7.2.1任意角的三角函数（一）讲义（含解析）

编号：040 课题： §7.2.1.1 任意角的三角函数（一）
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解三角函数的定义（坐标法和单位圆法）；
2.掌握定义法求三角函数值；
3.掌握三角函数值符号的应用；
4.会综合应用三角函数的概念解决问题．
本节重点难点
重点：三角函数值符号的应用；
难点：三角函数概念的综合应用．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程赏析
基础知识积累
1.三角函数的定义(坐标法)
(1)在角的终边上异于原点,任取一点P(x,y),
它与原点的距离是r,则,根据三角函数定义
得出角的三角函数的正弦、余弦、正切.
.
(2)本质:用坐标法定义三角函数,是根据角终边上点的坐标,构造直角三角形,将陌生内容与学生已掌握的初中知识结合,简单易行,便于学生理解、掌握.
(3)应用:适用于求任意角的三角函数值,特别是弧度制条件下角的三角函数值.
【思考】
初中学习的锐角三角函数的定义是什么
2.三角函数的定义(单位圆法)
在平面直角坐标系中,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:.
【思考】
什么是单位圆
3.三角函数值的符号
(1)图形表示:
(2)记忆口诀一:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
记忆口诀二:正弦上正下负、余弦右正左负、正切奇正偶负.
【思考】
三角函数值在各象限的符号由什么决定
【课前基础演练】
题1．如果角θ的终边经过点(，则tan θ＝( )
A． B． C． D．
题2．已知点P 在第三象限，则角α在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题3．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C＜0，则△ABC的形状是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
题4．α是第二象限角，其终边上一点P ，且cos α＝，则sin α的值为
( )
A． B．
C． D．
题5．若角α的终边过点P(2cos 60°，sin 45°)，则sin α＝( )
A． B． C． D．
题6．已知角α的终边上有异于原点O的一点P，且|PO|＝r，则点P的坐标为( )
A．P(sin α，cos α) B．P(cos α，sin α)
C．P(r sin α，r cos α) D．P(r cos α，r sin α)
题7（多选题）．在直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(m，n)(m＞0，n＞0)，且sin α＝ ，则m，n的值可能为( )
A．m＝2，n＝1 B．m＝4，n＝2
C．m＝3，n＝6 D．m＝1，n＝2
题8（多选题）．若点P在角的终边所在的直线上，且|OP|＝2(点O为坐标原点)，则点P的坐标为( )
A．( ，－1) B．(，1)
C．(－，1) D．(－，－1)
题9．已知角α的终边上的点P(x，y)满足y＝ x，则sin α＋cos α的值为________．
题10．若角α的终边经过点P(－m，6)，且cos α＝，则tan α＝________．
题11．在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．
【课堂检测达标】
题12. 已知函数f(x)＝a2x－6＋3(a>0且a≠1)的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则 ( )
A． B．0 C．7 D．
题13．设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A．tan A与cos B B．cos B与sin C
C．sin C与tan A D．tan与sin C
题14．若α为第二象限角，则 ( )
A．0 B．－2 C．－2或2 D．2
题14（多选题）．角α的终边上一点P(a，2a)(a≠0)，则2sin α－cos α＝( )
A． B． C． D．
题15．如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在第________象限．
题16.已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，则cos α＝________．
题17．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且OP＝ ，则m－n＝________，sin α＝__________．
题18．已知，且lg (cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M ，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
【综合突破拔高】
题19．点A(sin 1 893°，cos 1 893°)在直角坐标平面上位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题20．已知角α的终边上一点P(1，m)，且sin α＝ ，则m＝( )
A．± B． C．－ D．
题21．若θ为第二象限角，则下列结论一定成立的是( )
A．sin >0 B．cos >0
C．tan >0 D．sin cos <0
题22．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在射线y＝－2x(x＞0)上，则sin α＝( )
A． B． C． D．
题23.圆周运动是一种常见的周期性变化现象，可表述为：质点在以某点为圆心，半径为r的圆周上的运动叫“圆周运动”．如图所示，圆O上的点以点A为起点沿逆时针方向运动到点P，若连接OA，OP，形成一个角α，当角α＝时，则cos α＝( )
A． B． C． D．1
题24（多选题）．已知角α的终边过点P(－3m，m)(m≠0)，则sin α的值可以是( )
A． B．
C． D．
题25．已知P 是角α的终边上一点，则cos α＝________，角α的最小正值是________．
题26．已知角α的终边与单位圆的交点为 (y<0)，则sin α·tan α＝____________．
题27．已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝ x，求sin θ，tan θ.
题28．确定下列式子的符号：
(1)tan 108°·cos 305°；(2)；(3)tan 120°·sin 269°.
编号：040 课题： §7.2.1.1 任意角的三角函数（一）
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解三角函数的定义（坐标法和单位圆法）；
2.掌握定义法求三角函数值；
3.掌握三角函数值符号的应用；
4.会综合应用三角函数的概念解决问题．
本节重点难点
重点：三角函数值符号的应用；
难点：三角函数概念的综合应用．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程赏析
基础知识积累
1.三角函数的定义(坐标法)
(1)在角的终边上异于原点,任取一点P(x,y),
它与原点的距离是r,则,根据三角函数定义
得出角的三角函数的正弦、余弦、正切.
