(共10张PPT)
空间直线与直线的位置关系（1）
公理4
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
问题：在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，在空间中此结论仍成立吗？
公理4
的特性,通常叫做空间平行线的传递性
.
平行于同一条直线的两条直线互相平行
条件：
结论：
两条直线平行于同一条直线
两条直线互相平行
作用：
判断两直线平行的重要依据
应用之关键：
找媒介（中间直线）
公理4：
例1.在一块长方体形状木块的面AC上有一点P，过点P画一条直线和棱C
1D1平行，说明应该怎么画
解：
如图（1），过点P作直线
MN∥CD，分别交AD，BC于M、N，
则由公理4得，MN∥C
1D1.
图（1）
D
C
A
B
A
1
B
1
D
1
C
1
P
M
N
定理1：
如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组相交直线所成的锐角（或直角）相等。
和
的边
例2、已知：
并且方向相同（即向量
与
与
的方向相同）．
求证：
例3、已知E、F、G、H分别是空间四边形（四个顶点不共面的四边形叫做空间四边形）四条边AB、BC、CD、DA的中点，求证四边形EFGH是平行四边形。
E
H
D
G
C
F
B
A
变形
已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，
F,G分别是边CB,CD上的点，且
求证：四边形EFGH有一组对边平行但不相等．
例4、如图，以知F
、
E是正方体的棱AD、的中点，求证：
1．空间两直线平行是指它们（
）
A．无交点
B．共面且无交点
C．和同一条直线垂直
D．以上都不对
练习：
2．在空间，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角（
）
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．既不相等也不互补(共17张PPT)
空间中两直线的位置关系
判断下列命题对错：
1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上的所有点都在这个平面内。
（
）
2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平面只有一个公共点。
（
）
3、四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么这四个点必在同一个平面内。
（
）
4、一条直线和一个点可以确定一个平面。
（
）
5、如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三条直线可以确定一个平面。
（
）
平面有关知识（复习
）
?
?
?
?
?
思考：
1、两条直线不相交则平行。
（
）
2、无公共点的两条直线一定平行。
（
）
?
?
在空间中，两条不重合直线之间有相交与平行这两种关系。
l
m
P
m
l
图1
图2
l
l
l
l
一、空间中两直线的位置关系
从图中可见，直线
l
与
m
既不相交，也不平行。空间中直线之间的这种关系称为异面直线。
不在同一平面内的两条直线叫做异面直线。
不在同一平面内
不在同一平面内
不在同一平面内
不在同一平面内
1、异面直线
一、空间中两直线的位置关系
α
α
异面直线的直观表示：
m
m
l
P
l
α
β
l
m
m
l
思考：
1、相交
2、平行
m
l
只有一个公共点
没有公共点
在同一平面
m
l
P
1、异面直线
2、空间中两直线的三种位置关系
一、空间中两直线的位置关系
3、异面直线
m
P
l
没有公共点
不同在任一平面
二、空间直线的平行关系
若a∥b，b∥c，
1、平行线的传递性
c
a
a
b
c
c
公理4
：不在同一平面内的三条直线，如果其中两条直线
都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行。
a
α
则
a∥c。
公理4的给出了判断空间两条直线平行的依据。
例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线
AB与C1D1
，AD1
与
BC1
是什么位置关系？为什么？
解：
C1
A
B
C
D
A1
B1
D1
1）∵AB∥A1B1，
C1D1
∥A1B1，
∴
AB
∥
C1D1
2）∵AB
∥C1D1
，且AB
=
C1D1
二、空间直线的平行关系
∴
ABC1D1为平行四边形
故AD1
∥
BC1
练习：在上例中，AA1与CC1，AC与A1C1的位置是什么关系？
1、平行线的传递性
二、空间直线的平行关系
1、平行线的传递性
例2
已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证EFGH是一个平行四边形。
分析：
EFGH是一个平行四边形
EH∥FG且EH＝FG
EH
∥BD且EH
＝
BD
FG
∥BD且FG
＝
BD
连结BD
，E，F，G，H分别是各边中点
解题思想：
∵
EH是△ABD的中位线
∴EH
∥BD且EH
=
BD
同理，FG
∥BD且FG
=
