球
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．① 当平面到球心的距离小于球半径时，球面与平面的交线总是一个圆；
② 过球面上两点只能作一个球大圆； ③ 过空间四点总能作一个球；
④ 球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.以上四个命题中正确的有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．若球的大圆的面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的 （ ）
A．3倍 B．27倍 C．3倍 D．倍
3．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4Л，那么这个球的半径为 （ ）
A．4 B．2 C．2 D．
4．长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球
的表面积是 （ ）
A．20π B．25π C．50π D．200π
5．在棱长为a的正方体内有一个内切球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，
该直线被球面截在球内的线段长为 （ ）
A． B． C． D．
6．半径为R的两个球，一个球的球心在另一个球的球面上，则两球的交线圆的周长为（ ）
A． B． C． D．2
7．过正三棱锥一侧棱及其外接球的球心O所作截面如图所示，
则它的侧面三角形的顶角为（ ）
A．60° B．90°
C．120° D．arccos
8．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，则三
棱柱的体积为 （ ）
A． B． C． D．
9．若地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，且这两点间的球面距离为，则北
纬45°圈所在平面与过A、B两点的球的大圆面所成的二面角的余弦值为 （ ）
A． B． C． D．
10．如图，水平地面上有一个大球，现有如下方法测量球的大小，
用一个锐角为45°的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边
紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA＝5cm，
则球的表面积为 （ ）
A．100πcm2 B．100(3＋2)πcm2
C．100(3－2)πcm2 D．200πcm2
二、填空题：本大题满分24分，每小题6分，各题只要求直接写出结果．
11．一个平面和一个球相切于A点，从球面上一点B作该平面的垂线BC，垂足是C，若AC＝4，BC＝3，则此球的半径是 ．
12．在120°的二面角内放一个半径为5的球，分别切两个半平面于点A、B，那么这两个切点A、B在球面上的最短距离是 ．
13．已知球内接正方体的表面积为S，则球体积等于 .
14．用底面半径2R的圆柱形铁罐做一种半径为R的球型产品的外包装，一听4个，铁罐的高度至少应为 ．
三、解答题：本大题满分76分．
15．（12分） 如果球、正方体与等边圆柱（底面直径与母线相等）的体积相等，求它们的表面积的大小关系．
16．（12分）A、B、C是半径为1的球面上三点，B、C间的球面距离为，点A与B、C两点间的球面距离均为，且球心为O，求：
①∠AOB，∠BOC的大小；
②球心到截面ABC的距离；
③球的内接正方体的表面积与球面积之比．
17．（12分）圆锥的内切半球的大圆在圆锥底面上，已知圆锥的全面积与半球的面积之比为18：5，如图，求圆锥的底面半径与母线长之比．
18．（12分）如图，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，
求这个球的表面积．
19．（14分）如图,半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为，求半球的表面积和体积．
20．（14分）设棱锥M－ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如图，△AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C C B D D B B
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11． 12． 13． 14． 2R
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．(12分) 解：设球的半径为R、正方体的棱长为a , 等边圆柱的底面半径为r, 且它们的体积都为V,
则：, ．
, ．
16．(12分) 解：①∵球面距离（θ为劣弧所对圆心角）, 故易得∠AOB=，∠BOC=，∠AOC=
②∵OA=OB=OC=1 ∴AB=AC=，BC=1,∴S⊿OBC = ， S⊿ABC=
V0-ABC=·1=·d ∴ d=
③设球的内接正方体棱长为a则a=2 ∴a=, S正方体∶S球面=6·∶4Л=2∶Л
17．(12分) 解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，球半径为R，作圆锥的轴截面SAB，E、F为切点，
18．(12分) 解:设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距
离为d。在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,
∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′.
由正弦定理，得 =2r,∴r=a. 又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，∴P、O、O′共线，球的半径R=。
又PO′===a，∴OO′=R － a=d=,(R－a)2
=R2 – (a)2，解得R=a,∴S球=4πR2=3πa2.
19．（14分）解:设球的半径为r,过正方体与半球底面垂直的对角面作截面α，则α截半球面得半圆，α截正方体得一矩形，且矩形内接于半圆，如图所示，则矩形一边长为，另一边长为·=2，
∴r2=()2+()2=9，∴r=3，故S半球=2πr2+πr2=27π，
V半球=πr3=18π，
即半球的表面积为27π，体积为18π.
20．(14分) 解：如图，∵ AB⊥AD，AB⊥MA
∴ AB⊥平面MAD,设E、F分别为AD、BC的中点，
则EF∥AB ∴ EF⊥平面MAD, ∴ EF⊥ME
设球O是与平面MAD、平面ABCD、平面MBC都相切的球，
由对称性可设O为△MEF的内心，
则球O的半径r满足：r ＝
设AD＝EF＝a，∵ S△MAD＝1,∴ ME＝，MF＝
∴ r＝ EQ \F(2,a＋\F(2,a)＋) ≤ ＝－1,
且当a＝，即a＝时，上式等号成立
∴ 当AD＝ME＝时，与平面MAD、平面ABCD、平面MBC都相切的球的最大半径为－1．
再作OG⊥ME于G，过G作GH⊥MA于H，易证OG∥平面MAB
∴ G到平面MAB的距离就是球心O到平面MAB的距离,∵ △MGH∽△MAE，∴ ＝ ，
其中MG＝－(－1)＝1，AE＝，MA＝＝
∴ HG＝ ＝ , ∵ ＞－1
∴ 点O到平面MAB的距离大于球O的半径,同样，点O到平面MCD的距离大于球O的半径
∴ 球O在棱锥M－ABCD中，且不可能再大，因而所求的最大球的半径为－1．
PAGE平面和平面的位置关系
1、 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列命题中正确的是 （ ）
A．垂直于同一平面的两平面平行
B．垂直于同一直线的两平面平行
C．与一直线成等角的两平面平行
D．RtABC在平面的射影仍是一个直角，则ABC所在平面与平面平行
2．ABCD是一个四面体，在四个面中最多有几个是直角三角形 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知、是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题：
①若、∥,则∥； ②若∥、∥,则∥；
③若∩＝，∥，则∥，∥；④若⊥，⊥，则∥．
其中真命题的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知二面角α－AB－β的平面角为θ，α内一点C到β的距离为3，到棱AB的距离为4，
则tanθ等于 （ ）
A． B． C． D．
5．下列命题：① 若直线a//平面，平面⊥平面β，则⊥β; ② 平面⊥平面β，平
面β⊥平面γ，则⊥γ；③ 直线a⊥平面，平面⊥平面β，则a//β； ④ 平面//
平面β，直线a平面，则a//β．其中正确命题的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．二面角α－AB－β的平面角为锐角，C是α内的一点
（它不在棱AB上），点D是C在平面β内的射影，点E
是AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，那么（ ）
A．∠CEB>∠DEB B．∠CEB<∠DEB
C．∠CEB=∠DEB D．无法确定
7．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：，，，那么必有（ ）
A． B． C． D．
8．已知：矩形ADEF⊥矩形BCEF，记∠DBE＝α，
∠DCE＝β，∠BDC＝θ，则 （ ）
A．sinα＝sinβsinθ B．sinβ＝sinαcosθ
C．cosα＝cosβcosθ D．cosβ＝cosαcosθ
9．若有平面与，且，则下列命
题中的假命题为 （ ）
A．过点且垂直于的直线平行于 B．过点且垂直于的平面垂直于
C．过点且垂直于的直线在内 D．过点且垂直于的直线在内
10．空间三条射线PA，PB，PC满足∠APC=∠APB=60°，∠BPC=90°，则二面角B-PA-C 的度数 （ ）
A．等于90°
B．是小于120°的钝角
C．是大于等于120°小于等于135°的钝角
D．是大于135°小于等于150°的钝角
二、填空题：本大题满分24分，每小题6分，各题只要求直接写出结果.
