7.3.1三角函数的周期性 讲义（含答案）

编号：045 课题:§7.3.1 三角函数的周期性
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解并掌握函数的周期性；
2.会求正弦函数、余弦函数的周期；
3.会利用函数的周期求值；
4.掌握函数周期性的综合应用问题．
本节重点难点
重点：利用函数的周期求值；
难点：函数周期性的综合应用．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程赏析
基础知识积累
1.函数的周期性
(1)周期函数:设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在一个非零常数T,使得对于任
意的x∈A,都有x+T∈A,并且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫作周期函数,非零
常数T叫作这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的________,那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期.
(3)本质:函数值随着自变量的取值周期性出现相同的函数值.
(4)应用:函数的周期性是函数的重要性质,是高考中常见的考查知识点,在生活中也有很多的应用.
【思考】
周期函数都有最小正周期吗
提示:周期函数不一定存在最小正周期.例如,对于常数函数f(x)=c(c为常数,x∈R),所有非零实数T都是它的周期,而最小正周期是不存在的,所以常数函数没有最小正周期.
2.正、余弦函数的周期
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,
且A≠0,ω>0)的周期为______.
【思考】 当函数y=Asin(ωx+φ)中,ω<0时,函数的周期是多少
【课前基础演练】
题1．函数f(x)＝cos 的周期为( )
A． B． C．π D．2π
题2．下列函数中，周期为 的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos (－4x)
题3．已知函数y＝2cos (ω<0)的最小正周期是4π，则ω＝( )
A．－4 B．－ C．－1 D．－
题4．函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)＝2，则f(5)＝( )
A．2 B．1 C．－2 D．－1
题5．函数y＝sin 的周期不大于4，则正整数k的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
题6．函数f(x)＝cos 2x＋|cos 2x|的最小正周期为( )
A．4π B．2π C．π D．
题7（多选题）．已知函数f(x)＝sin(k为正整数)，要使f(x)的周期在 内，则正整数k的( )
A．最小值为14 B．最小值为15
C．最大值为28 D．最大值为29
题8（多选题）．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件 (f(x)≠0)，则( )
A．函数f(x)是周期函数
B．函数f(x)不是周期函数
C．4是函数f(x)的一个周期
D．若f(1)＝－5，则f(f(5))的值为
题9．函数 的最小正周期是________．
题10．已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件 ，且f(1)＝ ，则f(2 026)＝________．
题11．若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而呈周期性变化，如图所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)当t＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
【课堂检测达标】
题12. 设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是( )
题13．设函数f(x)＝sin x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝( )
A．2 (3) B．－2 (3) C． D．0
题14（多选题）．下列函数是周期函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝2
C．y＝2x D．
题15（多选题）．设函数f(x)＝3sin ，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以 为最小正周期．若，则cos α的可能取值为( )
A． B．－
C． D．－
题16．若函数f(x)＝2cos 的最小正周期为T，且T∈(1，3)，则正整数ω的最大值是______．
题17．已知函数f(x)＝sin ，其中k≠0，当自变量x在任何两整数间(包括整数本身)变化时，至少含有1个周期，则最小的正整数k为________．
题18．设函数f(x)(x∈R)是以2为周期的函数，且x∈[0，2]时，f(x)＝(x－1)2.
(1)求f(3)；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式．
题19．已知函数y＝sin x＋|sin x|.
(1)画出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
【综合突破拔高】
题20．函数f(x)＝2cos 的最小正周期是( )
A． B．π C．2π D．4π
题21．函数f＝3sin 的最小正周期是( )
A．1 B．2 C．π D．2π
题22．函数f(x)＝2cos的最小正周期为( )
A．2π B．3π C． D．
题23．下列函数中，最小正周期为π的是( )
A．y＝sin 2x B．y＝cos x
C．y＝sin (x－π) D．y＝cos
题24．已知函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为2，则的值为( )
A． B． C．－ D．－
题25．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)f(x)＝－1，则f(x)的周期为( )
A．2 B．4 C．6 D．1
题26（多选题）．下列函数是周期函数的是( )
A．y＝20
B．y＝cos x，x∈
C．y＝sin x，x∈
D．y＝cos，x∈
题27（多选题）．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中可能是周期函数的是( )
题28．函数y＝sin的最小正周期为________．
题29．函数，x∈R的最小正周期为________.
题30．求下列三角函数的最小正周期：
(1)y＝3cos x，x∈R； (2)y＝sin 2x，x∈R；
(3)y＝2sin，x∈R； (4)y＝|cos x|，x∈R.
