2022-2023学年广西南宁市高二（下）调研数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西南宁市高二（下）调研数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
2. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则( )
A. B.
C. D.
3. 已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则
A. B. C. D.
4. 已知在等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
5. 点到双曲线的一条渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
6. 已知平面向量，满足，，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
7. 如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第个正方形，依此方法一直继续下去则从正方形开始，连续个正方形的面积之和等于( )
A. B. C. D.
8. 已知圆：，过直线：在第一象限内一动点作圆的两条切线，切点分别是，，直线与两坐标轴分别交于，两点，则面积的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法错误的是( )
A. 直线必过定点
B. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
C. 经过点，倾斜角为的直线方程为
D. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为
10. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是．( )
A. B. 数列是公差为的等差数列
C. D. 数列是等比数列
11. 如图，在正方体中，为的中点，为的中点，下列判断正确的是( )
A. 平面
B. 平面平面
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 若，则
12. 一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”对于下列说法正确的是( )
A. 椭圆是黄金椭圆
B. 在中，，，且点在以，为焦点的黄金椭圆上，则的周长为
C. 过黄金椭圆的右焦点作垂直于长轴的垂线，交椭圆于，两点，则
D. 设，是黄金椭圆的两个焦点，则椭圆上满足的点不存在
三、填空题（本大题共5小题，共32.0分）
13. 空间中点关于轴的对称点，点，则，连线的长度为______．
14. 已知点是椭圆上轴右侧的一点，且以点及焦点，为顶点的三角形的面积等于，则点的坐标为______．
15. 圆与圆的公共弦的长为 ．
16. 我国的洛书中记载着世界上最古老的幻方：将，，，填入方格内，使三行、三列，两条对角线的三个数之和都等于，如图所示．
一般地，将连续的正整数，，，填入个方格中，使得每行，每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做阶幻方．记阶幻方的对角线上数的和为，例如，，那么______．
17. 已知数列的前项和为且，，数列满足，．
Ⅰ求和的通项公式；
Ⅱ求数列的前项和．
四、解答题（本大题共5小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
如图，已知的顶点为，，，求：
Ⅰ边所在直线的方程；
Ⅱ边上的高线所在直线的方程．
19. 本小题分
已知在平行六面体中，，，且．
求的长；
求向量与夹角的余弦值．
20. 本小题分
北京时间年月日时分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线后返回的轨迹是以轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分从点到点已知观测点的坐标，当航天器与点距离为时，指挥中心向航天器发出变轨指令．
求航天器变轨时点的坐标；
求航天器降落点与观测点之间的距离．
21. 本小题分
如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．
条件：；
条件：．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．
22. 本小题分
已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切．
求圆心的轨迹方程；
若过点且斜率的直线与交与、两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，因为，，
所以线的斜率为．
故选：．
根据题意，利用两点的斜率公式求解．
本题考查直线的斜率，注意直线的斜率计算公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考点是空间向量基本定理，考查了向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，属于基础题．
由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案．
【解答】
解：由题意
又，，
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线定义的应用，属于基础题．
直接利用抛物线的定义解题即可．
【解答】
解：为抛物线：上一点，
点到的焦点的距离为，到轴的距离为，
因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，
故有．
故选C．

4.【答案】
【解析】解：在等差数列中，，得，公差，
所以．
故选：．
根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，即可求解作答．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线的渐近线方程，点到直线距离公式等知识，属于基础题．
首先求得渐近线方程，然后利用点到直线距离公式，求得点到一条渐近线的距离即可．
【解答】
解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离，
则点到双曲线一条渐近线的距离．
故选：．

6.【答案】
【解析】解：，，且，
，
，
，
，
故选：．
利用向量的数量积公式，结合，，且，即可求得结论．
本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：依题意，将正方形面积按作法次序排成一列得数列，，
因为后一个正方形边长是相邻前一个正方形边长的，
因此，即数列是等比数列，公比，
所以前个正方形的面积之和．
故选：．
将正方形面积按作法次序排成一列得数列，再确定该数列为等比数列，借助等比数列前项和公式求解作答．
本题主要考查归纳推理，等比数列的前项和公式，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设，则，
设，，
显然，，所以，
所以切线方程为，两边同乘得，
即，而，代入得，显然当或时也适合，
所以切线方程为，同理：，
将的坐标代入上述直线方程，则有，
于是直线的方程为，
分别令，，易得，则，
所以的面积为，
当且仅当，即，时取等号，
所以面积的最小值为．
故选：．
设，利用圆切线的性质，得到切点弦所在直线方程，然后求，写出面积表达式，利用基本不等式得到其最小值．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，对于圆心在原点的圆上某点的切线方程结论为，过圆心在原点的圆的圆外一点作圆两条切线，其切点弦所在直线方程为，两者形式相同，但意义不同，最后得到直线方程，求出其面积表达式，利用基本不等式求出最值，如果能记住相关结论，对这道选择题来说将会大有裨益，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，直线方程变形为，
令，解得，，即原直线必过定点，故A正确；
对于，当直线过原点时，也满足在两坐标轴上的截距相等，此时直线的方程为，故B错误；
对于，当时，无意义，故C错误；
对于，直线经过定点，当直线经过时，斜率为，
当直线经过点时，斜率为，由于线段与轴相交，故实数的取值范围为或，故D错误．
故选：．
选项由含参直线方程过定点的求法计算即可；选项没有考虑直线过原点的情况，故错误；选项，由倾斜角与斜率的关系即可判断；选项计算出端点值后，由线段与轴相交判断斜率的范围应取端点值两侧，故错误．
本题主要考查直线恒过定点问题，直线的截距式方程，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查等比数列的定义及基本量的计算，属于基础题．
先由题设求得等比数列的首项与公比，再逐个选项判断其正误即可．
【解答】
解：由题设可得：，解得：或
为整数，，故选项A正确；，选项B错误；
又，选项C错误；，，
数列是公比为的等比数列，故选项D正确．
故选：．