11．如图所示，E、F、G是正方体ABCD－A1B1C1D1相应棱的中点，
则（1）面EFG与面ABCD所成的角为 ；
（2）面EFG与面ADD1A1所成的角为 ．
12．斜线PA、PB于平面α分别成40°和60°，则∠APB的取
值范围为
13．在直角△ABC中，两直角边AC＝b，BC＝a，CD⊥AB于D，
把这个Rt△ABC沿CD折成直二面角A－CD－B后，
cos∠ACB＝ ．
14．如图，两个矩形ABCD和ABEF中，AD＝AF＝1，
DC＝EF＝2，则AB与CF所成角θ的大小范
围是 ．
三、解答题：本大题满分76分.
15．（本小题满分12分）
求证：．
16．（本小题满分12分）正方体ABCD-A′B′C′D′棱长为1．
（1）证明：面A′BD∥面B′CD′；
（2）求点B′到面A′BD的距离．（14分）
17．（本小题满分12分）如图，平面α∥平面β，点A、C∈α，B、D∈β，点E、F分
别在线段AB、CD上，且，求证：EF∥β.
18．（本小题满分12分）如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形.（1）求证：BC⊥AD；
（2）若点D到平面ABC的距离不小于3，求二面角A—BC—D的平面角的取值范围；
（3）求四面体ABCD的体积的最大值.
19．（本小题满分14分）在长方体中，，底边上有且
只有一点使得平面平面.
（1）求异面直线与的距离；
（2）求二面角的大小.
20．（本小题满分14分）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.
（1）证明AD⊥D1F;
（2）求AE与D1F所成的角;
（3）证明面AED⊥面A1FD1;
（4）．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B C A A A A D B
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11． 12． 13． 14．
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．(12分) 证明：过b上一点作平面与α相交于b′
16．(12分) （1）证明：∵A’D∥B’C，DB∥D’B’
又∵A’D∩DB＝D，B’C∩D’B’＝B’ ∴面A’BD∥面B’CD’
（2）解法一：易知B′到平面A′BD的距离d等于A到平面A′BD的距离，
且△A′BD为等边三角形
由可知
解得 ∴
解法二：易知B′到面A′BD的距离d等于A到面A′BD的距离
沿A′BD截下三棱锥A-A′BD，易知是一个正三棱锥
过A作AF⊥A′BD，则AF即为A到平面A′BD的距离
如右图，DE为A′B的中线，且F为△A′BD的中心
，
即A到平面A′BD的距离为.
17．(12分) 证明：过A作AH∥CD交β于H，连结HD、HB、BD、AC.
∵α∥β ∴AH=CD∴四边形AHDC是平行四边形，
∴AC∥HD, 过F作FG∥HD交AH于G，连结GE
∴AC∥GF∥HD ∴GF∥β，∴,∵ ∴,∴EG∥BH ∴EG∥β
∵EG∩GF=G ∴平面EGF∥β ∵EF平面EGF ∴EF∥β
18．(12分) （1）证明：取BC中点O，连结AO、DO
∵△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形
∴AO⊥BC，DO⊥BC
∴BC⊥平面AOD ∵AD平面AOD ∴BC⊥AD
（2）解：由（1）知∠AOD为二面角A—BC—D的平面角，
设∠AOD=θ,作DE⊥AO于E，由（1）知平面AOD⊥平面ABC，
且平面AOD∩平面ABC=AO
∴DE⊥平面ABC，DE为D到平面ABC的距离，
又DO=BD=2 ∴DE=DOsinθ=2sinθ ∵DE≥3
∴sinθ≥ ∵θ∈(0,π)∴θ∈［］
（3）∵S△ABC=×42=4 ∵DE=DOsinθ=2sinθ,θ∈［］
∴DE≤2,DE的最大值为2 ∵VD—ABC=×S△ABC×DE=×4×DE
∴当DE最大时，有VD—ABC=×4×2=8∴四面体ABCD的体积的最大值为8.
19．（14分）证明:(1)过作于
∵平面平面且平面平面
∴平面∴
又∵ ∴平面
∴又∵满足条件的只有一个
∴以为直径的圆必与相切，
切点为，为的中点
∴ ∴
∵平面，∴
又∵，所以为异面直线与的公垂线段
的长度为所求距离
（2）取中点，连结，则平面, 过作于，连结，则,∴为二面角的平面角
又∵ ,，在中 ∴
20．(14分) 解法一:（1）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1. 又D1F面DC1， ∴AD⊥D1F.
（2）取AB中点G,连结A1G，FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.
设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角，
因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，
∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角.
（3）由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1FD1，
所以面AED⊥面A1FD1.