题31．求函数y＝|sin 2x|(x∈R)的最小正周期．
编号：045 课题:§7.3.1 三角函数的周期性
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解并掌握函数的周期性；
2.会求正弦函数、余弦函数的周期；
3.会利用函数的周期求值；
4.掌握函数周期性的综合应用问题．
本节重点难点
重点：利用函数的周期求值；
难点：函数周期性的综合应用．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程赏析
基础知识积累
1.函数的周期性
(1)周期函数:设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在一个非零常数T,使得对于任
意的x∈A,都有x+T∈A,并且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫作周期函数,非零
常数T叫作这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的__正数__,那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期.
(3)本质:函数值随着自变量的取值周期性出现相同的函数值.
(4)应用:函数的周期性是函数的重要性质,是高考中常见的考查知识点,在生活中也有很多的应用.
【思考】
周期函数都有最小正周期吗
提示:周期函数不一定存在最小正周期.例如,对于常数函数f(x)=c(c为常数,x∈R),所有非零实数T都是它的周期,而最小正周期是不存在的,所以常数函数没有最小正周期.
2.正、余弦函数的周期
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,
且A≠0,ω>0)的周期为______.
【思考】 当函数y=Asin(ωx+φ)中,ω<0时,函数的周期是多少
提示:函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0)的
周期为.
【课前基础演练】
题1．函数f(x)＝cos 的周期为( )
A． B． C．π D．2π
【解析】选C.方法一(定义法)：因为f(x)＝cos＝cos＝cos＝f(x＋π)，即f(x＋π)＝f(x)，
所以函数f(x)＝cos的周期T＝π.
方法二(公式法)：因为y＝cos，
所以ω＝2.又T＝.
所以函数f(x)＝cos的周期T＝π.
题2．下列函数中，周期为 的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos (－4x)
【解析】选D.A中，T＝＝4π；B中，T＝＝π；
C中，T＝＝8π；D中，T＝＝ .
题3．已知函数y＝2cos (ω<0)的最小正周期是4π，则ω＝( )
A．－4 B．－ C．－1 D．－
【解析】选D.因为T＝ ＝4π，
所以|ω|＝ ，因为ω<0，所以ω＝－ .
题4．函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)＝2，则f(5)＝( )
A．2 B．1 C．－2 D．－1
【解析】选C.因为f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，
所以f(x＋3)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，
又f(1)＝2，所以f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
题5．函数y＝sin 的周期不大于4，则正整数k的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】选C.由T＝ 得T＝ .因为T≤4，所以 ≤4，所以k≥π，所以正整数k的最小值为4.
题6．函数f(x)＝cos 2x＋|cos 2x|的最小正周期为( )
A．4π B．2π C．π D．
【解析】选C.由f(x)＝cos 2x＋|cos 2x|＝
故所求最小正周期为π.
题7（多选题）．已知函数f(x)＝sin(k为正整数)，要使f(x)的周期在 内，则正整数k的( )
A．最小值为14 B．最小值为15
C．最大值为28 D．最大值为29
【解析】选BC.由周期公式，得T＝，由题意知 .因为k＞0，所以 ，即，所以kmin＝15，kmax＝28.
题8（多选题）．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件 (f(x)≠0)，则( )
A．函数f(x)是周期函数
B．函数f(x)不是周期函数
C．4是函数f(x)的一个周期
D．若f(1)＝－5，则f(f(5))的值为
【解析】选ACD.因为，
所以.
所以f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．
因为4是f(x)的一个周期．所以f(5)＝f(1)＝－5，
所以f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝ .
题9．函数 的最小正周期是________．
【解析】，所以最小正周期为2π.
答案：2π
题10．已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件 ，且f(1)＝ ，则f(2 026)＝________．
【解析】因为，所以函数f(x)的周期为6，
故f(2 026)＝f(4)＝＝2.
答案：2
题11．若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而呈周期性变化，如图所示，请回答下列问题：
(1)单摆运动的周期是多少？
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)当t＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
【解析】(1)从图象可以看出单摆运动的周期是0.4 s.
(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动．
(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm.
【课堂检测达标】
题12. 设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是( )
【解析】选B.由f(－x)＝f(x)，得f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．
由f(x＋2)＝f(x)，得f(x)的周期为2.
题13．设函数f(x)＝sin x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝( )
A．2 (3) B．－2 (3) C． D．0
【解析】选C.因为f(x)＝sin x的周期T＝＝6，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝337[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 023)＋f(2 024)＋f(2 025)
＝337(sin＋sin ＋sin π＋sinπ＋sinπ＋sin 2π)＋f(337×6＋1)＋f(337×6＋2)＋f(337×6＋3)＝337×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝sin＋sinπ＋sinπ＝ .
题14（多选题）．下列函数是周期函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝2
C．y＝2x D．
【解析】选ABD.由周期函数的定义可知A，B，D都是周期函数，它们的周期分别是6，任意非零实数，2π.
题15（多选题）．设函数f(x)＝3sin ，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以 为最小正周期．若，则cos α的可能取值为( )
A． B．－
C． D．－
【解析】选CD.因为f(x)的最小正周期为 ，
ω>0，所以ω＝ ＝4.
