2022-2023学年湖南省邵阳市新邵县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省邵阳市新邵县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一个直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边长为( )
A. B. C. D.
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列说法正确的有( )
对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；
一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形；
有一个角是直角的四边形是矩形；
对角线相等且垂直的四边形是正方形
A. B. C. D.
4. 若某多边形的内角和等于外角和的倍，则这个多边形的边数是( )
A. B. C. D.
5. 如图，在 中，，的平分线交于点，且点恰好是的中点，过点作，垂足为若，则的长为( )
A. B. C. D.
6. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A. 对角相等 B. 四条边都相等 C. 邻角互补 D. 对角线互相平分
7. 如图，在中，，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则：的值为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
8. 如图，在中，，垂直平分，分别交、于点、，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
9. 如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动，其行走路线如图所示，第次移动到点，第次移动到点第次移动到点，则的面积是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 点关于轴的对称点的坐标是______．
12. 在中，是斜边上的中线，若，则 ______ ．
13. 已知一个菱形的边长为，较长的对角线长为，则这个菱形的面积是______ ．
14. 已知：、、是的三边长，且满足，则的形状为______ ．
15. 如图，在中，是上一点，，，垂足为，是的中点，，则的长为______．
16. 如图，中，，，平分交于点，若，则的长度是______ ．
17. 四边形具有不稳定性如图，平行四边形按箭头方向变形成矩形，若变形后图形面积是原图形面积的倍，则 ______ ．
18. 如图，正方形的边长为，点在边上，且，若点在对角线上移动，则的最小值是______．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
如图，已知：，，求证：．
20. 本小题分
如图所示，直角坐标系内，，，．
请在图中画出关于原点的对称图形；
写出、、的坐标；
求出的面积．
21. 本小题分
如图，在五边形中，，，，平分，平分，求的度数．
22. 本小题分
如图，在 中，连接，是延长线上的点，是延长线上的点，且，连接交于点求证：．
23. 本小题分
如图，在四边形中，，．
求证：平分；
若，求证：四边形是菱形．
24. 本小题分
已知：如图，在四边形中，，为对角线的中点，为的中点，为的中点．求证：．
25. 本小题分
为了积极宣传防疫知识，某地政府采用了移动车进行广播．如图，小明家在一条笔直的公路的一侧点处，且到公路的距离为若广播车周围以内都能听到广播宣传，则当广播车以的速度在公路上沿方向行驶时，在小明家是否能听到广播宣传？若能，请求出在小明家共能听到多长时间的广播宣传．
26. 本小题分
如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是每秒个单位，连接、、设点、运动的时间为秒
当为何值时，四边形是矩形；
当时，判断四边形的形状，并说明理由；
直接写出以为对角线的正方形面积为时的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由勾股定理得，斜边长，
故选：．
直接根据勾股定理解答即可．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
3.【答案】
【解析】解：对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故符合题意；
一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故不符合题意；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，故不符合题意；
对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故不符合题意；
故选：．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；先判定四边形是菱形，再判定是矩形就是正方形分别进行分析即可．
本题考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：设多边形的边数为，则内角和为，由题意知，
，
解得，，
故选：．
设多边形的边数为，用表示出内角和，从而由已知条件列出关于的方程，即可求出边数．
本题主要考查了多边形的内角和和外角和．解题关键是用边数表示出内角和，结合已知条件列出方程进行求解．
5.【答案】
【解析】解：，点是的中点，
，
为的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由等腰三角形的性质可求，由勾股定理可求解．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：菱形的性质有：四条边都相等，对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相垂直平分；
矩形的性质有：对边平行且相等；四个角都是直角；对角线互相平分；
根据菱形和矩形的性质得出：菱形具有而矩形不一定具有的性质是四条边都相等；
故选：．
根据菱形和矩形的性质，容易得出结论．
本题考查了菱形和矩形的性质；熟练掌握菱形和矩形的性质是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】解：过点作于，如图，
是的平分线，，，
，
．
故选：．
过点作于，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形的面积公式求：的值．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
8.【答案】
【解析】解：垂直平分，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
故选：．
根据垂直平分线的性质，得到，进而得到，利用等腰三角形的性质和垂直平分线的性质解答．
本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
9.【答案】
【解析】解：在矩形中，，，
，
，
根据折叠可得：，，
设，则，，，
在中：，
，
解得：，
故选：．
首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，，设，则，，，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可．
此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
10.【答案】
【解析】解：根据题意有，，依此类推，
则有，
，
，
，
故的面积为
故选：．
由题意可得规律，从而可得，进而，最后的面积根据可得答案．
本题考查了三角形的面积，规律型点的坐标，根据题意找出这个规律是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：关于轴的对称点的坐标是，
故答案为：．
根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12.【答案】
【解析】解：在中，是斜边上的中线，，
，
故答案为：．
利用直角三角形斜边上的中线性质，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：依照题意画出图形，如图所示．
在中，，，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质结合勾股定理可求出较短的对角线的长，再根据菱形的面积公式即可求出该菱形的面积．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出较短的对角线的长是解题的关键．
14.【答案】直角三角形
【解析】解：由题意得，，，，
，，，
，
是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
先根据非负数的性质求出、、的值，再由勾股定理的逆定理进行判断即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理及非负数的性质，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，，
，
，
是的中位线，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的三线合一得到，再根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：过点作于，如图，
平分，，，
，
在中，，
，
，
，
，
解得．
故答案为：．
过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，再利用含度的直角三角形三边的关系得到，则，然后利用可求出的长．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含度的直角三角形三边的关系．
17.【答案】
【解析】解：矩形的面积平行四边形的面积，
平行四边形的底边边上的高等于的一半，
．
故答案为：．
根据矩形和平行四边形的面积公式可知，平行四边形的底边边上的高等于的一半，据此可得为．
本题主要考查了四边形的不稳定性、矩形与平行四边形的面积公式、角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
18.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了轴对称最短线路问题，以及正方形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
作出点关于的对称点交于，连接与交于点，此时最小，求出的长即为最小值．
【解答】
解：作出点关于的对称点交于，连接与交于点，此时最小，
，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
则的最小值为．
故答案为：．
19.【答案】证明：，
，
即，
在和中
，
≌．
，
．
【解析】根据全等三角形的判定定理即可得到≌，再根据平行线的判定可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握确定三角形的判定定理是解题的关键．
20.【答案】解：如图，即为所求；
、、；
的面积．