.
(2)本质:用坐标法定义三角函数,是根据角终边上点的坐标,构造直角三角形,将陌生内容与学生已掌握的初中知识结合,简单易行,便于学生理解、掌握.
(3)应用:适用于求任意角的三角函数值,特别是弧度制条件下角的三角函数值.
【思考】
初中学习的锐角三角函数的定义是什么
提示:
如图,在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则:
2.三角函数的定义(单位圆法)
在平面直角坐标系中,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:.
【思考】
什么是单位圆
提示:单位圆是指圆心在原点,半径为单位长度的圆.
3.三角函数值的符号
(1)图形表示:
(2)记忆口诀一:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
记忆口诀二:正弦上正下负、余弦右正左负、正切奇正偶负.
【思考】
三角函数值在各象限的符号由什么决定
提示:三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的.从
原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值.因此,三角函数在各象限的符号
由角的终边所在象限决定.
【课前基础演练】
题1．如果角θ的终边经过点(，则tan θ＝( )
A． B． C． D．
【解析】选D.由三角函数的定义可得tan θ＝.
题2．已知点P 在第三象限，则角α在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】选D.因为点P在第三象限，所以，所以α在第四象限．
题3．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C＜0，则△ABC的形状是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
【解析】选A.因为A，B，C是△ABC的内角，
所以sin A＞0.因为sin A·cos B·tan C＜0，所以cos B·tan C＜0，
所以cos B和tan C中必有一个小于0，
即B，C中必有一个钝角，故△ABC是钝角三角形．
题4．α是第二象限角，其终边上一点P ，且cos α＝，则sin α的值为
( )
A． B．
C． D．
【解析】选A.由题意可知x<0，cos α，解得x＝－ ，因此sin α＝.
题5．若角α的终边过点P(2cos 60°，sin 45°)，则sin α＝( )
A． B． C． D．
【解析】选C.因为角α的终边过点P(2cos 60°，sin 45°)，可得P(1，1)，所以sin α＝.
题6．已知角α的终边上有异于原点O的一点P，且|PO|＝r，则点P的坐标为( )
A．P(sin α，cos α) B．P(cos α，sin α)
C．P(r sin α，r cos α) D．P(r cos α，r sin α)
【解析】选D.设P(x，y)，则sin α＝ ，所以y＝r sin α，
又cos α＝ ，所以x＝r cos α，所以P(r cos α，r sin α).
题7（多选题）．在直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(m，n)(m＞0，n＞0)，且sin α＝ ，则m，n的值可能为( )
A．m＝2，n＝1 B．m＝4，n＝2
C．m＝3，n＝6 D．m＝1，n＝2
【解析】选AB.根据任意角的三角函数定义，
得，化简得m2＝4n2，因为m＞0，n＞0，
所以m＝2n，A，B选项适合．
题8（多选题）．若点P在角的终边所在的直线上，且|OP|＝2(点O为坐标原点)，则点P的坐标为( )
A．( ，－1) B．(，1)
C．(－，1) D．(－，－1)
【解析】选AC.点P在角的终边所在的直线上，且|OP|＝2(点O为坐标原点)，设点P的坐标为(a，b)，则 a2＋b2＝4，且，
求得a＝ ，b＝－1，或 a＝－ ，b＝1，
故点P的坐标为( ，－1)或(－ ，1).
题9．已知角α的终边上的点P(x，y)满足y＝ x，则sin α＋cos α的值为________．
【解析】因为角α的终边上的点P(x，y)满足y＝ x，当角α在第一象限时，在终边上取点 ，
则sin α＝，cos α＝，
所以sin α＋cos α＝ ；
当角α在第三象限时，在终边上取点(－1，－ )，
则sin α＝，
cos α＝，
所以sin α＋cos α＝，
综上sin α＋cos α＝± .
答案：±
题10．若角α的终边经过点P(－m，6)，且cos α＝，则tan α＝________．
【解析】6＞0，角α的终边一定在第一象限，且cos α＝ ，所以sin α＝，tanα＝.
答案：
题11．在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．
【解析】当角α的终边在射线 x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，
所以点P到坐标原点的距离r＝OP＝5，
所以sin α＝，cos α＝，tan α＝.
所以sin α－3cos α＋tan α＝.
当角α的终边在射线 (x<0)上时，取终边上一点P′(－4，3)，
所以点P′到坐标原点的距离r＝OP′＝5，
所以sin α＝，cos α＝，tan α＝.
所以sin α－3cos α＋tan α＝.
【课堂检测达标】
题12. 已知函数f(x)＝a2x－6＋3(a>0且a≠1)的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则 ( )
A． B．0 C．7 D．
【解析】选D.令2x－6＝0得x＝3，故定点为A ，所以由三角函数定义得sin θ＝ ，cos θ＝ ，所以 .
题13．设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A．tan A与cos B B．cos B与sin C
C．sin C与tan A D．tan与sin C
【解析】选D.因为0＜A＜π，所以0＜＜，
所以tan＞0；又因为0＜C＜π，所以sin C＞0.
