课件19张PPT。选修1-2
第二章《推理与证明》探索
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猜想——验证猜想—
—再提出猜想——再验证猜想……
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推理（结论）——证明（结论）
再推理（结论）——再证明（结论）…2.1 合情推理与演绎推理 推理：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程。推理前提结论－－推理所依据的命题－－根据前提所得到的命题推理案例1：前提：当n=0时，n2-n+11=11;
当n=1时，n2-n+11=11;
当n=2时，n2-n+11=13;
当n=3时，n2-n+11=17;
当n=4时，n2-n+11=23;
当n=5时，n2-n+11=31;
11,11,13,17,23,31都是质数.结论：对于所有的自然数n，n2-n+11的值都是质数.推理案例2：前提：结论：矩形的对角线的平方等于长与宽的平方和.长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和.归纳推理推理案例3：前提：结论：所有的树都是植物。
梧桐是树。梧桐是植物。2.1.1 合情推理类比推理归纳推理推理案例1：前提：当n=0时，n2-n+11=11;
当n=1时，n2-n+11=11;
当n=2时，n2-n+11=13;
当n=3时，n2-n+11=17;
当n=4时，n2-n+11=23;
当n=5时，n2-n+11=31;
11,11,13,17,23,31都是质数.结论：对于所有的自然数n，n2-n+11的值都是质数.例1：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物。由此猜想：例2：三角形的内角和是180度，凸四边形的内角和是360度，凸五边形的内角和是540度，……由此猜想：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。凸n边形的内角和是(n-2)×1800例3：由此猜想：归纳推理：从个别事实中推演出一般性的结论.实验、观察概括、推广猜测一般性结论1. 观察下列等式，并从中归纳出一般的结论：活学活用：2. 用归纳法写出下列数列的一个通项公式：类比推理： 在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处.例1：试根据等式的性质猜想不等式的性质.等 式不等式例2：试将平面上的圆与空间中的球进行类比.圆的性质：圆的所有弦中，经过圆心的弦最长
球的性质：球的所有截面中，经过球心的圆面积最大圆的性质：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
球的性质：经过切点且垂直于切面的直线必经过球心活学活用：在平面上：到定直线的距离等于定长的点的轨迹是
两条平行直线；
类比在空间中：
（1）到定直线的距离等于定长的点的轨迹是什么？
（2）到已知平面距离相等的点的轨迹是什么？在平面上：到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。
类比在空间中：到定点的距离等于定直线的点的轨迹是什么？“类比推理”举例归纳推理：归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围，是从特殊到一般得命题的猜测，是否正确是需要证明的。类比推理：类比就是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式，类比推理是否正确是需要证明的。实验、观察概括、推广猜测一般性结论观察、比较联想、类推猜测新的结论课件5张PPT。课前练习１．已知数列1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6, …则数列的第k项是_____________2.下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适（ ） A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形3.对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”，推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和______”( ) A.为定值 B.为变数 C.有时为定值，有时为变数 D.为与正四面体无关的常数 4.指出下面三段论的大前提，小前提和结论. ①凡同边数的正多边形都是相似的 ②两个正多边形的边数相同 ③所以这两个正多边形是相似的．5.“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”补充以上推理的大前提是….（ ）A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形课前练习6.推理“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是（ ) A. ① B. ② C. ③ D. ① ②7.“因对数函数y=logax是增函数（大前提），而y=log0.5x是对数函数（小前提），所以y=log0.5x是增函数（结论）”上面推理的错误是（ ） A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错课前练习例:证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数.满足对于任意x1,x2∈D,若x1f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(x22+2x2)
=(x2-x1)(x1+x2-2) 因为x10
因为x1,x2≤1所以x1+x2-2<0
因此f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) 直接证明与间接证明演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.复习
引例:已知:四边形是ABCD平行四边形.
求证:AB=CD,BC=DA2134证明:连结AC, ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD,BC∥CA故∠ 1=∠ 2,∠3= ∠4又∵AC=CA ∴⊿ABC≌⊿CDA∴AB=CD,BC=DAABCD直接从原命题的条件逐步推得命题成立,这种证法通常称为直接证明.直接证明的一般形式:ABC…本题结论已知定义本题条件已知公理已知定理利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:…综合法推证过程:……由因导果 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法． 特点：由果索因.……分析法推证过程:用框图表示分析法的思考过程、特点.引例：
将9个球分别染成红色或白色。那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。你能证明这个结论吗？ 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）——非正即反思想其过程包括：
反设——归谬——存真例1:已知a>0,b>0,
求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2 ≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2 ≥2bc,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:证明：要证明：
只要证：
只要证：
只要证：
只要证：
∵最后一个不等式成立，∴原式获证例3、已知a2能被2整除，且a是整数，
求证：a是偶数。证明：假设a不是偶数；
则a是奇数，不妨设a=2m+1(m是整数)
∴a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1
∴a2是奇数，与已知矛盾。
∴假设不成立，所以a是偶数。推理 合情推理 演绎推理
（归纳、类比） （三段论）证明 直接证明 间接证明
（分析法、综合法） （反证法）数学—公理化思想