11.【答案】
【解析】解：在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令正方体的棱长为，
则，，，，
，，，
对于，，
设是平面的法向量，
则，即，令，得，
因此，与不垂直，
所以与平面不平行，A错误；
对于，，
设是平面的法向量，
则，即，令，则，
又，，
设是平面的法向量，
则，即，令，得，
于是，即，
所以平面平面，B正确；
对于，，
则异面直线与所成角的余弦值为：
，C错误；
对于，，则有，D正确．
故选：．
根据给定条件，建立空间直角坐标系，设出正方体的棱长，利用坐标法计算判断；利用等体积法求出体积判断作答．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，椭圆的长半轴长，半焦距，
所以离心率，A错误；
对于，黄金椭圆半焦距，则长半轴长，
因此焦点的周长为，B正确；
对于，由得，
则，C正确；
对于，黄金椭圆焦距，，当且仅当时取等号，
则，
即不是直角，因此黄金椭圆上满足的点不存在，D正确．
故选：．
求出椭圆离心率判断；求出焦点的周长判断；借助方程组求出弦长判断；求出与的关系判断作答．
本题主要考查了椭圆的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：空间中点关于轴的对称点为，
又点，则
．
故答案为：．
写出点关于轴的对称点，利用两点间的距离公式计算即可．
本题考查了空间中的对称与两点间的距离计算问题，是基础题．
14.【答案】，．
【解析】解：、是椭圆的左、右焦点，，
则，，
设是椭圆上的一点，
由三角的面积公式可知：，即，
将代入椭圆方程得：，
解得：，点是椭圆上轴右侧的一点，所以
点的坐标为，．
故答案为：，．
由椭圆，，由三角的面积公式可知：，即，代入椭圆，即可求得，即可求得点的坐标．
本题考查椭圆的标准方程及性质，考查三角形的面积公式，考查求得椭圆上点坐标的方法，考查计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了圆与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键．
两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．
【解答】
解：圆与圆的方程相减得：，
由圆的圆心，半径为，
且圆心到直线的距离，
则公共弦长为．
故答案为：．

16.【答案】
【解析】解：根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，
，
，
，
．
故答案为：．
推导出，由此利用等差数列求和公式能求出结果．
本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的前项和公式，本题解题的关键是应用等差数列的性质来解题．
17.【答案】解：Ⅰ数列的前项和为且，，
则：，
，
当时，符合通项公式，
所以：．
由于：数列满足，．
则：，
所以：，
Ⅱ由Ⅰ得：设，
则：
得：，
整理得：．
【解析】Ⅰ首先根据递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用的通项公式求出数列的通项公式．
Ⅱ根据Ⅰ的结论，求出新数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的前项和．
本题考查的知识要点：等差与等比数列通项公式的求法，乘公比错位相减法的应用．属于基础题型．
18.【答案】解：，，
，
由点斜式方程可得，
化为一般式可得
由可知，
故AB边上的高线所在直线的斜率为，
又边上的高线所在直线的过点，
所以方程为，
化为一般式可得
【解析】由的坐标可得斜率，由点斜式方程可写出方程，化为一般式即可；
由垂直故选可得高线的斜率，由高线过点，同可得．
本题考查直线一般式方程的求解，从点斜式出发是解决问题的关键，属基础题．
19.【答案】解：在平行六面体中，为空间的一个基底，
，，且，
则，
又，
；
由得，则，
又，
则向量与夹角的余弦值，．
【解析】用空间的一个基底表示向量，再利用空间向量数量积的运算律求解，即可得出答案；
由得，结合空间向量的夹角公式计算，即可得出答案．
本题考查空间向量的应用，考查转化思想，考查运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：设，由题意，，即，
又，联立解得或舍，当时，，
故C的坐标为．
由题意设抛物线的方程为，
因为抛物线经过点，，
所以，，解得，即；
令可得或舍，即；
所以，
所以航天器降落点与观测点之间的距离为．
【解析】设出点，利用，的距离和椭圆方程可求出点的坐标；
根据抛物线经过的点求出方程，解出降落点的坐标，可得答案．
本题考查椭圆与抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
21.【答案】解：证明：取中点，连接，，
，为的中点．，且，
四边形是平行四边形，故，
平面；平面，
平面，
是中点，是的点，
，平面；平面，
平面，又，
平面平面，
又平面，平面；
侧面为正方形，平面平面，平面平面，
平面，，又，，
若选：；又，平面，
又平面，，又，
，，，两两垂直，
若选：平面，，平面，平面，
，又，，，
≌，，
，又，，
，，两两垂直，
以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角为，
，．
直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】通过证面面平证线面平行；
通过证明，，两两垂直，从而建立以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值．
本题考查线面平行的证明，线面角的求法，属中档题．
22.【答案】解：圆与圆、圆外切，设点坐标，圆半径为所以．
符合双曲线定义，所以圆心的轨迹为双曲线的一支，，则，
所以．
过点且斜率的直线与交与、两点，
设直线为，，，
联立，所以，
所以，
设中点坐标为
则，
所以
，
线段的垂直平分线交轴与点，
线为：，
，所以，
所以．
【解析】判断圆心的轨迹为双曲线的一支，求解，，即可得到轨迹方程．
设直线为，，，联立，利用韦达定理，设中点坐标为，利用弦长公式求解，然后求解，推出比值即可．
本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，轨迹方程的求法，是中档题．
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