7.2.3三角函数的诱导公式（一）讲义（含答案）

编号：043 课题： §7.2.3.1 三角函数的诱导公式（一）
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解并掌握诱导公式（一）—（四）；
2.掌握给角求值问题；
3.理解并掌握给值（式）求值问题；
4.掌握化简求值问题．
本节重点难点
重点：给值（式）求值问题；
难点：化简求值问题．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程赏析
基础知识积累
诱导公式
(1)诱导公式一
语言表达:终边相同的角的同一三角函数值相等.
(2)诱导公式二、三、四
公式二 公式三 公式四
终边 关系 角与角的终边关于x轴对称. 角与角的终边关于y轴对称. 角与角的终边关于原点对称.
图形
公式二 公式三 公式四
公式 , , , , , ,
(3)本质:在单位圆中,不同角的终边的位置关系决定了三角函数值之间的关系.
(4)应用:通过诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角三角函数,广泛应用于计算、化简、证明之中.
【思考】
公式一至公式四有简单的记忆方法吗
【课前基础演练】
题1．以下四种化简过程，其中正确的有( )
①sin (360°＋200°)＝sin 200°；
②sin (180°－200°)＝－sin 200°；
③sin (180°＋200°)＝sin 200°；
④sin (－200°)＝sin 200°.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
题2.下列各式不正确的是( )
A．sin (α＋180°)＝－sin α
B．cos (－α＋β)＝－cos (α－β)
C．sin (－α－360°)＝－sin α
D．cos (－α－β)＝cos (α＋β)
题3．已知cos 167°＝m，则tan 193°＝( )
A． B．
C． D．
题4．点P(cos 2 022°，sin 2 022°)落在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题5．已知α∈，tan α＝ ，则sin (α＋π)＝( )
A． B． C． D．
题6．若600°角的终边上有一点(－4，a)，则a的值是( )
A． B． C． D．
题7．已知角α顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P ，将α的终边逆时针旋转180°，这时终边所对应的角是β，则cos β＝( )
A． B． C． D．
题8（多选题）．已知A＝，则A的值可以是( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
题9．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ，则cos (π－θ)的值为________．
题10．求值：sin 2 840°＋cos 540°＋tan 225°－cos (－330°)＋sin ＝________．
题11．已知cos (α－75°)＝－ ，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值．
【课堂检测达标】
题12. 已知sin ，则sin 的值为( )
A． B． C． D．
题13．已知sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m，则sin (180°＋α)·cos (180°－α)
等于( )
A． B．
C． D．
题14（多选题）．给出下列四个结论，其中正确的结论是( )
A．sin ＝－sin α成立的条件是角α是锐角
B．若cos ，则cos α＝
C．sin ＝－sin 131°
D．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α＝1(n∈N＋)
题15（多选题）．在△ABC中，给出下列四个式子，其中为常数的是( )
A．sin (A＋B)＋sin C
B．cos (A＋B)＋cos C
C．sin (2A＋2B)＋sin 2C
D．cos (2A＋2B)＋cos 2C
题16(多选题)．已知x∈R，则下列等式恒成立的是 (　 　)
A．sin (－x)＝sin x B．tan (2π－x)＝tan x
C．tan (x＋π)＝tan x D．cos (x－π)＝－cos x
题17(多选题)．已知cos (π－α)＝－，则sin (－2π－α)的值是 (　 　)
A． B．－ C．－　 D．
题18．已知函数f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β).其中a，b，α，β都是非零实数，又f(2 021)＝－1，则f(2 022)的值为________．
题19．已知角α的终边经过点P(3t，1)，且cos (π＋α)＝ ，则tan α的值为________，t的值为________．
题20．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin (α－π)＝ ，求f(α)的值；
(3)若α＝ ，求f(α)的值．
题21．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边在直线4x－3y＝0上．
(1)求sin (α＋π)的值；
(2)求的值．
【综合突破拔高】
题22．计算：tan ＝( )
A．－ B． C．－ D．
题23．tan 300°＋sin 450°的值是( )
A．－1＋ B．1＋ C．－1－ D．1－
题24．计算：cos (－2 370°)＝( )
A． B．－ C．－ D．
题25．计算：sin·cos·tan＝( )
A．－ B．－ C． D．
题26．已知cos (π－α)＝－ ，且α是第一象限角，则sin (－2π－α)的值是( )
A． B．－ C．± D．
题27．已知sin，则sin ＝( )
A． B． C．－ D．
题28（多选题）．如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的是( )
A．sin α＝sin β
B．sin α＝－sin β
C．cos α＝－cos β
D．tan α＝－tan β
题29（多选题）．下列化简正确的是( )
A．tan (π＋1)＝tan 1
B．
C．
D．
题30．化简： __________．
题31．若P(cos θ，sin θ)与Q 关于原点对称，则满足条件的θ的取值集合为________________．
题32．求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2).
