7.2.1任意角的三角函数（二）讲义（含解析）

编号：041 课题： §7.2.1.2 任意角的三角函数（二）
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解三角函数线的概念；
2.会求三角函数的定义域；
3.掌握三角函数值线的应用．
本节重点难点
重点：三角函数线的概念；
难点：三角函数值线的应用．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程赏析
基础知识积累
1.三角函数线的概念(1)
图示
正弦线 角α的终边与单位圆交于P,过P作PM垂直于x轴,有向线段_______即为正弦线
余弦线 有向线段_______即为余弦线
正切线 过A(1,0)作x轴的垂线,交角α的终边或其终边的反向延长线于T,有向 线段__________即为正切线
(2)本质:三角函数线是三角函数的图形表示,是数形结合思想应用的重要理论依据.
(3)应用:三角函数线能直观地表示三角函数值,常用来比较三角函数大小,解三角不等式等.
【思考】
三角函数线的方向是怎样确定的
2.三角函数的定义域z
三角函数 定义域
sin x
cos x
tan x
【思考】
怎样求三角函数的定义域
【课前基础演练】
题1．下列命题中为真命题的是( )
A．三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角
B．角α的终边在x轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点
C．终边在第二象限的角是钝角
D．终边相同的角必然相等
题2．sin 1，cos 1，tan 1的大小关系为( )
A．sin 1>cos 1>tan 1 B．sin 1>tan 1>cos 1
C．tan 1>sin 1>cos 1 D．tan 1>cos 1>sin 1
题3．函数y＝－2＋tan 的定义域是( )
A． B．
C． D．
题4．使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是( )
A． B．
C． D．
题5．如果，那么下列不等式成立的是( )
A．sin αC．cos α题6(多选题)．下面选项中正确的是( )
A． 与 的正弦线相等
B． 与 的正切线相等
C． 与 的余弦线相等
D． 与 的各三角函数线相同
题7(多选题)．设MP，OM和AT分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则以下不等式正确的是( )
A．MPC．OM题8(多选题)．依据三角函数线，下列判断正确的是 (　 　)
A．sin ＝sin B．cos ＝cos
C．tan >tan D．sin >sin
题9．若0≤θ<2π，且不等式cos θ题10．若cos θ>sin ，利用三角函数线得角θ的取值范围是________．
题11．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sin α＝ ；(2)cos α＝ .
【课堂检测达标】
题12. 点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题13．函数的定义域是( )
A．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z
B．
C．
D．[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z
题14(多选题)．依据三角函数线，判断正确的是( )
A．sin ＝sin B．cos ＝cos
C．tan>tan D．sin >sin
题15(多选题)．已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( )
A． B． C． D．
题16．若θ∈[0，2π)，则使tan θ≤1成立的角θ的取值范围是________．
题17．已知角α的终边与单位圆的交点为P(y<0)，则y＝______，tan α＝______．
题18．在[0，2π]内求函数的定义域．
题19．若，且P＝3cos θ，Q＝(cos θ)3，R＝(cos θ)，比较P，Q，R的关系．
【综合突破拔高】
题20．已知 的正弦线为MP，正切线为AT，则有( )
A．MP与AT的方向相同 B．|MP|＝|AT|
C．MP>0，AT<0 D．MP<0，AT>0
题21．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( )
A．第一象限角平分线上 B．第四象限角平分线上
C．第二、四象限角平分线上 D．第一、三象限角平分线上
题22．设P点为角α的终边与单位圆O的交点，且sin α＝MP，cos α＝OM，则下列命题成立的是( )
A．总有MP＋OM＞1
B．总有MP＋OM＝1
C．存在角α，使MP＋OM＝1
D．不存在角α，使MP＋OM＜0
题23．已知a＝sin ，b＝cos ，c＝tan ，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
题24．若角α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝ ，则这个三角形是( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
题25．若θ∈，则下列各式错误的是( )
A．sin θ＋cos θ<0 B．sin θ－cos θ>0
C．|sin θ|<|cos θ| D．sin θ＋cos θ>0
题26．对三角函数线，下列说法不正确的是( )
A．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线
B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在
C．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在
D．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在
题27．已知cos α>cos β，那么下列结论不成立的是( )
A．若α，β是第一象限角，则sin α>sin β
B．若α，β是第二象限角，则tan α>tan β
C．若α，β是第三象限角，则sin α>sin β
D．若α，β是第四象限角，则tan α>tan β
题28(多选题)．下列函数值中符号为负的是 (　 　)
A．sin B．cos C．tan 2 D．sin 5
题29(多选题)．下列说法正确的是 (　 　)
A．当角α的终边在x轴上时角α的正切线是一个点 B．当角α的终边在y轴上时角α的正切线不存在
C．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化 D．余弦线和正切线的始点都是原点
题30(多选题)． ＋可以取的值为 (　　 )
A．0　 B．1　 C．2　 D．－2
题31．sin ，cos ，tan 按从小到大的顺序排列是__________________．
题32.已知α∈,在单位圆中角α的正弦线、余弦线、正切线分别是,,,则它们的长度从大到小的顺序为 .