（4）连结GE，GD1. ∵FG∥A1D1,∴FG∥面A1ED1，
∵AA1=2,面积S△A1GE=S□ABB1A1－2S△A1AG－S△GBE=
又
解法二：利用用向量求解
解析：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A1（2，0，2），D1（0，0，2），
（1） ∵ ,，得，∴ AD⊥D1F;
（2）又，得 ∴ AE与D1F所成的角为90°
（3） 由题意：，
设平面AED的法向量为，设平面A1FD1的法向量为，
由
由
得
∴ 面AED⊥面A1FD1.
（4）∵AA1=2，，
平面A1FD1的法向量为
， ∴E到平面A1FD1的距离，
．
PAGE立体几何综合测试（二）
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的）
1．经过空间任意三点作平面 （ ）
A．只有一个 B．可作二个
C．可作无数多个 D．只有一个或有无数多个
2．若＝（2，1，1）， =（﹣１，x，1）且⊥ ，则x的值为 （ ）
A．1 B．－1 C．2 D．0
3. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一
个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 （ ）
A． B． C． D．
4．已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是 （ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，，则α⊥β
5．在正三棱柱 （ ）
A．60° B．90° C．105° D．75°
6．一个简单多面体的面数为12，顶点数为20，则这个多面体的棱数是 （ ）
A．25 B．28 C．30 D．32
7．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角的余弦值为，则其相邻两侧面所成的二面角的余
弦值是 （ ）
A． B． C． D．0
8．棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是 （ ）
A．有一条侧棱与底面垂直 B．有一条侧棱与底面的两边垂直
C．有一个侧面与底面的一条边垂直 D．有两个相邻的侧面是矩形
9．正方形ABCD的边长为6 cm，点E在AD上，且AE＝AD，点F在BC上，且BF ＝BC，
把正方形沿对角线BD折成直二面角A－BD－C后，则EF ＝ （ ）
A．2cm B．2cm C． 2cm D．6 cm
10．在下列的四个命题中：
①是异面直线，则过分别存在平面，使；
②是异面直线，则过分别存在平面，使；
③是异面直线，若直线与都相交，则也是异面直线；
④是异面直线，则存在平面过且与垂直．真命题的个数为 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．若AC、BD分别是夹在两个平行平面 、 间的两条线段，且AC ＝13，BD＝15，AC、BD在平面 上的射影长的和是14，则 、 间的距离为 ．
12．二面角内一点到平面和棱的距离之比为，则这个二面角的平
面角是度．
13．在北纬圈上有甲乙两地，它们在纬度圈上的弧长为（为地球的半径），则甲乙两地的球面距离为 ．
14．将边长为2，锐角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E、F分别为AC、BD的中点，则下列命题中正确的是 。（将正确的命题序号全填上）
①EF∥AB ②EF是异面直线AC与BD的公垂线
③当四面体ABCD的体积最大时，AC= ④AC垂直于截面BDE
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（本题满分12分）如图，已知长方体的长宽都是4cm，高为2cm．
（1）求BC与，与，与所成角的余弦值；
（2）求与BC，与CD，与所成角的大小．
16．（本题满分12分）若平面α内的直角△ABC的斜边AB=20,平面α外一点O到A、B、C三点距离都是25,求：点O到平面的距离．
17．（本题满分12分）是边长为1的正方形，分别为上的点，且，沿将正方形折成直二面角
（1）求证：平面平面；
（2）设，点与平面间的距离为，试用表示．
18．（本题满分12分）已知三棱柱的底面是边长为1的正三角形，，顶点 到底面和侧面的距离相等，求此三棱柱的侧棱长及侧面积．
19．（本题满分14分）正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长是，侧棱长是3，点E，F分别在BB1，DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．
①求证：A1C⊥面AEF；
②求二面角A-EF-B的大小；
③点B1到面AEF的距离；
④平面AEF延伸将正四棱柱分割成上下两部分，求V上∶V下
20．（本题满分14分）在直角梯形P1DCB中，P1D//CB，CD⊥P1D，且P1D=6，BC=3，DC=，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P—CD—B成45°角.设E、F分别是线段AB、PD的中点.
（1）求证：AF//平面PEC；
（2）求PC与底面所成角的正弦值.
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C B B C D C D A
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．12 12．90 13． 14．②③④
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．(12分) 解：（1）；； （2）90°；90°；0°
16．(12分) 解：由斜线相等，射影相等知，O在底面的射影为△ABC的外心Q，
又△ABC为Rt△外心在斜边中点，故OQ===
17．(12分) 解：（1）MN⊥AM，MN//CD ∴CD⊥AM
又CD⊥DM ∴CD⊥平面ADM ∴平面ADC⊥平面ADM
(2)∵MN//CD MN平面ADC CD平面ADC
∴MN//平面ADC ∴M、N到平面ADC的距离相等
过M作MP⊥AD ∵平面ADM⊥平面ADC ∴MP⊥平面ADC
∵MN⊥DM MN⊥AM ∴∠AMN=900
在Rt△ADM中,∴
18．(12分) 解：作AO⊥平面A1B1C1，O为垂足
∵∠AA1B1=∠AA1C1=450 ∴O在∠C1A1B1的平分线上
连结A1O并延长交B1C1于D1点 ∵A1C1=A1B1 ∴A1D1⊥B1C1
∴A1A⊥B1C1 ∴BB1⊥B1C1 ∴四边形BB1C1C为矩形
取BC中点D，连结AD DD1 ∵DD1//BB1
∴B1C1⊥DD1又B1C1⊥A1D1 ∴B1C1⊥平面A1D1DA
∴平面A1ADD1⊥平面B1C1CB, 过A作AN⊥DD1，则AN⊥平面BB1C1C
∴AN=AO ∵四边形AA1D1D为□
∴A1D1=DD1 ∴
19．（14分）解：①∵BC⊥面AA1B1B ∴A1B那么A1C在平面AA1B1B上的射影
又AE⊥A1B AE面AA1B1B ∴AE⊥A1C(三垂线定理)
同理：AF⊥A1D 又AE，AF面AEF且AE∩AF=A ∴A1C⊥面AEF
②连AC，BD交于点O，取EF的中点M连OM，AM已知AE=AF=2
BE=DF=1 ∠OMA即为二面角A—EF—B的平面角
在tan∠AMO= ∴∠AMO=arc tan
③ ∴d=
④V上∶V下=2∶1
20．(14分) 解法一：设PC中点为G，连FG.∵FG//CD//AE，
且GF=∴AEGF是平行四边形
∴AF//EG，EG平面PEC，∴AF//平面PEC.