题33．化简下列各式：
(1)a2sin (－1 350°)＋b2tan 405°－2ab cos (－1 080°)；
(2).
编号：043 课题： §7.2.3.1 三角函数的诱导公式（一）
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解并掌握诱导公式（一）—（四）；
2.掌握给角求值问题；
3.理解并掌握给值（式）求值问题；
4.掌握化简求值问题．
本节重点难点
重点：给值（式）求值问题；
难点：化简求值问题．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程赏析
基础知识积累
诱导公式
(1)诱导公式一
语言表达:终边相同的角的同一三角函数值相等.
(2)诱导公式二、三、四
公式二 公式三 公式四
终边 关系 角与角的终边关于x轴对称. 角与角的终边关于y轴对称. 角与角的终边关于原点对称.
图形
公式二 公式三 公式四
公式 , , , , , ,
(3)本质:在单位圆中,不同角的终边的位置关系决定了三角函数值之间的关系.
(4)应用:通过诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角三角函数,广泛应用于计算、化简、证明之中.
【思考】
公式一至公式四有简单的记忆方法吗
提示:有,记忆口诀为:“函数名不变,符号看象限”.
【课前基础演练】
题1．以下四种化简过程，其中正确的有( )
①sin (360°＋200°)＝sin 200°；
②sin (180°－200°)＝－sin 200°；
③sin (180°＋200°)＝sin 200°；
④sin (－200°)＝sin 200°.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】选B.由诱导公式知①正确，②③④错误．
题2.下列各式不正确的是( )
A．sin (α＋180°)＝－sin α
B．cos (－α＋β)＝－cos (α－β)
C．sin (－α－360°)＝－sin α
D．cos (－α－β)＝cos (α＋β)
【解析】选B.由诱导公式知cos (－α＋β)＝cos [－(α－β)]＝cos (α－β)，故B不正确．
题3．已知cos 167°＝m，则tan 193°＝( )
A． B．
C． D．
【解析】选C.tan 193°＝tan (360°－167°)
＝－tan 167°＝，
因为cos 167°＝m，所以sin 167°＝ ，所以tan 193°＝.
题4．点P(cos 2 022°，sin 2 022°)落在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】选C.2 022°＝6×360°－138°，所以cos 2 022°＝cos (－138°)＝cos 138°<0，
sin 2 022°＝sin (－138°)＝－sin 138°<0，所以点P在第三象限．
题5．已知α∈，tan α＝ ，则sin (α＋π)＝( )
A． B． C． D．
【解析】选B.因为sin (α＋π)＝－sin α，且tan α＝－ ，α∈，所以sin α＝ ，则sin (α＋π)＝－ .
题6．若600°角的终边上有一点(－4，a)，则a的值是( )
A． B． C． D．
【解析】选C.由题意得，tan 600°＝ ，
则a＝－4·tan 600°＝－4tan (3×180°＋60°)＝－4tan 60°＝－4 .
题7．已知角α顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P ，将α的终边逆时针旋转180°，这时终边所对应的角是β，则cos β＝( )
A． B． C． D．
【解析】选B.因为cos α＝，且β＝α＋180°，所以cos β＝cos ＝－cos α＝－ .
题8（多选题）．已知A＝，则A的值可以是( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【解析】选AD.当k＝2n，n∈Z时，
A＝，
当k＝2n＋1，n∈Z时，
A＝
.
题9．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ，则cos (π－θ)的值为________．
【解析】由三角函数定义知，cos θ＝－ ，
所以cos (π－θ)＝－cos θ＝ .