题33．在单位圆中，可以表示出x，sin x和tan x，当0题34．已知0≤x≤2π，且sin x编号：041 课题： §7.2.1.2 任意角的三角函数（二）
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解三角函数线的概念；
2.会求三角函数的定义域；
3.掌握三角函数值线的应用．
本节重点难点
重点：三角函数线的概念；
难点：三角函数值线的应用．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程赏析
基础知识积累
1.三角函数线的概念(1)
图示
正弦线 角α的终边与单位圆交于P,过P作PM垂直于x轴,有向线段_ MP __即为正弦线
余弦线 有向线段_ OM __即为余弦线
正切线 过A(1,0)作x轴的垂线,交角α的终边或其终边的反向延长线于T,有向 线段_ AT __即为正切线
(2)本质:三角函数线是三角函数的图形表示,是数形结合思想应用的重要理论依据.
(3)应用:三角函数线能直观地表示三角函数值,常用来比较三角函数大小,解三角不等式等.
【思考】
三角函数线的方向是怎样确定的
提示:三角函数线的方向,即规定的有向线段的方向:凡三角函数线与x轴或y轴
同向的相应三角函数值为正值,反向的为负值.
2.三角函数的定义域z
三角函数 定义域
sin x
cos x
tan x
【思考】
怎样求三角函数的定义域
提示:函数的定义域是函数概念的三要素之一,确定三角函数的定义域时,应抓住分母等于零时比值无意义这一关键,因此需要注意,当且仅当角的终边在坐标轴上时,点P的坐标中必有一个为零,结合三角函数的定义,可以得到三角函数的定义域.
【课前基础演练】
题1．下列命题中为真命题的是( )
A．三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角
B．角α的终边在x轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点
C．终边在第二象限的角是钝角
D．终边相同的角必然相等
【解析】选B.当三角形的角为90°时，不是象限角，所以A不正确，B正确；终边在第二象限的角的范围是 ＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，所以C不正确；终边相同的角不一定相等，它们相差2π的整数倍，所以D不正确．
题2．sin 1，cos 1，tan 1的大小关系为( )
A．sin 1>cos 1>tan 1 B．sin 1>tan 1>cos 1
C．tan 1>sin 1>cos 1 D．tan 1>cos 1>sin 1
【解析】选C.根据三角函数线：如图所示：
设∠DOC＝1弧度，所以根据三角函数线得到：CD＞AB＞OA，
即tan 1＞sin 1＞cos 1.
题3．函数y＝－2＋tan 的定义域是( )
A． B．
C． D．
【解析】选A.由，解得.
题4．使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是( )
A． B．
C． D．
【解析】选A.根据三角函数线易判断图中阴影部分即为所求．
题5．如果，那么下列不等式成立的是( )
A．sin αC．cos α【解析】选C.如图所示，
在单位圆中分别作出α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，很容易地观察出OM题6(多选题)．下面选项中正确的是( )
A． 与 的正弦线相等
B． 与 的正切线相等
C． 与 的余弦线相等
D． 与 的各三角函数线相同
【解析】选ABD.在单位圆中画出相应角的正弦线、正切线、余弦线(图略)可知，A，B，D正确．
题7(多选题)．设MP，OM和AT分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则以下不等式正确的是( )
A．MPC．OM【解析】选BC.分别作的正弦线、余弦线和正切线，如图：
因为sin＝MP>0，cos＝OM<0，tan＝AT<0.所以MP>0>AT>OM.