BD
∴EH
∥FG且EH
=FG
∴EFGH是一个平行四边形
证明：
连结BD
把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。
A
B
D
E
F
G
H
C
二、空间直线的平行关系
1、平行线的传递性
2、等角定理
定理2：不在同一平面内的两个角，如果其中一个角的两边与另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线，
在空间中任选一点O，
过O点分别作
a，b的平行线
a′和
b′，
a
b
P
a′
b′
O
则这两条线所成
的锐角θ（或直角），
θ
称为异面直线a，b所成的角。
？
任选
O
a′
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。
异面直线a与b垂直也记作a⊥b
θ的取值范围：
θ∈（0°，90°］
例
3
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
三、两条异面直线所成的角
练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角；
2、与直线BB1垂直的棱有多少条？
指出下列各对线段
所成的角：
1）AB与CC1；
2）A1
B1与AC；
3）A1B与D1B1。
B1
C
C1
A
B
D
A1
D1
1）AB与CC1所成的角
=
9
0°
2）A1
B1与AC所成的角
=
4
5°
3）A1B与D1B1所成的角
=
6
0°
2）与棱BB1垂直的棱有：
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
AD、
A1D1、
DC、
D1C1、
A1B1、
AB、
B1C1、
BC、
相交：
异面：
垂直
相交垂直
异面垂直
B1
C
C1
A
B
D
A1
D1
1）直线AD1与B1C所成的夹角
=
9
0°
填空：
1、空间两条不重合的直线的位置关系有________、
________、三种。
2、没有公共点的两条直线可能是________直线，也有可能是
________直线。
3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系
有______________。
4
、过已知直线上一点可以作______条直线与已知直线垂直。
5
、过已知直线外一点可以作______条直线与已知直线垂直。
平行
相交
异面
平行
异面
无数
无数
相交、异面
判断对错：
1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。(
)
2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。
(
)
3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。
(
)
4、过一点能引且只能引一条直线和已知直线垂直。(
)
5、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定与另一条直线垂直。
(
)
?
?
?
?
?
思考题：
1、a与b是异面直线，且c∥a，则c与b一定（
）。
（A）异面
（B）相交
（C）平行
（D）不平行
2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数
是（
）对。
（A）6
（B）3
（C）8
（D）12
3、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定（
）
平面。
（A）一个
（B）两个
（C）三个
（D）四个(共13张PPT)
探索:两条异面直线所成角定义
研读、讨论、表述
a、b是两条异面直线，经过空间任意一点o,作直线a’//
a,
b’//b,我们把直线a’与b’所成的锐角或直角叫做异面直线a、b所成的角。
1、异面直线a、b所成角的范围？
2、异面直线a、b所成的角的大小与点o的位置是否有关？
3、概念中所体现的立体几何的重要数学思想方法是什么？
1、异面直线a、b所成角的范围:0o<θ≤90o。
2、求异面直线a、b所成的角的步骤是：①找点；②过该点作两条异面直线的平行线得角；③构造含该角的三角形，然后用平面几何知识求解。
3、两条异面直线所成的角为90度时，称这两条直线垂直，并记为：a⊥b。
1、若a//b,c⊥a,则c⊥b。
2、垂直于同一直线的两直线平行。
3、直线a与b异面，直线c与b异面，则直线a与c异面。
4、若直线a、b与直线l所成的角相等，则a//b。
1、正方体的哪些棱所在直线与直线BC’是异面直线？
2、求异面直线AA’与BC所成的角？
3、求异面直线BC’与AC所成的角？
4、E、F分别是棱BC、DC的中点，求异面直线AD’与EF所成角的大小？
5、找出对角线BD’与棱DC所在直线的夹角？
6、
P为A’B’的中点，Q为BB’的中点，找出直线AP与CQ的夹角？
7、找出对角线BD’与A’C’所在直线的夹角，并求出其大小？
如右图：已知P为△ABC所在平面外的一点,PC⊥AB，PC=AB＝2，E、F
分别是PA和BC的中点。
1、求证EF与PC是异面直线。
2、
求EF与PC所成的角？
