2022-2023学年重庆市三峡名校联盟高二（下）联考数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市三峡名校联盟高二（下）联考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列导数运算正确的是( )
A. B.
C. D.
2. 某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量颗之间的关系，采集组数据，作如图所示的散点图若去掉后，下列说法正确的是( )
A. 相关系数变小 B. 决定系数变小
C. 残差平方和变大 D. 解释变量与预报变量的相关性变强
3. 在一组样本数据中，，，，出现的频率分别为，，，，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5. 某次考试共有道单选题，某学生对其中道题有思路，道题完全没有思路有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为若从这道题中任选道，则这个学生道题全做对的概率为( )
A. B. C. D.
6. 将甲、乙、丙、丁名医生随机派往，，三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派名医生，表示事件“医生甲派往村庄”；表示事件“医生乙派往村庄”；表示事件“医生乙派往村庄”，则( )
A. 事件与相互独立 B. 事件与相互独立
C. D.
7. 如图，个圆相交共有个交点，用种不同的颜色给个交点染色种颜色都用，要求在同一圆上的个交点的颜色互不相同，则不同的染色方案共有种．( )
A. B. C. D.
8. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为，，，，，，用表示小球落入格子的号码，则( )
A. B.
C. D.
10. 现将把椅子排成一排，位同学随机就座，则下列说法中正确的是( )
A. 个空位全都相邻的坐法有种
B. 个空位中只有个相邻的坐法有种
C. 个空位均不相邻的坐法有种
D. 个空位中至多有个相邻的坐法有种
11. 有台车床加工同一型号的零件第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床的零件数分别占总数的，，，则下列选项正确的有( )
A. 任取一个零件是第台生产出来的次品概率为
B. 任取一个零件是次品的概率为
C. 如果取到的零件是次品，则是第台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，则是第台车床加工的概率为
12. 已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断一定不正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某单位为了了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得回归直线方程中，预测当气温为时，用电量约为______ 度
气温
用电量度
14. 已知，则 ______ 用数字作答
15. 若随机变量，且，则 ______ ．
16. 记设函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
若，．
求的大小用指数式表示；
求除以所得的余数．
18. 本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求的单调区间和极值．
19. 本小题分
年来，某地区第年的第三产业生产总值单位：百万元统计图如图所示根据该图提供的信息解决下列问题．
在所统计的个生产总值中任选个，求至少有一个不低于平均值的概率．
由统计图可看出，从第年开始，该地区第三产业生产总值呈直线上升趋势，试从第年开始用线性回归模型预测该地区第年的第三产业生产总值．
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，．
20. 本小题分
为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了所学校进行研究，得到如图数据．
“自由式滑雪”参与人数超过人的学校可以作为“基地学校”，现在从这所学校中随机选出所，记为可作为“基地学校”的学校个数，求的分布列和数学期望；
现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试规定：在一轮测试中，这个动作中至少有个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”在集训测试中，小明同学个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
21. 本小题分
设函数，．
若函数存在两个极值点，求实数的取值范围；
若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
22. 本小题分
已知有两个极值点，，且．
若的极大值大于，求的范围；
若，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解： ，故错误；
B. ，故错误；
C. ，故错误；
D. ，故正确．
故选：．
利用基本函数和复合函数的求导法则求解．
本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由散点图知，去掉点后，与的线性相关性加强，