题14．若α为第二象限角，则 ( )
A．0 B．－2 C．－2或2 D．2
【解析】选D.由已知sin α>0，cos α<0，
所以.
题14（多选题）．角α的终边上一点P(a，2a)(a≠0)，则2sin α－cos α＝( )
A． B． C． D．
【解析】选CD.因为α的终边上一点P(a，2a)(a≠0)，
当a＞0时，cos α＝，sin α＝，2sin α－cos α＝ ；
当a＜0时，cos α＝，
sin α＝，2sin α－cos α＝ .
题15．如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在第________象限．
【解题指南】根据点P在第二象限，求出sin θ＋cos θ和sin θcos θ的符号，再根据三角函数符号规律求出θ所在的象限．
【解析】由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，
所以所以θ为第三象限角．
答案：三
题16.已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，则cos α＝________．
【解析】因为θ∈，所以cos θ＜0，
r＝，
所以cos α＝.
答案：5 (3)
题17．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且OP＝ ，则m－n＝________，sin α＝__________．
【解析】因为y＝3x且sin α<0，所以点P(m，n)位于直线y＝3x第三象限部分的图象上，
所以m<0，n<0，且n＝3m，所以r＝OP＝，所以m＝－1，n＝－3，所以m－n＝2，sin α＝.
答案：2
题18．已知，且lg (cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M ，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
【解析】(1)由，所以sin α<0，
由lg (cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角；
(2)因为|OM|＝1，所以，得m＝± .又α为第四象限角，故m<0，
从而m＝－ ，sin α＝.
【综合突破拔高】
题19．点A(sin 1 893°，cos 1 893°)在直角坐标平面上位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】选D.因为1 893°＝360°×5＋93°，93°是第二象限角，所以1 893°是第二象限角，则sin 1 893°>0，cos 1 893°<0，所以点A(sin 1 893°，cos 1 893°)在直角坐标平面上位于第四象限．
题20．已知角α的终边上一点P(1，m)，且sin α＝ ，则m＝( )
A．± B． C．－ D．
【解析】选B.角α的终边上一点P(1，m)，所以r＝OP＝ ，
所以sin α＝，所以m＞0，解得m＝ .
题21．若θ为第二象限角，则下列结论一定成立的是( )
A．sin >0 B．cos >0
C．tan >0 D．sin cos <0
【解析】选C.因为θ为第二象限角，所以＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，
则，所以θ为第一或第三象限角，所以tan >0一定成立．
题22．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在射线y＝－2x(x＞0)上，则sin α＝( )
A． B． C． D．
【解析】选D.角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在射线y＝－2x(x＞0)上，在α的终边上任意取一点(1，－2)，则sin α＝.
题23.圆周运动是一种常见的周期性变化现象，可表述为：质点在以某点为圆心，半径为r的圆周上的运动叫“圆周运动”．如图所示，圆O上的点以点A为起点沿逆时针方向运动到点P，若连接OA，OP，形成一个角α，当角α＝时，则cos α＝( )
A． B． C． D．1
【解析】选A.因为，所以与终边相同，三角函数值相等，
所以cos α＝cos ＝cos ＝ .
题24（多选题）．已知角α的终边过点P(－3m，m)(m≠0)，则sin α的值可以是( )
A． B．
C． D．
【解析】选AC.因为角α的终边过点P(－3m，m)(m≠0)，
所以r＝.
所以sin α＝.
当m＞0时，sin α＝；
当m＜0时，sin α＝.
题25．已知P 是角α的终边上一点，则cos α＝________，角α的最小正值是________．
【解析】点P在第四象限，即α是第四象限角，所以α＝2kπ－ ，由三角函数的定义易求得cos α＝ .当k＝1时，α取得最小正值为 .
答案：
题26．已知角α的终边与单位圆的交点为 (y<0)，则sin α·tan α＝____________．
【解析】因为α的终边与单位圆的交点为，
所以，即y2＝ .
又因为y<0，所以y＝.
所以sin α＝ ，cos α＝－ ，tan α＝ ，
sin α·tan α＝.
答案：
题27．已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝ x，求sin θ，tan θ.
【解析】由题意知r＝|OP|＝ ，由三角函数定义得cos θ＝ .
又因为cos θ＝ x，所以 .
因为x≠0，所以x＝±1.
当x＝1时，P(1，3)，此时sin θ＝，tan θ＝＝3.
当x＝－1时，P(－1，3)，此时sin θ＝，tan θ＝＝－3.
题28．确定下列式子的符号：
(1)tan 108°·cos 305°；(2)；(3)tan 120°·sin 269°.
【解析】(1)因为108°是第二象限角，所以tan 108°＜0.
因为305°是第四象限角，所以cos 305°＞0.从而tan 108°·cos 305°＜0.
(2)因为是第二象限角， 是第四象限角， 是第二象限角，
所以cos ＜0，tan ＜0，sin ＞0，从而 .
(3)因为120°是第二象限角，所以tan 120°＜0，因为269°是第三象限角，所以sin 269°＜0.
从而tan 120°·sin 269°＞0.