所以f(x)＝3sin .
由，sin α＝－.
得cos α＝± .
题16．若函数f(x)＝2cos 的最小正周期为T，且T∈(1，3)，则正整数ω的最大值是______．
【解题指南】根据求函数周期的公式，表示出函数的周期，再根据条件T∈(1，3)列出不等式组，求出ω的范围，注意ω是正整数这一条件．
【解析】T＝ ，又T∈(1，3)，所以1<<3，
又ω∈N*，则ω＝3，4，5，6，所以ω的最大值为6.
答案：6
题17．已知函数f(x)＝sin ，其中k≠0，当自变量x在任何两整数间(包括整数本身)变化时，至少含有1个周期，则最小的正整数k为________．
【解析】由正弦函数的周期公式，得T＝ ，由题意知0<≤1.解得k≥20π≈62.8，所以正整数k的最小值为63.
答案：63
题18．设函数f(x)(x∈R)是以2为周期的函数，且x∈[0，2]时，f(x)＝(x－1)2.
(1)求f(3)；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式．
【解析】(1)因为函数f(x)(x∈R)是以2为周期的函数，且x∈[0，2]时，f(x)＝(x－1)2，
所以f(3)＝f(3－2)＝f(1)＝(1－1)2＝0.
(2)因为f(x)的最小正周期为2，
所以当x∈[2，4]时，都有f(x)＝f(x－2)，
令x－2＝m，则m∈[0，2]，
所以f(m)＝(m－1)2，
将m＝x－2代入，得f(x)＝(x－2－1)2＝(x－3)2.
题19．已知函数y＝sin x＋|sin x|.
(1)画出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
【解析】(1)y＝ sin x＋ |sin x|
函数图象如图所示．
(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的最小正周期是2π.
【综合突破拔高】
题20．函数f(x)＝2cos 的最小正周期是( )
A． B．π C．2π D．4π
【解析】选D.函数f(x)＝2cos的最小正周期T＝ ＝4π.
题21．函数f＝3sin 的最小正周期是( )
A．1 B．2 C．π D．2π
【解析】选B.T＝ ＝2.
题22．函数f(x)＝2cos的最小正周期为( )
A．2π B．3π C． D．
【解析】选D.因为ω＝－3，所以T＝ .
题23．下列函数中，最小正周期为π的是( )
A．y＝sin 2x B．y＝cos x
C．y＝sin (x－π) D．y＝cos
【解析】选A.y＝sin 2x的最小正周期T＝ ＝π，A正确；
y＝cos x的最小正周期T＝ ＝4π，B不正确；
y＝sin (x－π)的最小正周期T＝ ＝2π，C不正确；
y＝cos的最小正周期T＝ ＝2π，D不正确．
题24．已知函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为2，则的值为( )
A． B． C．－ D．－
【解析】选D.函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为2，则 ＝2，解得ω＝π；
所以.
题25．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)f(x)＝－1，则f(x)的周期为( )
A．2 B．4 C．6 D．1
【解析】选B.因为f(x＋2)f(x)＝－1，所以 ，
所以，
所以函数f(x)是周期函数，4是一个周期．
题26（多选题）．下列函数是周期函数的是( )
A．y＝20
B．y＝cos x，x∈
C．y＝sin x，x∈
D．y＝cos，x∈
【解析】选AC.常数函数y＝20是周期函数，但没有最小正周期，所以A正确，因为周期函数的定义域至少有一端趋向于无穷大，所以C正确，BD错误．
题27（多选题）．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中可能是周期函数的是( )
【解析】选ABC.对于D，x∈(－1，1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数，其他三个可能为周期函数．
题28．函数y＝sin的最小正周期为________．
【解析】因为，由周期函数的定义知，y＝sin的最小正周期为6π.
答案：6π
题29．函数，x∈R的最小正周期为________.
【解析】由已知得f(x)的最小正周期T＝ ＝4.
答案：4
题30．求下列三角函数的最小正周期：
(1)y＝3cos x，x∈R； (2)y＝sin 2x，x∈R；
(3)y＝2sin，x∈R； (4)y＝|cos x|，x∈R.
【解析】(1)因为3cos (x＋2π)＝3cos x，所以由周期函数的定义知，y＝3cos x的最小正周期为2π.
(2)因为sin 2(x＋π)＝sin (2x＋2π)＝sin 2x，所以由周期函数的定义知，y＝sin 2x的最小正周期为π.
(3)因为，
所以由周期函数的定义知，y＝2sin的最小正周期为4π.
(4)y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示．
由图象可知，y＝|cos x|的最小正周期为π.
题31．求函数y＝|sin 2x|(x∈R)的最小正周期．
【解析】作出y＝|sin 2x|(x∈R)的图象(如图所示).
由图象可知，函数y＝|sin 2x|(x∈R)的最小正周期为 .
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