答案：
题10．求值：sin 2 840°＋cos 540°＋tan 225°－cos (－330°)＋sin ＝________．
【解析】原式＝sin 2 120°＋cos 180°＋tan 45°－cos 30°＋sin 150°＝ .
答案：
题11．已知cos (α－75°)＝－ ，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值．
【解析】因为cos (α－75°)＝－ ＜0，且α为第四象限角，
所以sin (α－75°)＝ ，
所以sin (105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)]＝－sin (α－75°)＝ .
【课堂检测达标】
题12. 已知sin ，则sin 的值为( )
A． B． C． D．
【解析】选C.sin.
题13．已知sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m，则sin (180°＋α)·cos (180°－α)
等于( )
A． B．
C． D．
【解析】选A.因为sin (α－360°)－cos (180°－α)＝sin α＋cos α＝m，所以sin (180°＋α)cos (180°－α)＝sin αcos α＝ .
题14（多选题）．给出下列四个结论，其中正确的结论是( )
A．sin ＝－sin α成立的条件是角α是锐角
B．若cos ，则cos α＝
C．sin ＝－sin 131°
D．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α＝1(n∈N＋)
【解析】选CD.由诱导公式知α∈R时，sin ＝－sin α，所以A错误．
当n＝2k(k∈Z)时，cos ＝cos ＝cos α，此时cos α＝ ，
当n＝2k＋1(k∈Z)时，cos ＝cos ＝cos ＝－cos α，此时cos α＝－ ，所以B错误．
sin ＝－sin 131°，所以C正确．
将等式sin α＋cos α＝1两边平方，得sin αcos α＝0，所以sin α＝0或cos α＝0.
若sin α＝0，则cos α＝1，此时sin n α＋cos n α＝1；若cos α＝0，则sin α＝1，此时sin n α＋cos n α＝1，故sin n α＋cos n α＝1，所以D正确．
题15（多选题）．在△ABC中，给出下列四个式子，其中为常数的是( )
A．sin (A＋B)＋sin C
B．cos (A＋B)＋cos C
C．sin (2A＋2B)＋sin 2C
D．cos (2A＋2B)＋cos 2C
【解析】选BC.A中sin (A＋B)＋sin C＝2sin C；
B中cos (A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；
C中sin (2A＋2B)＋sin 2C＝sin [2(A＋B)]＋sin 2C＝sin [2(π－C)]＋sin 2C
＝sin (2π－2C)＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0；
D中cos (2A＋2B)＋cos 2C
＝cos [2(A＋B)]＋cos 2C
＝cos [2(π－C)]＋cos 2C
＝cos (2π－2C)＋cos 2C
＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C.
题16(多选题)．已知x∈R，则下列等式恒成立的是 (　 　)
A．sin (－x)＝sin x B．tan (2π－x)＝tan x
C．tan (x＋π)＝tan x D．cos (x－π)＝－cos x
【解析】选CD.sin (－x)＝－sin x，故A不成立；tan (2π－x)＝tan (－x)＝－tan x，故B不成立；
tan (x＋π)＝tan x，故C成立；cos (x－π)＝－cos x，故D成立．
题17(多选题)．已知cos (π－α)＝－，则sin (－2π－α)的值是 (　 　)
A． B．－ C．－　 D．
【解析】选AB.因为cos (π－α)＝－cos α＝－，所以cos α＝，所以α为第一或第四象限角，
所以sin α＝±＝±，所以sin(－2π－α)＝sin (－α)＝－sin α＝±.
题18．已知函数f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β).其中a，b，α，β都是非零实数，又f(2 021)＝－1，则f(2 022)的值为________．
【解析】f(2 021)＝a sin (2 021π＋α)＋b cos (2 021π＋β)
＝a sin (2 020π＋π＋α)＋b cos (2 020π＋π＋β)
＝a sin (π＋α)＋b cos (π＋β)
＝－a sin α－b cos β＝－(a sin α＋b cos β)，
因为f(2 021)＝－1，所以a sin α＋b cos β＝1.
所以f(2 022)＝a sin (2 022π＋α)＋b cos (2 022π＋β)
＝a sin α＋b cos β＝1.