（2）连接AC. ∵BA⊥AD，BA⊥AP1，∴BA⊥AD，BA⊥AP
∴BA⊥平面PAD…① 又CD//BA，∴CD⊥PD，CD⊥AD，
∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角，∴∠PDA=45°.
又PA=AD=3，∴△PAD是等腰直角三角形，∴PA⊥AD……②
由①、② ∴PA⊥平面ABCD，∴AC是PC在底面上的射影.
∵PA=3，，∴，
则，∴PC与底面所成角的正弦值为
解法二：（1）设线段PC的中点为G，连结EG
∵=
∴AF//EG，又EG平面PEC，AF平面PEC，∴AF//平面PEC.
（2）∵BA⊥P1D，∴BA⊥平面PAD……①又CD//BA，∴CD⊥PD，CD⊥AD，
∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角，∠PDA=45°.又PA=AD=3，∴△PAD是等腰直角三角形，
∴PA⊥AD…② 由①、② ∴PA⊥平面ABCD， 设PA与PC所成的角为
则PC与平面ABCD所成的角为
∵、、两两互相垂直，且
故知PC与底面所成角的正弦值为.
PAGE平面的基本性质，两直线的位置关系
一、选择题（本题每小题5分，共50分）
1．若直线上有两个点在平面外，则 （ ）
A．直线上至少有一个点在平面内 B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外 D．直线上至多有一个点在平面内
2．在空间中，下列命题正确的是 （ ）
A．对边相等的四边形一定是平面图形
B．四边相等的四边形一定是平面图形
C．有一组对边平行且相等的四边形是平面图形
D．有一组对角相等的四边形是平面图形
3．在空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．用一个平面去截正方体，则截面形状不可能是 （ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
5．如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，
那么异面直线EF与SA所成的角等于 （ ）
A．90° B．45°
C．60° D．30°
6．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．相交或异面
7．异面直线a、b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为 （ ）
A．[30°，90°] B．[60°，90°] C．[30°，60°] D．[60°，120°]
8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，
① BM与ED平行； ② CN与BE是异面直线；
③ CN与BM成角； ④ DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．②④
C.③④ D．②③④
9．梯形ABCD中AB//CD，AB平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位
置关系只能是 （ ）
A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．异面或相交
10．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE ：EB＝AF ：FD
＝1 ：4，又H、G分别为BC、CD的中点，则 （ ）
A．BD//平面EFGH且EFGH是矩形 B．EF//平面BCD且EFGH是梯形
C．HG//平面ABD且EFGH是菱形 D．HE//平面ADC且EFGH是平行四边形
二．填空题（本题每小题6分，共24分）
11．若直线a, b与直线c相交成等角，则a, b的位置关系是 ．
12．在四面体ABCD中，若AC与BD成60°角，且AC＝BD＝a，则连接AB、BC、CD、DA的中点的四边形面积为 ．
13．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，AA1＝4，则异面直线AB1与 A1D所成的角的余弦值为 ．
14．把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折起，
使A、C的距离等于a，如图所示，则异面直线AC
和BD的距离为 ．
三、解答题（共76分）
15．（12分）已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线 .
16．（12分）在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足
=k.求证：M、N、P、Q共面.
17．（12分）已知：平面
求证：b、c是异面直线
18．（12分）如图，已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，
并且BE∶EC=AF∶FD=1∶2，EF=，求AB和CD所成角的大小.
19．（14分）四面体A-BCD的棱长均为a，E、F分别为楞AD、BC的
中点，求异面直线AF与CE所成的角的余弦值．
20．（14分）在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的
中点.
（1）求证：四边形B′EDF是菱形；
（2）求直线A′C与DE所成的角；
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 D C D C B D A C B B
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．平行、相交或异面 12． 13． 14．
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．(12分) 证明：∵A、B、C是不在同一直线上的三点
∴由A、B、C确定一个平面, 又
16．(12分) 证明：∵AM∶MB=CN∶NB
∴MN∥AC ∵DQ∶QA=DP∶PC ∴PQ∥AC∴MN∥PQ ∴M、N、P、Q共面.
17．(12分) 反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交
18．(12分) 解：连结BD，在BD上取点G，使BG∶GD=1∶2，
连结EG、FG，在△BCD中，∵ ∴EG∥CD
同理FG∥AB
∴EG和FG所成的锐角（或直角）就是异面直线AB和CD
所成的角.
在△BCD中， ∴EG∥CD，CD=3，BG∶GD=1∶2 ∴EG=1
在△ABD中， ∴FG∥AB，AB=3，FG∶AB=2∶3 ∴FG=2
在△EFG中，EG=1，FG=2，EF=，由余弦定理，得
∴∠EGF=120°,EG和FG所成的锐角为60°.∴AB与CD所成的角为60°.
19．（14分）
解： 连接FD，在面AFD内过E作EO∥AF交FD于O，则∠OEC为异面直线AF与CE的所成角.
且O为DF的中点。又∵E为AD的中点，∴EO=.
∵⊿ABC和⊿ACD均为等边三角形，且边长为 AF、CE分别是它们的中位线，
∴，在Rt⊿DFC中，
.
在⊿OEC中，
.
即异面直线AF与CE所成的角的余弦值为.
20．(14分) （1）证明：由题目中图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=a,
下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EGABA′B′知，
B′EGA′是平行四边形.
∴B′E∥A′G,又A′F DG,∴A′GDF为平行四边形.
∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面
故四边形B′EDF是菱形.
（2）解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，
则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角.
在△A′CP中，易得A′C=a，CP=DE=a，A′P=a
由余弦定理得cos∠A′CP=，故A′C与DE所成角为arccos.
N
D C M
E A B
F
α
β
a
b
A
c
A
B
C
D
E
F
O
PAGE立体几何知识点总结
1.空间多边形不在同一平面内的若干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线.?
若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合，则叫做封闭的空间折线.
若封闭的空间折线各线段彼此不相交，则叫做这空间多边形平面，平面是一个不定义的概念，几何里的平面是无限伸展的.
平面通常用一个平行四边形来表示.
平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.
