【名师解析】湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）数学（文）试题

【名师解析】湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）数学（文）试题
【试卷综述】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察。突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。注重双基和数学思想数学方法的复习，注重运算能力思维能力的培养。较多试题是以综合题的形式出现，在考查学生基础知识的同时，能考查学生的能力。
【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【题文】1．设集合,则
A． B． C. D．
【知识点】 指数、对数不等式的解法；集合运算. E1 A1
【答案】【解析】B解析：，所以，
故选B.
【思路点拨】先化简集合A、B，再利用补集、交集的意义求结论.
【题文】2．复数（i是虚数单位）的虚部是
A． B． C. D.
【知识点】复数运算. L4
【答案】【解析】D解析：因为=，所以其虚部是，
故选D.
【思路点拨】利用复数运算,把已知复数化为a+bi，形式即可.
【题文】3．下列命题错误的是
A.命题“若则”的逆否命题为“若则”
B.若为假命题，则均为假命题
C.命题存在使得，则任意都有
D.“x>2”是“”的充分不必要条件
【知识点】 命题及其关系；基本逻辑联结词及量词. A2 A3
【答案】【解析】B解析：显然命题A正确；对于命题B：若为假命题，则中至少有一个为假命题 .所以命题B是错误的，故选B.
【思路点拨】逐个分析每个命题的正误即得结论.
【题文】4．如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是
A． B．
C． D．
【知识点】 算法与程序框图. L1
【答案】【解析】B解析：根据所求式子的分母1,、3、5、7 29，得①处应填n=n+2，而此式是15个数的和，所以②处应填i>15,故选B.
【思路点拨】根据算式的分母规律得①处应填的语句，根据此算式得项数确定②处应填的语句.
【题文】5.两个相关变量满足下表：
x
10
15
20
25
30
y
1003
1005
1010
1011
1014
则两变量的回归直线方程为
A. B. C. D.
【知识点】 变量的线性相关性. I4
【答案】【解析】A解析：，，
，故选A.
【思路点拨】先求出样本中心点，再用最小二乘法求得即可.
【题文】6.已知函数把方程的根按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的前n项和为
A. B.
C. D.
【知识点】 函数与方程. B9
【答案】【解析】B解析：，所以 方程的根按从小到大的顺序排成一个数列为：0、1、2、3、4、，所以该数列的前n项和为
，故选B.
【思路点拨】根据已知条件写出函数f(x)表达式的规律，其与y=x交点横坐标依次为0、1、2、3、4，所以所求为.
【题文】7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于
A.12 B.4 C. D.
【知识点】几何体的三视图. G2
【答案】【解析】B解析：由三视图可知此几何体是底面为直角梯形（其上底长2，下底长4，高2），高为2的四棱锥，所以其体积为，故选B.
【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的结构，从而求得该几何体的体积.
【题文】8．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e是
A. B. C. D．
【知识点】 椭圆的几何性质. H5
【答案】【解析】D解析：设A在第二象限，则A的纵坐标是，因为中，
，，所以，与
联立得离心率.故选D.
【思路点拨】由已知得是，的
直角三角形，由此得关于a,b,c的等量关系，再与联立得离心率.
【题文】9．已知函数，若恒成立，则ab的最大值为
A. B. C. D.
【知识点】 导数法确定不等式恒成立的条件；B12 E8
【答案】【解析】D解析：因为，所以时 f(x)是增函数，不恒成立，当a>0时，=0得x=lna，易得f(x)在x=lna处有最小值，要使恒成立，需使，即，
所以，
设，易得函数在
处有最大值，所以ab的最大值为，故选D.
【思路点拨】利用导数确定函数恒成立的条件为(a>0),从而得：
，然后再用导数求的最大值即可.
【题文】10.A，B，C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有,现将一粒芝麻随机撒在△ABC内，则这粒芝麻落在△PBC内的概率为
A. B. C. D.
【知识点】几何概型. K3
【答案】【解析】D解析：由
,
得,设C到AB距离d,如图，则：，
，所以
,所以所求概率为 .故选D.
【思路点拨】根据已知确定点P位置，结合图形求与面积等量关系.
【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
【题文】11．已知x，y满足约束条件，且的最小值为-6，则常数k=______.
【知识点】 简单的线性规划问题. E5
【答案】【解析】0解析：画出可行域如图，平移目标函数得点B(3，-3-k)为最优解，所以.
【思路点拨】画出可行域，平移目标函数，确定最优解，代入目标函数求得k值.
【题文】12.在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为______.