答案：1
题19．已知角α的终边经过点P(3t，1)，且cos (π＋α)＝ ，则tan α的值为________，t的值为________．
【解析】因为cos (π＋α)＝，
所以－cos α＝，即cos α＝－，所以α在第二或第三象限，
又因为角α的终边经过点P(3t，1)，所以α在第二象限，所以sin α＝ ，所以tan α＝－ ，
由正切函数的定义可得tan α＝－＝ ，所以t＝－.
答案：
题20．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin (α－π)＝ ，求f(α)的值；
(3)若α＝ ，求f(α)的值．
【解析】(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)因为sin (α－π)＝－sin α＝ ，所以sin α＝－ .
又α是第三象限角，所以cos α＝ ，所以f(α)＝ .
(3)因为 ，
所以.
题21．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边在直线4x－3y＝0上．
(1)求sin (α＋π)的值；
(2)求的值．
【解析】(1)在直线4x－3y＝0上任取一点P (m≠0)，由已知角α的终边过点P，所以x＝m，y＝ m，r＝.
利用诱导公式与三角函数定义可得sin (α＋π)＝－sin α＝，
当m>0时，sin (α＋π)＝－ ；当m<0时，sin (α＋π)＝ .
(2)原式＝
，
同理(1)利用三角函数定义可得：cos α＝ ，
当m>0时，sin α＝ ，cos α＝ ，此时原式＝ ；
当m<0时，sin α＝－ ，cos α＝－ ，
此时原式＝－ .
【综合突破拔高】
题22．计算：tan ＝( )
A．－ B． C．－ D．
【解析】选A.tan＝tan＝tan＝－tan＝－.
题23．tan 300°＋sin 450°的值是( )
A．－1＋ B．1＋ C．－1－ D．1－
【解析】选D.原式＝tan (360°－60°)＋sin (360°＋90°)
＝tan (－60°)＋sin 90°＝－tan 60°＋1＝－＋1.
题24．计算：cos (－2 370°)＝( )
A． B．－ C．－ D．
【解析】选C.cos (－2 370°)＝cos (－7×360°＋150°)＝cos 150°
＝cos (180°－30°)＝－cos 30°＝－.
题25．计算：sin·cos·tan＝( )
A．－ B．－ C． D．
【解析】选C.原式＝sin·cos·tan
＝sin·cos·tan＝sin·cos·tan
＝-sin.
题26．已知cos (π－α)＝－ ，且α是第一象限角，则sin (－2π－α)的值是( )
A． B．－ C．± D．
【解析】选B.因为cos (π－α)＝－cos α，所以cos α＝.
因为α是第一象限角，所以sin α>0，
所以sin α＝，
所以sin(－2π－α)＝sin (－α)＝－sin α＝－ .
题27．已知sin，则sin ＝( )
A． B． C．－ D．
【解析】选D.因为sin，
所以sin.
题28（多选题）．如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的是( )
A．sin α＝sin β
B．sin α＝－sin β
C．cos α＝－cos β
D．tan α＝－tan β
【解析】选ACD.因为α＋β＝π，所以sin α＝sin (π－β)＝sin β，故A正确，B错误；
cos α＝cos (π－β)＝－cos β，故C正确，
tan α＝tan (π－β)＝－tan β，D正确．
题29（多选题）．下列化简正确的是( )
A．tan (π＋1)＝tan 1
B．
C．
D．
【解析】选AB.由诱导公式可得 tan (π＋1)＝tan 1，故A正确；
，故B正确；
，故C不正确；
，故D不正确．
题30．化简： __________．
【解析】原式＝=-1.
答案：－1
题31．若P(cos θ，sin θ)与Q 关于原点对称，则满足条件的θ的取值集合为________________．
【解析】因为P(cos θ，sin θ)与Q 关于原点对称，
故即 所以θ与 －θ的终边相同，即θ＝－θ＋2kπ，k∈Z，故θ＝＋kπ，k∈Z.
答案：
题32．求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2).
【解析】(1)原式＝tan (360°＋45°)－sin (360°＋90°)＋cos (2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋ ＝.
(2)原式＝
.
题33．化简下列各式：
(1)a2sin (－1 350°)＋b2tan 405°－2ab cos (－1 080°)；
(2).
【解析】(1)原式＝a2sin (－4×360°＋90°)＋b2tan (360°＋45°)－
2ab cos (－3×360°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2ab cos 0°＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
(2).
- 0 -