在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：
a) A∈l—点A在直线l上；Aα—点A不在平面α内；
b) lα—直线l在平面α内；
c) aα—直线a不在平面α内；
d) l∩m=A—直线l与直线m相交于A点；
e) α∩l=A—平面α与直线l交于A点；
f) α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.
2.平面的基本性质
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.
根据上面的公理，可得以下推论.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
3.证题方法
4.空间线面的位置关系
共面 平行—没有公共点
(1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点
异面(既不平行，又不相交)
直线在平面内—有无数个公共点
(2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点
(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点
(3)平面与平面 相交—有一条公共直线(无数个公共点)
平行—没有公共点
5.异面直线的判定
证明两条直线是异面直线通常采用反证法.
有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.
6.线面平行与垂直的判定
(1)两直线平行的判定
①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.
②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,a?β，α∩β=b,则a∥b.
③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.
④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b
⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b
⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b.
(2)两直线垂直的判定
①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.
②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c
③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,bα，a⊥b.?
④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.
⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.
⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a.
(3)直线与平面平行的判定
①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.
②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若aα,bα，a∥b,则a∥α.
③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,lα，则l∥β.
④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若α⊥β,l⊥β，lα，则l∥α.
⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若Aα，Bα，A、B在α同侧，且A、B到α等距，则AB∥α.
⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β,aα，aβ，a∥α，则α∥β.
⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a⊥α,bα，b⊥a，则b∥α.
⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即若a∥b,a∥α,b∥α(或bα)
(4)直线与平面垂直的判定
①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.
③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.
④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.
⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,则l⊥α.
⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ.
(5)两平面平行的判定
①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α∥β.
②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.
③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.
④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.
(6)两平面垂直的判定
①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β.
②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,lα，则α⊥β.
③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.
7.直线在平面内的判定
(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.
(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα.
(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα.
(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则aβ.
(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则bα.
8.存在性和唯一性定理
(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；
(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；
(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；
(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；
(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；
(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；
(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；
(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.
9.射影及有关性质
(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.
(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.
和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.
(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.
当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；
当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.
(4)射影的有关性质
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：
(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.
10.空间中的各种角
等角定理及其推论
定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.
推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
异面直线所成的角
(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
(2)取值范围：0°＜θ≤90°.
(3)求解方法
①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；
②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.
11.直线和平面所成的角
(1)定义 和平面所成的角有三种：
(i)垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
(ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.
(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)取值范围0°≤θ≤90°
(3)求解方法
①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.
②解含θ的三角形，求出其大小.
③最小角定理
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.
12.二面角及二面角的平面角
(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.
(2)二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.
若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.
二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是
0°＜θ≤180°
(3)二面角的平面角
①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.
如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.
②二面角的平面角具有下列性质：
(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.
(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.
(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.
③找(或作)二面角的平面角的主要方法.
(i)定义法
(ii)垂面法
(iii)三垂线法
(Ⅳ)根据特殊图形的性质
(4)求二面角大小的常见方法
①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.
②利用面积射影定理
S′=S·cosα
其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.
③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.
13.空间的各种距离
点到平面的距离
(1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
(2)求点面距离常用的方法：
1)直接利用定义求
①找到(或作出)表示距离的线段；
②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.
2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.
3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.
4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.
14.直线和平面的距离
(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.
(2)求线面距离常用的方法
①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.
②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.
③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.
15.平行平面的距离
(1)定义 个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.
(2)求平行平面距离常用的方法
①直接利用定义求
证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.
②把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.
16.异面直线的距离
(1)定义 条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.
任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.
(2)求两条异面直线的距离常用的方法
①定义法 题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.
此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.
②转化法 为以下两种形式：线面距离面面距离
③等体积法
④最值法
⑤射影法
⑥公式法
直接证法
反证法
证题方法
间接证法
同一法多 面 体
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．一个棱柱为正四棱柱的条件是 （ ）
A．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
B．底面是正方形，有两个侧面是矩形
C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D．每个底面是全等的矩形
2．下列命题中正确的一个是 （ ）
A．四棱柱是平行六面体 B．直平行六面体是长方体
C．底面是矩形的四棱柱是长方体 D．六个面都是矩形的六面体是长方体
3．在底面边长与侧棱长均为a的正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知M为A1B1的中点，则M
到BC的距离是 （ ）
A．a B．a C．a D．a
4．若四棱锥的四个侧面与底面所成的角都相等，则其底面四边形必是 （ ）
A．矩形 B．菱形 C．圆外切四边形 D．圆内接四边形
5．三棱柱的底是边长为4的正三角形, 侧棱长为8，一条侧棱和底面的两边成45°
角，则这三棱柱的侧面面积为 （ ）A．32 B．4（+1） C．16（+1） D．32（+1）
6．如图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后，图形是 （ ）
A B C D
7．正三棱锥S－ABC的高SO＝h，斜高SM＝l, 点P在SO上且
分SO所成的比是1 ：2，则过P点且平行于底面的截面面积是 （ ）
A．(l2－h2) B．(l2－h2) C．(l2－h2) D．(l2－h2)
8．将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了 （ ）
A． B．12a2 C．18a2 D．24a2
9．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部
分的体积的比是 （ ）
A．1∶2∶3 B．1∶7∶19 C．3∶4∶5 D．1∶9∶27
10．设正多面体的每个面都是正n边形，以每个顶点为端点的棱有m条，棱数是E，面数是
F，则它们之间的关系不正确的是 （ ）
A．nF=2E B．mV=2E C．V+F=E+2 D．mF=2E
二、填空题：本大题满分24分，每小题6分，各题只要求直接写出结果．
11．长方体高为ｈ，底面积为Ｑ，垂直于底面的对角面面积为Ｍ，则长方体的全面积为 ．
12．直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1与CC1上的点，且AP=C1Q，则四棱锥B－APQC的体积= ．
13．已知正四棱锥S－ABCD的侧面与底面所成的角为60°，过边BC的截面垂直于平面ASD，交平面ASD于EF，则二面角S－BC－E的平面角为 ．
14．矩形ABCD的边长分别为a，b(a<2b)，
E是DC的中点，把矩形沿AE、BE折成
一个三棱锥的三个侧面(C、D重合)，则
最大的侧面与底面所成的二面角的正弦
值是 ．
三、解答题：本大题满分76分．
15．（12分）在棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两成60°角，PA=a，PB=b，PC=c，求三
棱锥P—ABC的体积.