【知识点】 极坐标的意义. N3
【答案】【解析】解析：直线的直角坐标方程为，
圆的 直角坐标方程为，因为圆心（0,0）到直线的距离d=2,半径r=4,
所以截得的弦长为.
【思路点拨】先把直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用直角坐标方程求弦长.
【题文】13.过原点作曲线的切线，则切线方程为________________.
【知识点】导数的几何意义. B11
【答案】【解析】解析：设的、切点（a,lna）,由，所以切线方程为，此直线过原点，得a=e，所以所求切线方程为.
【思路点拨】设出切点坐标，由导数求得斜率关于切点横坐标的表达式，从而得切线方程，再由切线过原点得，切点横坐标，进一步得结论.
【题文】14.已知不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是______.
【知识点】指数不等式解法；不等式恒成立的条件. E1 E8
【答案】【解析】-3【思路点拨】利用指数函数单调性，将已知转化为一元二次不等式恒成立问题即可.
【题文】15. 设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，n=1,2,3…，若
，则的最大值是________________.
【知识点】 数列；函数最值. D1 B3
【答案】【解析】解析：由得
，又，所以
，而，所以，所以
，所以的最大值是
【思路点拨】由已知得数列{}是常数列，代入余弦定理，再由基本不等式求得的最小值，从而得的最大值.
【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【题文】16.（本小题满分12分）
某城市要建成宜商、宜居的国际化新城，该城市的东城区、西城区分别引进8个厂家，现对两个区域的16个厂家进行评估，综合得分情况如茎叶图所示.
（1）根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高；
（2）规定综合得分85分以上（含85分）为优秀厂家，若从该两个区域各选一个优秀厂家，求得分差距不超过5分的概率.
【知识点】用样本估计总体；茎叶图；古典概型. I2 K2
【答案】【解析】(1) 东城区的平均分较高；（2）.解析：（1） 根据茎叶图知，东城区的平均分为
西城区的平均分为，
∴东城区的平均分较高.………………………………………………………（5分）
（2）从两个区域各选一个优秀厂家，所有的基本事件数为种，
满足得分差距不超过5分的事件：
9种，
∴满足条件的概率为…………………………………………………………（12分）
【思路点拨】(1)根据平均数得定义求得东、西两个城区厂家的平均分；（2）用列举法写出
从两个区域各选一个优秀厂家的所有情况共15种，其中满足得分差距不超过5分的情况有9种，所以满足条件的概率为.
【题文】17.（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE=BE=,平面ABCD⊥平面ABE.
(1)求证：平面ADE⊥平面BCE；
(2)求三棱锥D—ACE的体积.
【知识点】线面垂直的判定；锥体的体积公式. G5 G1
【答案】【解析】(1)证明：见解析；（2）解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD⊥AB.又∵平面ABCD⊥平面ABE,平面ABCD∩平面ABE=AB，AD平面ABCD，
∴AD⊥平面ABE，而BE平面ABE，∴AD⊥BE.
又∵AE=BE=,AB=2，∴,∴AE⊥BE.
而AD∩AE=A，AD、AE平面ADE，∴BE⊥平面ADE，而BE平面BCE,
∴平面ADE⊥平面BCE.……………………………………………（6分）
（2）取AB的中点O，连接OE，∵△ABE是等腰三角形，∴OE⊥AB.
又∵AD⊥平面ABE，OE平面ABE，∴AD⊥OE,∴OE⊥平面ABCD,
即OE是三棱锥D—ACE的高.又∵AB=AE=BE=2，∴OE=1，
∴.--------（12分）
【思路点拨】（1）根据线面垂直的判定定理，只需在平面BCE内找到直线与平面ADE垂直即可，易知此直线是BE；（2）利用等体积转化法，转化为求三棱锥E-ACD的体积即可.
【题文】18.（本小题满分12分）
设记
(1)求函数的最小正周期；
（2）试用“五点法”画出函数在区间的简图，并指出该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到；
（3）若时，函数的最小值为2，试求出函数的最大值并指出x取何值时，函数取得最大值.
【知识点】 向量的数量积；二倍角公式；两角和与差的三角函数；函数的图像与性质；F3 C6 C5 C4
【答案】【解析】（1）；（2）见解析；（2）时取得最大，最大值为
解析：（1）
， ∴………………………………（3分）
（2）
x
0
0
1
0
-1
0
y
向左平移得到，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原的变为，最后再向上平移个单位得到.……………（8分）
（3）
当即时取得最大，最大值为………………………………（12分）
【思路点拨】（1）利用向量数量积得坐标公式，二倍角公式，两角和与差的三角函数公式，求得，从而得函数的最小正周期；（2）计算时的范围，从而确定“五点法”中的关键点，然后列表、描点、画出图像；可以将
的图像先平移再横伸缩变换得y图像.也可以先进行横伸缩变换再 进行平移变换得y图像；（3）先计算时的范围，
从而得最值关于m的表达式，进而求得结论.
