
即的长为；
点为上一点，连接，有最小值，
在中，，
，
，
，，
过点作于点，则，
延长到点，使，则上任意一点到点与点的距离都相等，即总有，
由两点之间，线段最短可知：当点在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长，
此时，在中，，
，
即的最小值为．
【解析】连接、，由“直径所对的圆周角是直角”得，即有，由已知、根据“等腰三角形三线合一”得，从而得出：是的中位线，由三角形中位线定理得，由已知、“一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条得，根据切线的判定定理得证；
由题意证明∽，求出，从而得出结论；
在中，由边角关系可以求出，从而得出：，，过点作于点，则由“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”得，延长到点，使，则由线段垂直平分线的性质可知：上任意一点到点与点的距离都相等，即总有，由“两点之间，线段最短”可知：当点在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长，此时，在中，由边角关系即可求出最小值．
本题考查与圆的性质概念，与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题关键．
23.【答案】解：对于，当时，，
令，则或，
即点、、的坐标分别为：、、，
则的面积；
存在，理由：
由点、、的坐标得，，，，
如图，当与相似时，则∽，
则，即，
则，
则，
则点；
点与点不重合，则不为，
当为时，如图，
设交轴于点，过点作于点，
由点、的坐标知，，，
故设，则，则，
则，则，
则，而，
则，
则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：舍去或，
则点的坐标为：；
当时，如图，
即，
即，
则，
设直线交轴于点，过点作于点，
在中，，，，
故设，则，，
则，则，
则，
则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：舍去或，
则点的坐标为：；
综上，点的坐标为：或．
【解析】由的面积，即可求解；
当与相似时，则∽，得到，即，进而求解；
当为时，利用解直角三角形的方法求出，进而求解；当时，同理可解．
此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了解直角三角形和三角形相似等，分类求解是解决问题的关键．
第1页，共1页