16．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC＝60，
PC⊥平面ABCD，PC＝1，E为PA的中点．
（1）求证：平面EDB⊥平面ABCD；
（2）求二面角A－EB－D的正切值；
（3）求点E到平面PBC的距离．
17．（12分）正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2AB，D、E分别是侧棱BB1、CC1上的点，
且EC=BC=2BD，过A、D、E作一截面，求：
（1）截面与底面所成的角；
（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.
18．（12分）C70 分子是与C60分子类似的球状多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面都是五边形或六边形。求C70分子中五边形和六边形的个数．
19．（14分）斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，顶点A1在底面的射影O
是△ABC的中心，异面直线AB与CC1所成的角为45°.
（1）求证：AA1⊥平面A1BC；
（2）求二面角A1－BC—A的平面角的正弦值；
（3）求这个斜三棱柱的体积.
20．（14分）如图，四棱锥的底面是直角梯形，已知垂直底面，
且，．
（1）求证：平面平面；
（2）若为侧棱上的一点，当为何值时，
平面，证明你的结论；
（3）若，求二面角的大小．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 C D A C D B A B B D
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11． 12． 13．30° 14．
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．(12分) 解：如图，设顶点A在平面PBC上的射影
为O，连结PO，由题知PA、PB、PC两两成60°角，
∴PO是∠BPC的平分线，在平面PBC上，过O作OE⊥PB，
连结AE，则AE⊥PB
16．(12分) (1) 证明：连结AC交BD于O，连EO ∵ O是AC中点，E是PA中点
∴ EO∥PC ∵ PC⊥平面ABCD，∴ PC⊥AO，PC⊥BO ∴ EO⊥AO，EO⊥BO
∴ EO⊥平面ABCD ∵ EO 平面EDB ∴ 平面EDB⊥平面ABCD．
(2) 解：∵ 平面EDB⊥平面ABCD，交线为BD，又AO⊥BD ∴ AO⊥平面EDB
过O作OM⊥BE于M，连AM，则AM⊥BE∴ AMO为二面角A－BE－D的平面角
在Rt△EOB中，OB＝，EO＝PC＝
∴ EB＝1 ∵ BE×OM＝OE×OB
∴ OM＝＝ ∵ 在Rt△AOM中，OA＝
∴ tan AMO＝ ＝ ．
(3) 解：∵ EO∥PC，PC 平面PBC，∴ EO∥平面PBC ∴ E到平面PBC的距离就是O到平面PBC的距离
∵ 平面PBC⊥平面ABCD交线为BC，过O作OF⊥BC于F
∴ OF⊥平面PBC，OF即为所求
∵ 菱形ABCD中，ABC＝60
∴ OF＝OB·sin OBF＝×＝
即点E到平面PBC的距离为 ．
17．(12分) 解（1）延长ED交CB延长线于F，
为截面与底面所成二面角的平面角. 在Rt△AEC中，EC=AC，故得∠EAC=45°.
（2）设AB=a，则，
.
18．(12分) 解：设有x个五边形和有y个六边形，则F=x+y,V=70,E=
答：略。
19．（14分）由已知可得A1-ABC为正三棱锥，∠A1AB=45°
∴∠AA1B=∠AA1C=90°即AA1⊥A1B,AA1⊥A1C
∴AA1⊥平面A1BC
（1）连AO并延长交BC于D,则AD⊥BC，连A1D,
则∠ADA1为所求的角.由已知可得 AD＝Absin60°＝,
AA1=Absin45°=,∴sin∠ADA1=
（2）在Rt△AA1D中，A1D=∴A1O=
∴V柱＝S△ABC·A1O=·4·sin60°·.
20．(14分) 证明：（１）平面ABCD，.又，
故平面SCD，平面SBC，故平面SBC平面SCD.
（2）时，AE//平面SCD.
法一：取SB的中点E，BC的中点F，连结AF，则AF//CD，EF//SC.
故EF//平面SCD，AF//平面SCD；平面AEF//平面SCD.
而AE平面AEF，AE//平面SCD
法二：取SB、SC的中点分别为E、G，连结EG、DG.则GE//BC，GE=BC，
又AD//BC，AD=BC，故AD//GE且AD=GE.
于是四边形AEGD为平行四边形。故AE//DG，又DG平面SCD，
故AE//平面SCD.
（3）作COBD于O，又SD平面BCD，故SDCO，
从而CO平面SBD ，作CHSB于H，
连结OH，则OH为CH在平面SBD上的射影，
故OHSB，CHO为二面角C－ＳＢ－Ｄ的平面角.
设AD=a，则BC=CD=2a 于是SA=AB=a ，
故SD==2a 则 CO=a
则CH=
而sinCHO
故CHO 二面角C－SB－D为
另解：……三角形SBO是三角形SBC在平面SBD上的射影.
设二面角C－SB－D的平面角为
则cos=,故=
A
B
C
A1
B1
C1
O
D
PAGE直线和平面的位置关系
一、选择题（本题每小题5分，共50分）
1．下列命题：① 一条直线在平面内 的射影是一条直线；② 在平面内射影是直线的图形一
定是直线；③ 在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等；④ 两斜线与平面所成的角
相等，则这两斜线互相平行.其中真命题的个数是 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．下列命题中正确的是 （ ）
A．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这
两条直线互为异面直线
B．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线相交
C．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行
D．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线
垂直
3．相交成60°的两条直线与一个平面α所成的角都是45°，那么这两条直线在平面α内的
射影所成的角是 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．已知A、B两点在平面α的同侧，AC⊥α于C，BD⊥α于D，并且AD∩BC＝E，EF⊥
α于F，AC＝a，BD=b，那么EF的长等于 （ ）
A． B． C． D．
5．PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC与平面PAB
所成角的余弦值是 （ ）
A． B． C． D．
6．Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，D是BC的中点，AC＝2，DE⊥平面ABC，
且DE＝1，则点E到斜边AC的距离是 （ ）
A． B． C． D．
7．如图，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是（ ）
A．PB⊥BC B．PD⊥CD
C．PD⊥BD D．PA⊥BD
8．如果α∥β，AB和AC是夹在平面α与β之间的
两条线段，AB⊥AC，且AB＝2，直线AB与平面
α所成的角为30°，那么线段AC的长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若a, b表示两条直线，表示平面，下面命题中正确的是 （ ）
A．若a⊥, a⊥b，则b// B．若a//, a⊥b，则b⊥α
C．若a⊥,b，则a⊥b D．若a//, b//，则a//b
10．如果直角三角形的斜边与平面平行，两条直角边所在直线与平面所成的角分别为
，则 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题每小题6分，共24分）
11．已知△ABC，点P是平面ABC外一点，点O是点P在平面ABC上的射影，（1）若点P
到△ABC的三个顶点的距离相等，那么O点一定是△ABC的 ；（2）若
点P到△ABC的三边所在直线的距离相等且O点在△ABC内，那么O点一定是△ABC
的 ．
12．已知△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC所在平面外一点P到此三角形
三个顶点的距离都是14，则点P到平面ABC的距离是
13．如图所示，矩形ABEF与矩形EFDC相交于EF，
且BE⊥CE，AB＝CD＝4，BE＝3，CE＝2，
∠EAC＝α，∠ACD＝β，则cosα∶cosβ＝ ．
14．AB∥CD，它们都在平面内，且相距28．EF∥，且相距15．
EF∥AB，且相距17．则EF和CD间的距离为 ．
三、解答题（共76分）
15．（12分）如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.