【题文】19.（本小题满分13分）
已知等差数列满足.
(1)求的通项公式； (2)若，数列满足关系式
求证：数列的通项公式为
（3）设（2）中的数列的前项和Sn，对任意的正整数n，
恒成立，求实数p的取值范围.
【知识点】等差数列；已知递推公式求通项；不等式恒成立问题. D2 D1 E8
【答案】【解析】（1）（2）证明：见解析；（3）.
解析：（1）设等差数列的公差为d，由已知，有解得
所以即等差数列的通项公式为（3分）
（2）因为所以当时，.
证：当时，，所以
将这n-1个式子相加，得即.
当n=1时，也满足上式.
所以数列的通项公式为.……………………………………（7分）
（3）由（2），所以
所以原不等式变为即
所以对任意恒成立，所以
所以p的取值范围是.……………………………………………………（13分）
【思路点拨】(1)利用已知求得首项和公差即可；（2）累加法证明结论；（3）由（2）中结论化简恒成立的不等式，即对任意恒成立，而，所以
【题文】20.（本小题满分13分）
已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且椭圆以抛物线y2 =16x的焦点为其一个焦点，以双曲线的焦点为顶点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点A(-1,0),B(1,0)，且C，D分别为椭圆的上顶点和右顶点，点P是线段CD上的动点，求的取值范围；
（3）试问在圆上是否存在一点M，使△F1MF2的面积（其中a为椭圆的半长轴长，b为椭圆的半短轴长，F1，F2为椭圆的两个焦点），若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【知识点】 椭圆的方程；向量数量积坐标运算；三角形的面积公式. H5 F3
【答案】【解析】（1）；（2）；（3）存在点M且=2.
解析：（1）因为抛物线y2=16x的焦点坐标和双曲线的焦点分别为(4,0)和(5,0).
所以所以椭圆的标准方程：.…………………………（3分）
（2）设，则
则当OP⊥CD时，取到最小值，即：
当点P在D点时，取到最大值：OD=5.所以：.……………（7分）
（3）如图所示：
由第一问可知，圆的方程为.△F1MF2的面积
设M(x,y),又△F1MF2的面积
又F1(-4,0),F2(4,0)，设直线MF2的倾斜角为，直线MF1的倾斜角为，则
即的值为2.………………………………………………………………（13分）
【思路点拨】(1)由已知得椭圆中的参数a,b,c的值即可；（2）求得线段CD方程
，设出点得向量坐标，从而得
，再化为关于的函数，由得的取值范围；
（3）由（1）得出圆的方程为.△F1MF2的面积不妨设M在x轴上方，结合图形可得点M的纵坐标，进一步求得的三角函数值.
【题文】21.（本小题满分13分）
已知函数
(1)当a=0时，求的极值；
(2)当a<0时，求的单调区间；
（3）若对任意当及，恒有成立，求实数m的取值范围．
【知识点】 导数的应用；不等式恒成立问题. B12 E8
【答案】【解析】（1）的极小值为无极大值；（2）当时，的递减区间为和，递增区间为；当时，在上单调递减；当时，的递减区间为和，递增区间为；
（3）
解析：（1）依题意知的定义域为，
当时，
令，解得当时，；当时，.
又∵∴的极小值为无极大值.………………（3分）
（2）
当时，令得或，
令得当时，得
令得，令得
当时，
综上所述，当时，的递减区间为和，递增区间为；
当时，在上单调递减；
当时，的递减区间为和，递增区间为.…（8分）
（3）由（2）可知，当时，在区间上单调递减；
当x=1时，取得最大值；当x=3时，取得最小值；
恒成立，
，整理得，
恒成立，
………………………………………………………………（13分）
【思路点拨】（1）通过判断导函数为零的点两侧，导函数值的符号，确定极值情况；
（2）通过对a取值的讨论，确定：导函数大于零的x范围是增区间，导函数小于零的范围是减区间；（3）由（2）的结论，化简恒成立的不等式为：，
恒成立，由此求得实数m的取值范围．
【典例剖析】本题第（3）小问是不等式恒成立问题，虽然是常见题型，但本题有一定难度.
需要利用第（2）小问的结论求在上的最大值，从而转化为常规的恒成立问题求解.