则相关系数变大，A错误，
相关指数变大，B错误，
残差平方和变小，C错误，
解释变量与预报变量的相关性变强，D正确．
故选：．
由散点图知，去掉离群点后，与的线性相关加强，由相关系数，相关指数及残差平方和与相关性的关系求解即可．
本题考查两个变量相关性强弱的判断：涉及相关系数，相关指数及残差平方和，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：选项A：，所以；
同理选项B：，；
选项C：，；
选项D：，；
故选：．
根据题意，求出各组数据的方差，方差大的对应的标准差也大．
本题考查了方差和标准差的问题，记住方差、标准差的公式是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：因为的通项公式为，
所以的展开式中的项为：
，
故所求系数为．
故选：．
先利用二项式定理求得的通项公式，再将式子化为，从而得解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设事件表示“两道题全做对”，
若两个题目都有思路，则，
若两个题目中一个有思路一个没有思路，则，
故．
故选：．
根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：将甲、乙、丙、丁名医生派往三个村庄义诊的试验有个基本事件，它们等可能，
事件含有的基本事件数为，则，
同理，
事件含有的基本事件个数为，则，
事件含有的基本事件数为，则，
对于，，即事件与相互不独立，故A不正确；
对于，，即事件与相互不独立，故B不正确；
对于，，故C不正确；
对于，，故D正确．
故选：．
由古典概型概率计算公式求出，，，，，再利用相互独立事件的定义能判断；利用条件概率公式计算能判断．
本题考查命题真假的判断，考查相互独立事件的定义、条件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：如图，将个交点编号，先考虑，，，，共有种选择，
再考虑，，，，若，，，所用颜色与，，，的种颜色相同，
则，有种选择，且，必然有一处使用第种颜色，
不妨设点使用第种颜色，则处有种选择，此时共有种选择，
若，，，所用颜色与，，，的种颜色不同，因为一共有种颜色，
则，有一处与，所使用的颜色相同，另一处使用第种颜色，则有种选择，
此时，不能使用与，，，相同的颜色，故有种颜色可供选择，
此时共有种选择，
综上：不同的染色方案共有种．
故选：．
对个交点编号，考虑两种情况，利用排列知识及两种计数原理进行求解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：令，，则，
由得，即函数在区间上单调递减，
由得，即函数在区间上单调递增，
令，则在区间上恒成立，
，
故当时，恒成立，
，又，
，即，
又，
由得，
则，
又，
，即，故，
，
综上所述，．
故选：．
由题意变形得，，构造函数，利用其单调性即可得出，的大小关系，再通过作差比较即可得出，的大小关系，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：设“向右下落”，则“向左下落”，且，
因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉次，
所以，于是，的发布列为，，，，，，
所以，故A正确，B错误，
，故C错误，D正确，
故选：．
设“向右下落”，则“向左下落”，且，然后由已知可得，于是，的发布列为，，，，，，再对各个选项逐个判断即可求解．
本题考查了二项分布，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，将四个空位当成一个整体，全部的坐法：种，故A对；
对于，先排个学生，然后将三个相邻的空位当成一个整体，
和另一个空位插入个学生中有种方法，
所以一共有种，故B错；
对于，先排个学生，个空位是一样的，
然后将个空位插入个学生形成的个空位中有种，
所以一共，故C对；
对于，至多有个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由可知都不相邻的有种，
空位两个两个相邻的有：，
空位只有两个相邻的有，
所以一共有种，故D错；
故选：．
对于，用捆绑法即可；对于，先用捆绑法再用插空法即可；对于，用插空法即可；对于，用插空法的同时注意分类即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：选项，任取一个零件是第台生产出来的次品概率为，A正确；
选项，任取一个零件是次品的概率为，B正确；
选项，如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为，C错误；
选项，如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为，D正确．
故选：．
根据相互独立事件的乘法公式可计算，；根据条件概率公式可计算，．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：构造函数，则．
因为满足，
所以当时，，所以，此时函数单调递减；
当时，，所以此时函数单调递增；
由已知，变形得，即，所以关于对称，
所以，即，所以，故A不一定错误；
由，即，即，故B错误；
所以，即，所以，故C正确；
由，即，所以，故D错误；
故选：．
构造函数，根据题意，求得的单调性，利用函数的对称性，即可求得答案．
本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性，恰当构造函数是解题的关键，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，，