在上题图中，EF与AB的夹角为30度，EF与PC的夹角为
30度，则直线PC与AB的夹角是多少度？
若图中三棱椎P-ABC的所有棱长都相等，则PC与AB的夹角是多少？
1、本课学习的重要概念是：异面直线的夹角；
2、求两异面直线的夹角的步骤是①找②证③计算
3、本课应用的数学思想有：降维、化归、补形。(共14张PPT)
直线与直线的位置关系（2）
一、新课引入：
在正方体A1B1C1D1-ABCD中，说出下列各对线段的位置关系
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
（1）AB和C1D1；
（2）A1C1和AC；
（3）A1C和D1B：
（4）AB和CC1；
（5）BD1和A1C1；
1.空间两直线的位置关系：
（1）从公共点的数目来看可分为：
①有且只有一个公共点则两直线相交
两平行直线
②没有公共点则
两直线为异面直线
（2）从平面的性质
来讲，可分为：
两直线相交
①在同一平面内
两直线平行
②不在同一平面内则两直线为异面直线。
定义：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线
二、异面直线：
2.判定异面直线的方法：
（1）根据异面直线的定义；应用反证法来证明。
3.异面直线的画法：
α
a
b
α
a
b
a
b
（2）过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内
不经过该点的直线是异面直线。（可作判断依据）
三、异面直线所成角的定义：
1.直线a、b是异面直线。经过空间任意一点O，分
别引直线a1∥a，b1∥b。我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
a
α
a1
b1
O
b
a
α
O
θ
为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上。
2.异面直线a和b所成的角的范围：
a
b
O
a1
b1
O
a
b1
b
3.找角方法：
如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
相交垂直（有垂足）
垂直
异面垂直（无垂足）
O
α
α
O
因此，异面直线所成角的范围是（0，
]
4、特例：
例1.如图，在正方体中，（1）哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线？（2）求直线BA1和CC1所成的角的大小。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
四、例题分析：
求异面直线所成的角的一般步骤是：
根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角,就是要将其变换成相交直线所成有角。其一般方法有：
（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。
(1)找出或作出有关的图形；(2)证明它符合定义；
(3)计算。
[即：要求先证，要证先作。]
具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线，构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之。
例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2
cm，
AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。
O1
M
（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。
B
D
B
1
A
1
D
1
C
1
A
C
F1
E
F
E1
B
D
B
1
A
1
D
1
C
1
A
C
解法二（补形法）：
说明：1.异面直线所成角的范围是（0，
]，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。
2.当异面直线垂直时，应用线面垂直的定义或三垂线定理（或逆定理）判定所成的角为90?，也是不可忽视的办法。
例3.
如图，正方体中，
A1B1与C1C所成的角
AD与B1B所成的角
A1D与BC1所成的角
D1C与A1A所成的角
A1D与AC所成的角
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
巩固：①画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使
它们成为：⑴平行直线；
⑵相交直线；
⑶异面直线。
a
b
α
β
α
β
b
a
α
β
b
a
五、小结：求异面直线所成的角的方法与步骤是：
（1）根据定义找出或作辅助线找出所求的角并设为θ；
（2）选取适当的三角形（θ为其一个内角），通过解
三角形求得θ的值；
（3）异面直线所成的角的范围是
0＜θ≤900，尽量用
余弦定理；
（4）若余弦值为负，则θ为其补角；
（5）如果两条异面直线所成的角为直角，只需证它们垂直而不找角。
归纳为：①作辅助线找角；②指出角（或其补角）；③求角（解三角形）；④结论。
