2022-2023学年湖南省邵阳市邵阳县重点中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省邵阳市邵阳县重点中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各组数中互为相反数的是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 如图，，于，交于，已知，则是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如果点，，都在反比例函数的图象上，那么，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5. 若一粒米的质量约是，将数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
6. 如图，在中，，于点，，，则的长是( )
A. B. C. D.
7. 某几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是腰长为，底边长为的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是( )
A.
B.
C.
D.
8. 中国古代人民很早就在生产生活种发现了许多有趣的数学问题，其中孙子算经中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余辆车，若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程( )
A. B.
C. D.
9. 若关于的一元二次方程无实数根，则一次函数不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10. 如图，在边长为的菱形中，，点在边上，将沿所在的直线折叠得到，交于点，使经过点，则的长度为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 若，则的值为______ ．
12. 因式分解的结果是______．
13. 病情无情人有情，爱心捐款传真情，某班学生积极参加献爱心活动，该班名学生的捐款统计情况如下表：
金额元
人数
则他们捐款金额的众数是______ ，中位数是______ ．
14. 函数与的图象的交点坐标为______ ．
15. 化简：______．
16. 如图，是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果，，当绕点顺时针旋转时，则雨刷器扫过的面积为______ 结果保留．
17. 有位同学把一块圆形玻璃打碎，如图他把直角三角板的直角顶点放在破损玻璃的周上，两直角边与圆弧分别交于点，，量得，，他就知道圆玻璃的半径是______ ．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到、、、，则的直角顶点的纵坐标为______ ．
三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 计算：．
四、解答题（本大题共6小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
如图，在中，，点、分别是线段、的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
求证：≌；
求证：四边形为矩形．
22. 本小题分
之前随着“双减”政策的落实，各校都开展了各种各样的课外活动某中学对学生最喜欢的课外活动进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项根据得到的数据，绘制的不完整统计图如下，请根据图中信息回答下列问题．
这次调查的样本容量是______ ，请补全折线统计图；
求的值及体育部分所对应的圆心角度数；
若该学校有人，则喜欢科技课外活动的大约有______ ；若该学校组建的科技社团要从前名同学名男同学和名女同学中抽取两名同学去参加区科技活动竞赛，用树状图或列表法求出被抽到两名学生恰好是一男一女的概率．
23. 本小题分
甲、乙两个工程队计划修建一条长千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的倍．
求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
若甲工程队每天的修路费用为万元，乙工程队每天的修路费用为万元，要使两个工程队修路总费用不超过万元，甲工程队至少修路多少天？
24. 本小题分
如图，为的直径，、为上的两个点，，连接，过点作交的延长线于点．
求证：是的切线．
若直径，求的长．
25. 本小题分
根据新冠疫情的防疫需要，学校需要做到经常开窗通风．如图，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边上的点处，另一端在边上滑动，如图为某一位置从上往下看的平面图，测得此时是，长为参考数据；，，，，结果精确到
求固定点到窗框的距离；
若测得，求的长度．
26. 本小题分
如图，抛物线经过，两点，与轴相交于点，连接，点为线段上方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．
求抛物线的表达式．
过点作直线，为垂足，当点运动到何处时，以，，为顶点的三角形与相似？并求出此时点的坐标．
如图，连接，，请问的面积能否取得最大值？若能，请求出最大面积，并求出此时点的坐标；若不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了实数的性质，对各项准确计算是解题的关键．
根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：、，与是互为相反数，故本选项正确；
B、，与相等，不是互为相反数，故本选项错误；
C、与是互为倒数，不是互为相反数，故本选项错误；
D、，与相等，不是互为相反数，故本选项错误．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
3.【答案】
【解析】解：，，
．
，
．
故选：．
根据三角形内角之和等于，对顶角相等的性质求解．
考查平行线的性质和三角形内角之和等于．
4.【答案】
【解析】
【分析】
分别把，，代入解析式求出、、，根据判断即可．
本题主要考查对反比例函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据确定、、的大小是解此题的关键．
【解答】
解：分别把，，代入解析式得：
，，，
，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
6.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了相似三角形的判定和性质，属于基础题．
根据相似三角形的判定得到∽，从而可根据其相似比求得的长．
【解答】
解：，于点，
，，，
，
∽，
：：，
，，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由三视图可知，该几何体是圆锥，
侧面展开图的面积．
故选：．
由三视图可知，该几何体是圆锥，根据圆锥的侧面积公式计算即可．
本题考查三视图，圆锥等知识，解题的关键是记住圆锥的侧面积公式．
8.【答案】
【解析】解：设有辆车，则可列方程：
．
故选：．
根据每三人乘一车，最终剩余辆车，每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：根据题意得且，
解得，
，，
一次函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：．
根据根的判别式的意义得到且，解得，然后根据一次函数的性质可得到一次函数图象经过第二、三、四象限，从而求解．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系．
10.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，