【解析】利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
根据点的位置写出坐标；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
21.【答案】解：，，，
，
平分，
，
同理可得，，
，
．

【解析】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．
根据五边形的内角和等于，由，可求的度数，再根据角平分线的定义可得与的角度和，进一步求得的度数．
22.【答案】证明： 中，
，．
．
又，
．
．
在和中，
≌
．
【解析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
根据欲证明，只要证明≌即可解答．
23.【答案】证明：在与中，
，
≌，
，
平分；
，
，
，
，
，
，，
，
四边形是菱形．
【解析】根据证明≌即可得证；
根据平行线的性质可得，由可得，等量代换可得，根据等角对等边可得，根据四边相等的四边形是菱形即可得证．
本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，等角对等边，菱形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
24.【答案】解：在四边形中，是对角线的中点，，分别是，的中点，
，分别是与的中位线，
，，，，
，，
，
，
故是等腰三角形．
．
【解析】根据中位线定理和已知，易证明是等腰三角形和，，进而得到，，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
此题主要考查了三角形中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
25.【答案】解：小明能听到宣传，
理由：村庄到公路的距离为米米，
小明能听到宣传；
如图：假设当宣讲车行驶到点开始小明听到广播，行驶到点小明听不到广播，
则米，米，
米，
米，
小明听到广播的时间为：分钟，
他总共能听到分钟的广播．
【解析】根据小明到公路的距离为米米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到米，求得米，于是得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．
26.【答案】解：在矩形中，，，
，，
由已知可得，，，
在矩形中，，，
当时，四边形为矩形，
，
解得：，
当时，四边形为矩形；
故答案为：
结论：四边形为菱形；理由如下：
，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
在中，，
，
平行四边形为菱形，
当时，四边形为菱形；
正方形面积为，
正方形的边长为：，
；
分两种情况：
如图所示：作于，
则，，，
由勾股定理得：，
，
，
解得：；
如图所示：，，
，
，
解得：；
综上所述，以为对角线的正方形面积为时的值为：或；

【解析】由矩形性质得出，，由已知可得，，，当时，四边形为矩形，得出方程，解方程即可；
时，，，得出，，，，四边形为平行四边形，在中，由勾股定理求出，得出，即可得出结论；
分两种情况：求出正方形的边长为，则对角线为，由勾股定理求出的长，由题意得出方程，解方程即可；
本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理、平行四边形的判定、三角形面积公式以及分类讨论等知识；熟练掌握正方形的判定与性质和勾股定理是解题关键．
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