16．（12分）A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求AB与平面BCD所成角的余弦值.
17．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、
PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若PDA＝45，求EF与平面ABCD所成的角的大小．
18．（12分）在中，，线段平面，点在平面上的射
影为H.求证：H不可能是的垂心.
19．（14分）AB是⊙O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，
P为⊙O所在平面外一点，且PA⊥⊙O， PB与平面所成角为45
（1）证明：BC⊥平面PAC ；
（2）求点A到平面PBC的距离．
20．（14分）如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，
AN⊥PC于N.
（1）求证：BC⊥面PAC；
（2）求证：PB⊥面AMN.
（3）若PA=AB=4，设∠BPC=θ，试用tanθ表示△AMN
的面积，当tanθ取何值时，△AMN的面积最大？
最大面积是多少？
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D A D D C D C B
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．外心、内心 12．7 13． 5：4 14． 39或25
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分） 解：连结BC1交B1C于O，连结A1O
在正方体ABCD—A1B1C1D1中各个面为正方形，设棱长为a,
∵A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,∴A1B1⊥BC1.∵BC1⊥B1C,∴BC1⊥平面A1B1CD
∴A1O为A1B在平面A1B1CD内的射影,∴∠BA1O是A1B与平面A1B1CD所成的角
在Rt△A1BO中，∴A1B=a,OB=a,∴sinBA1O=
又∵∠BA1O为锐角,∴∠BA1O=30°,即A1B和平面A1B1CD所成的角为30°
16．(12分) 解（1）∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°， AC=AD=2，AB=3， ∴△ABC≌△ABD，BC=BD.取CD的中点M，连AM、BM，则CD⊥AM，CD⊥BM. ∴CD⊥平面ABM，于是AB⊥BD.
（2）过A作于O，∵CD⊥平面ABM，∴CD⊥AO，∴AO⊥面BCD，
∴BM是AB在面BCD内的射影，这样∠ABM是AB与平面BCD所成的角.
在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，.
在△ACD中， AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD是正三角形，AM=.
在Rt△BCM中，BC=，CM=1，.
17．(12分) 证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE
（1）在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点
∴ FO∥PA …………① 在△ABC中，
∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又
∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②
综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD
∵ EF 平面EFO ∴ EF∥平面PAD．
（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD
∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC
∴ EO为EF在平面AC内的射影 ∴ CD⊥EF．
（3）若PDA＝45，则 PA＝AD＝BC ∵ EOBC，FOPA
∴ FO＝EO 又 ∵ FO⊥平面AC ∴ △FOE是直角三角形 ∴ FEO＝45．
18．（12分）证明：假设是的垂心
连结并延长与相交
∵平面
∴是在平面内的射影
又∵
∴ 又∵平面
∴是在平面内的射影
∴
这与矛盾
∴不可能是的垂心
19．（14分）解：（1）∵PA⊥平面ABC ∴PA⊥BC
∵AB是⊙O的直径，C为圆上一点∴BC⊥AC
∴BC⊥平面PAC
（2）过A作AD⊥PC于D∵BC⊥平面PAC，BC平面PBC
∴PAC⊥PBC，PC为交线 ∴AD⊥平面PBC ∴AD即为A到平面PBC的距离.
依题意，∠PBA为PB与面ABC所成角，即∠PBA＝45°∴PA=AB=2，AC=1，
可得PC=∵AD×PC＝PA×AC
∴AD＝， 即A到平面PBC的距离为…
20．（14分）（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC.
∴PA⊥BC，又AB为斜边，∴BC⊥AC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC.
（2）证明：∵BC⊥平面PAC，AN平面PAC ∴BC⊥AN，又AN⊥PC，且BC∩PC=C，
∴AN⊥面PBC，又PB平面PBC.∴AN⊥PB，
又∵PB⊥AM，AM∩AN=A ，∴PB⊥平面AMN.