将沿所在的直线折叠得到，
，，，
，
，
，
，
故选：．
由菱形的性质可得，，由折叠的性质可得，，，可求，由等腰直角三角形的性质可求的长，即可求解．
本题考查了菱形的性质，翻折变换，等腰直角三角形的性质，求出的长是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
，，
解得，，，
．
故答案为：．
根据几个非负数的和为时，这几个非负数都为列出算式求出、的值，计算即可．
本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为时，这几个非负数都为是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
先提公因式，再套用完全平方公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和完全平方公式是解决本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：捐款人数最多的是元，
捐款金额的众数，
把名同学捐款从小到大排列，最中间的两个数是，，
中位数是．
故答案为：；．
根据众数定义即可得答案，中位数是把个数据从小到大排列，最中间两个数的平均数，据此选择正确的答案．
本题主要考查了众数，中位数的知识，解答本题要掌握中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，此题难度不大．
14.【答案】
【解析】解：解方程组得，
所以函数与的图象交点坐标为．
故答案为：．
根据两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解，所以解方程组即可得到两直线的交点坐标．
本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同．
15.【答案】
【解析】解：
．
故答案是：．
利用完全平方公式和提取公因式法对、的分子分别进行因式分解，然后通过约分进行化简，最后计算减法即可．
本题考查了分式的加减法．解题时，需要熟练掌握因式分解的方法．
16.【答案】
【解析】解：，，
≌，
雨刷器扫过的面积扇形的面积扇形的面积，
故答案为：．
易证三角形与三角形全等，故雨刷器扫过的面积等于扇形的面积减去扇形的面积．
本题主要考查了根据扇形面积公式计算扇形面积的能力，解题时注意利用面积相等将图形转化为熟悉的面积．
17.【答案】
【解析】解：如图，连接，
，
是圆的直径，
，，
，
半径为，
故答案为：．
根据圆周角定理可得是直径，再由勾股定理可求出，进而求出半径即可．
本题考查圆周角定理，勾股定理，掌握“的圆周角所对的弦是直径”以及勾股定理是正确解答的关键．
18.【答案】
【解析】解：点、，
，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：，
，
的直角顶点是第个循环组后第一个三角形的直角顶点，
，
的直角顶点的纵坐标为．
故答案为：．
根据勾股定理列式求出的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用除以，根据商为，余数为，可知第个三角形的直角顶点为第个循环组后第一个三角形的直角顶点，求出即可．
此题考查了坐标与图形变化旋转，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．
19.【答案】解：原式，
当时，原式．
【解析】原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：原式
．
【解析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】证明：，
，
是线段的中点，
，
，
≌；
≌，
，
是线段的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形为矩形．
【解析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据平行线的性质得到，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
根据全等三角形的性质得到，推出四边形是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论．
22.【答案】
【解析】解：喜欢艺术的学生人数为人，占，
人，
这次调查的样本容量是；
调查的样本容量是，
喜欢科技的学生人数占，喜欢体育的学生人数占，
，
喜欢播音的学生人数为人，喜欢其他的学生人数为人；
故答案为：；
由可得为，
体育部分所对应的圆心角度数为，
故的值是，体育部分所对应的圆心角度数为；
若该学校有人，喜欢科技课外活动的大约有人；
设三名女同学分别用、、表示，两名男同学用、表示，画树状图如下；
由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中恰好是一男一女的结果数有种，
恰好是一名男生、一名女生的概率为．
故答案为：人．
根据样本容量，样本个数样本容量样本个数所占比，样本个数所占比即可解答；
根据样本个数所占比和扇形统计图圆心角公式为圆心角度数百分比即可解答；
根据样本个数样本容量样本个数所占比和列举法求概率即可解答．
本题主要考查了统计的知识，熟练掌握扇形统计图等统计的知识是解题的关键．
23.【答案】解：设甲工程队每天修路千米，则乙工程队每天修路千米，
根据题意，可列方程：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
千米，
答：甲工程队每天修路千米，乙工程队每天修路千米；
设甲工程队修路天，则乙工程队修千米，
乙需要修路天，
由题意可得，
解得，
答：甲工程队至少修路天．
【解析】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，找出题目中的等量或不等关系是解题的关键，注意分式方程需要检验．
可设甲工程队每天修路千米，则乙工程队每天修路千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可；
设甲工程队修路天，则可表示出乙工程队修路的天数，从而可表示出两个工程队修路的总费用，由题意可列不等式，求解即可．
24.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：连接，
为的直径，
，
，，
，
．
【解析】本题考查切线的判定，勾股定理，含角的直角三角形，以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键．
连接，根据已知条件得到，根据，
得到，从而得到，根据等腰三角形的性质得到，即可求得，于是得到结论；
连接，根据圆周角定理得到，再利用勾股定理即可得到结论．
25.【答案】解：作于点，
点到窗框的距离为长度，
，
，
，
．
【解析】作于点，然后根据题意和锐角三角函数可以求得的长；
根据题意和锐角三角函数可以求得的长．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
26.【答案】解：将点，的坐标代入函数的表达式得：，
解得：．
抛物线的解析式为；
如图所示：
，
，
令得，
，
，
，
时，以，，为顶点的三角形与相似，
设点的坐标为．
则，，
，
解得：或，
点的坐标为或；
如图所示：连接，．
设点的坐标为则，，，
，，
，
，
当时，的面积有最大值，最大值为，此时．
【解析】将点，的坐标代入抛物线的解析式，求得、的值即可；
先由函数解析式求得点的坐标，从而得到为等腰直角三角形，故此当时，以，，为顶点的三角形与相似．
设点的坐标为则，，接下来列出关于的方程，从而可求得的值，于是可求得点的坐标；
连接设点的坐标为则，，然后依据列出的面积与的函数关系式，从而可求得三角形的最大面积．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定，用含的式子表示相关线段的长度，然后列出的面积与的函数关系式是解题的关键．
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