题8(多选题)．依据三角函数线，下列判断正确的是 (　 　)
A．sin ＝sin B．cos ＝cos
C．tan >tan D．sin >sin
【解析】选BD.各选项分别如图①－④，容易判断正确的是BD.
题9．若0≤θ<2π，且不等式cos θ【解析】由三角函数线知，在[0，2π)内使cos θ使tan θ答案：
题10．若cos θ>sin ，利用三角函数线得角θ的取值范围是________．
【解析】cos θ>sin＝sin＝ ，所以2kπ－ <θ<2kπ＋ ，k∈Z.
答案：
题11．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sin α＝ ；(2)cos α＝ .
【解析】(1)作直线y＝ 交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图甲．
(2)作直线x＝ 交单位圆于M，N两点，则OM与ON为角α的终边，如图乙．
【课堂检测达标】
题12. 点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】选D.因为 <3<π，作出单位圆如图所示：
设MP，OM分别为a，b，sin 3＝a>0，cos 3＝b<0，所以sin 3－cos 3>0.
因为|MP|<|OM|，即|a|<|b|，所以sin 3＋cos 3＝a＋b<0.
故点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．
题13．函数的定义域是( )
A．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z
B．
C．
D．[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z
【解析】选B.由sin x≥0，－cos x≥0，得x为第二象限角或y轴正半轴上的角或x轴负半轴上的角，所以.
题14(多选题)．依据三角函数线，判断正确的是( )
A．sin ＝sin B．cos ＝cos
C．tan>tan D．sin >sin
【解析】选BD.利用单位圆中的三角函数线，可知sin ＝－sin ，cos ＝cos ，tansin ，故B，D正确．
题15(多选题)．已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( )
A． B． C． D．
【解析】选AC.由题意可知α的终边为第一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝ 或 .
题16．若θ∈[0，2π)，则使tan θ≤1成立的角θ的取值范围是________．
【解析】由0≤θ<2π且tan θ≤1，利用三角函数线可得θ的取值范围是 .
答案：
题17．已知角α的终边与单位圆的交点为P(y<0)，则y＝______，tan α＝______．
【解析】因为点P (y<0)在单位圆上，
则，所以y＝－ ，所以tan α＝－ .
答案：
题18．在[0，2π]内求函数的定义域．
【解析】由题意得，自变量x应满足不等式组 即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
即定义域为 .
题19．若，且P＝3cos θ，Q＝(cos θ)3，R＝(cos θ)，比较P，Q，R的关系．
【解析】因为，由余弦线知cos θ∈(0，1)，所以P＝3cos θ>1，
Q＝(cos θ)3∈(0，1)；R＝(cos θ)∈(0，1)，(cos θ)3<(cos θ)，可得Q【综合突破拔高】
题20．已知 的正弦线为MP，正切线为AT，则有( )
A．MP与AT的方向相同 B．|MP|＝|AT|
C．MP>0，AT<0 D．MP<0，AT>0
【解析】选C.三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的．MP＝sin >0，AT＝tan<0.
题21．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( )
A．第一象限角平分线上 B．第四象限角平分线上
C．第二、四象限角平分线上 D．第一、三象限角平分线上
【解析】选C.正弦线、余弦线所在线段以及一条半径组成一个等腰直角三角形，根据题意知角α所在的终边在直线y＝－x上，所以α的终边在第二、四象限角平分线上．
题22．设P点为角α的终边与单位圆O的交点，且sin α＝MP，cos α＝OM，则下列命题成立的是( )
A．总有MP＋OM＞1
B．总有MP＋OM＝1
C．存在角α，使MP＋OM＝1
D．不存在角α，使MP＋OM＜0
【解析】选C.显然，当角α的终边不在第一象限时，MP＋OM＜1，MP＋OM＜0都有可能成立；当角α的终边落在x轴非负半轴或y轴非负半轴时，MP＋OM＝1.