样本点的中心的坐标为，代入，
可得．
线性回归方程为．
取，可得．
预测当气温为时，用电量约为度．
故答案为：．
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程，求得，再取得答案．
本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：依题意，，
则展开式中项为，
所以．
故答案为：．
根据给定条件，由结合二项式定理求解作答作答．
本题考查二项式定理，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：若随机变量，且，则．
故答案为：．
根据正态分布的对称性，求解即可．
本题考查正态分布的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：令，解得，
而且函数单调递增，最多一个零点，
二次函数最多两个零点，
函数恰有三个零点，
所以需
解得或，
故实数的取值范围是．
故答案为：．
根据分段函数特点和指数型函数增减性以及函数值，分析二次函数参数即可求解．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：，
令，可得，
再令，可得，
用，并除以，
可得．
，
除以所得的余数，即除以的余数．
由于除了最后一项外，其余各项都能被整除，故除以所得的余数为，
故除以所得的余数为．
【解析】由题意，分别令、，可得要求式子的值．
把式子变形，再利用通项公式，分析可得结论．
本题主要考查利用二项式定理证明整除性，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．
18.【答案】解：，
，
，而，
，
曲线在点处的切线方程为
由知
易得时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
函数在处取得极大值，没有极小值．
【解析】利用导数的几何意义求解即可；
对函数求导，由导数的正负来判断函数的单调区间，从而可求出函数的极值．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的极值与单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：根据统计图提供的信息，个生产总值的平均数为：
百万元，
所以第三产业生产总值不低于百万元的有第，，年，共个，
设不低于平均值的个数为，
则，，
所以；
从第年开始，根据第年的第三产业生产总值为单位：百万元及统计图，得：
所以，，，
，
所以，
故，
所以从第年开始，产值关于年数的线性回归方程为，
当时，，
所以第年的第三产业生产总值约为百万元．
【解析】计算年的生产总值的平均值，根据古典概型的概率公式即可求得答案；
利用最小二乘法求得回归直线的方程，将代入，即可求得答案．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了线性回归方程的求解，属于中档题．
20.【答案】解：“自由式滑雪”参与人数超过人的学校有所，
则的可能取值为，，，．
，
，．
所以的分布列为：
所以．
由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为：．
所以小明在轮测试中获得“优秀”的次数满足，由，得．
所以理论上至少要进行轮测试．
【解析】由条件确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望；
先求在一轮测试中获得优秀的概率，再结合二项分布期望公式求解．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和方差，属于中档题．
21.【答案】解：已知，，函数定义域为，
可得，
因为存在两个极值点，
所以在有两个不等实根，
所以且，
解得且，
则实数的取值范围为；
当时，，符合题意；
当时，，
若，对恒成立，在单调递增，
所以，符合题意；
若，
当，时，烦成立，在单调递减，
需满足，
解得，
所以，
当，时，恒成立，在单调递增，
需满足，
所以符合题意；
当，时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
此时，
因为当时，，均成立，
所以符合题意，
综上所述，实数的取值范围为．
【解析】由题意，将存在两个极值点，转化成在有两个不等实根，列出等式即可求出的取值范围；
对，，和这四种情况进行讨论，结合导数的几何意义得到的单调性和最值，进而可得的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
22.【答案】解：，
，是的两根，
即，
设，
，
时，，单调递增；时，，单调递减，
又，，时，；时，，
，．
，
为的极大值点，
，
令，
，
在上单调递增，
又，
，
又在单调递减，
，
，即的范围为；
证明：由可知，
，
要证，
，即要证，
，
设，
即要证，
构造，
则，
设，
的对称轴为，
在单调递增，
，
，
单调递增．
，得证．
【解析】求导，从而可得，设，求导判断单调性结合图象可得，，从而为的极大值点，进而可得，令，求导判断单调性得，从而借助在单调递减可得答案；
由题意可得，只需，即，设，构造，求导判断其单调性，从而问题可证．
本题考查导数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
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