题23．已知a＝sin ，b＝cos ，c＝tan ，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【解析】选D.由如图的三角函数线知：
MP＜AT，因为，所以MP＞OM，
所以cos＜sin＜tan，所以b＜a＜c.
题24．若角α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝ ，则这个三角形是( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【解析】选D.当0<α≤ 时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝ ，所以α必为钝角．
题25．若θ∈，则下列各式错误的是( )
A．sin θ＋cos θ<0 B．sin θ－cos θ>0
C．|sin θ|<|cos θ| D．sin θ＋cos θ>0
【解析】选D.因为θ∈，作出角的正弦线和余弦线如图所示，所以sin θ>0，cos θ<0，且|sin θ|<|cos θ|，所以sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0.
题26．对三角函数线，下列说法不正确的是( )
A．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线
B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在
C．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在
D．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在
【解析】选ABC.终边在y轴上的角的正切线不存在，故A，C错，对任意角都能作正弦线、余弦线，故B错．
题27．已知cos α>cos β，那么下列结论不成立的是( )
A．若α，β是第一象限角，则sin α>sin β
B．若α，β是第二象限角，则tan α>tan β
C．若α，β是第三象限角，则sin α>sin β
D．若α，β是第四象限角，则tan α>tan β
【解析】选ABC.由图(1)可知，cos α>cos β时，sin α由图(2)可知，cos α>cos β时，tan α由图(3)可知，cos α>cos β时，sin α由图(4)可知，cos α>cos β时，tan α>tan β，故D成立．
题28(多选题)．下列函数值中符号为负的是 (　 　)
A．sin B．cos C．tan 2 D．sin 5
【解析】选BCD.因为－1 000°＝－3×360°＋80°，所以－1 000°是第一象限角，
所以sin >0；因为＝2π＋，所以是第三象限角，所以cos <0；
因为<2<π，所以2 rad是第二象限角，所以tan 2<0；
因为<5<2π，所以5 rad是第四象限角，所以sin 5<0.
题29(多选题)．下列说法正确的是 (　 　)
A．当角α的终边在x轴上时角α的正切线是一个点 B．当角α的终边在y轴上时角α的正切线不存在
C．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化 D．余弦线和正切线的始点都是原点
【解析】选ABC.根据三角函数线的概念，A，B，C是正确的，只有D不正确，因为余弦线的始点在原点而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点上．
题30(多选题)． ＋可以取的值为 (　　 )
A．0　 B．1　 C．2　 D．－2
【解析】选ACD.已知函数的定义域为，角x的终边不能落在坐标轴上，
当x是第一象限角时，cos x＞0，tan x＞0，y＝＋＝1＋1＝2；
当x是第二象限角时，cos x＜0，tan x＜0，y＝＋＝－1－1＝－2；
当x是第三象限角时，cos x＜0，tan x＞0，y＝＋＝－1＋1＝0；当x是第四象限角时，cos x＞0，tan x＜0，y＝＋＝1－1＝0.
题31．sin ，cos ，tan 按从小到大的顺序排列是__________________．
【解析】由图可知：cos <0，tan >0，sin >0.
因为|MP|<|AT|，所以sin 故cos 答案：cos 题32.已知α∈,在单位圆中角α的正弦线、余弦线、正切线分别是,,,则它们的长度从大到小的顺序为 .
【解析】由图可知,当α∈ 时,cos α1,
即||<||<1,| |>1,所以||>||>||,
故当α∈时,| |>| |>| |.
答案:| |>||>||
题33．在单位圆中，可以表示出x，sin x和tan x，当0【解析】如图所示圆为单位圆，设∠POA＝x，则PQ＝sin x，AT＝tan x，＝x，观察可得，当0题34．已知0≤x≤2π，且sin x【解析】画出单位圆以及0≤x≤2π，sin x＝MP，cos x＝OM，
因为0≤x≤2π，且sin x- 0 -