（3）解：在Rt△PAB中，PA=AB=4，∴PB=4，
∵PM⊥AB，∴AM=PB=2，∴PM=BM=2
又∵PB⊥面AMN，MN平面AMN.∴PB⊥MN,
∵MN=PM·tanθ=2tanθ,∵AN⊥平面PBC，MN平面PBC.∴AN⊥MN
∵AN=
∴当tan2θ=,即tanθ=时，S△AMN有最大值为2，
∴当tanθ=时，S△AMN面积最大，最大值为2．
F
E
P
D
C
B
A
O
PAGEPAGE
空间角和距离
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线m与平面间距离为d，那么到m与距离都等于2d的点的集合是 （ ）
A．一个平面 B．一条直线 C．两条直线 D．空集
2．异面直线a、b所成的角为，a、b与平面都平行，b平面，则直线a与平面所成的角 （ ）
A．与相等 B．与互余 C．与互补 D．与不能相等．
3．在正方体ABCD—ABCD中，BC与截面BBDD所成的角为 （ ）
A． B． C． D．arctan2
4．在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S－EFG中必有 （ ）
A．SG⊥△EFG所在平面 B．SD⊥△EFG所在平面
C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面
5．有一山坡，它的倾斜角为30°，山坡上有一条小路与斜坡底线成45°角，某人沿这条小路向上走了200米，则他升高了 （ ）
A．100米 B．50米 C．25米 D．50米
6．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小为 （ ）
A．arccos B．arccos C． D．
7．正四面体A—BCD中E、F分别是棱BC和AD之中点，则EF和AB所成的角 （ ）
A．45 B．60 C．90 D．30
8．把∠A=60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，则AC与BD的距离为 （ ）
A． a B． a C． a D． a
9．若正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角为α，则下列各等式中成立的是 （ ）
A．0＜α＜ B．＜α＜ C．＜α＜ D．＜α＜
10．已知A（1，1，1），B（－1，0 ，4），C（2 ，－2，3），则〈，〉的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．从平面外一点P引斜线段PA和PB，它们与分别成45和30角，则APB的最大值是______最小值是_______
12．ABC中ACB=90，PA平面ABC，PA=2，AC=2，则平面PBC与平面PAC，平面ABC所成的二角的大小分别是______、_________．
13．在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，，，ＢＣ＝５，又ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝ＡＣ，则点Ｐ到平面ＡＢＣ的距离是 ．
14．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为 ．
三、解答题（共计76分）
15．（本小题满分12分）已知SA⊥平面ABC，SA=AB，AB⊥BC，SB=BC，E是SC的中点，
DE⊥SC交AC于D．
（1） 求证：SC⊥面BDE；
（2）求二面角E—BD—C的大小．
16．（本小题满分12分）如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点， 交于点．
(1) 求证：； (2) 在任意中有余弦定理：
．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．
17．（本小题满分12分）如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，
SD垂直于底面ABCD，SB=．
（1）求证BCSC；
（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的
大小．
18．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD中，D=BAD=90,AD=DC=AB=a,(如图一)将△ADC 沿AC折起，使D到．记面AC为,面ABC为．面BC为．
（1）若二面角AC为直二面角（如图二），求二面角BC的大小;
（2）若二面角AC为60（如图三），求三棱锥ABC的体积．
19．（本小题满分14分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证AM//平面BDE；
（2）求二面角ADFB的大小；
（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60．
20．（本题满分14分）如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直．点在上移动，点在上移动，若．
（1）求的长；
（2）当为何值时，的长最小；
（3）当长最小时，求面与面所成的二面角的大小．
参考答案
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C A B C A A D D
二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．750 ,150 12．900 ,300 13． 14．
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．(12分) （1）证明：（1）∵SB=BC E是SC的中点 ∴BE⊥SC ∵DE⊥SC∴SC⊥面BDE
（2）解：由（1）SC⊥BD∵SA⊥面ABC∴SA⊥BD∴BD⊥面SAC∴∠EDC为二面角E-BD-C的平面角
设SA=AB=a,则SB=BC=．
．
16．(12分) (1) 证：；
(2) 解：在斜三棱柱中，有，
其中为 平面与平面所组成的二面角．
上述的二面角为,在中，
，
由于，
有．
17．(12分) （1）证法一：如，∵底面ABCD是正方形， ∴BC⊥DC．
∵SD⊥底面ABCD，∴DC是SC在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理得BC⊥SC．
证法二：如图1，∵底面ABCD是正方形， ∴BC⊥DC．∵SD⊥底面ABCD，
∴SD⊥BC，又DC∩SD=D，∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC．
（2）解：如图2，过点S作直线在面ASD上，
∵底面ABCD为正方形，在面BSC上，
为面ASD与面BSC的交线．
∴∠CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角．（以下同解法一）
（3）解1：如图2，∵SD=AD=1，∠SDA=90°，
∴△SDA是等腰直角三角形．又M是斜边SA的中点，
∴DM⊥SA．∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影．由三垂线定理得DM⊥SB．
∴异面直线DM与SB所成的角为90°．
解2：如图3，取AB中点P，连结MP，DP．在△ABS中，由中位线定理得 MP//SB，是异面直线DM与SB所成的角．，又
∴在△DMP中，有DP2=MP2+DM2，
∴异面直线DM与SB所成的角为90°．
18．(12分) 解：（1）在直角梯形ABCD中， 由已知DAC为等腰直角三角形，
∴ , 过C作CH⊥AB，由AB=2，
可推得 AC=BC= ∴ AC⊥BC ．取 AC的中点E，连结，
则 ⊥AC 又 ∵ 二面角为直二面角，
∴ ⊥ 又 ∵ 平面 ∴ BC⊥ ∴ BC⊥，而，
∴ BC⊥ ∴ 为二面角的平面角．
由于， ∴二面角为．
（2）取AC的中点E，连结，再过作，垂足为O，连结OE．
∵ AC⊥， ∴ AC⊥ ∴ 为二面角的平面角，
∴ ． 在中，，
∴
19．（14分）解法一: (1)记AC与BD的交点为O,连接OE, ∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，
∴AM∥OE．∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDE．
(2)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，∵AB⊥AF， AB⊥AD， ∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂线定理得BS⊥DF．∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角．
在RtΔASB中，
∴∴二面角A—DF—B的大小为60 ．
（3）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，
∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF．在RtΔPQF中，∠FPQ=60 ，PF=2PQ．
∵ΔPAQ为等腰直角三角形，∴又∵ΔPAF为直角三
角形，∴，∴所以t=1或t=3(舍去),即点P是AC的中点．
解法二： （1）建立如图所示的空间直角坐标系．
设，连接NE， 则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,
∴, 又点A、M的坐标分别是,（
∴ =（∴且NE与AM不共线，∴NE∥AM．又∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDF．
（2）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF．
∴为平面DAF的法向量．
∵=（·=0，
∴=（·=0得
，，∴NE为平面BDF的法向量．
∴cos<=∴AB与NE的夹角是60 ．即所求二面角A—DF—B的大小是60 ．
（3）设P(t,t,0)(0≤t≤)得∴=（，0，0）
又∵PF和BC所成的角是60 ．∴
解得或（舍去），即点P是AC的中点．
20．(14分) 解：（1）作∥交于点，∥交于点，连结，依题意可得∥，且，即是平行四边形∴
由已知，
∴又，，
即
∴
（2）由（Ⅰ），,所以，当时，
即、分别移动到、的中点时，的长最小，最小值为．
（3）取的中点，连结、，∵，，为的中点
∴⊥，⊥，∠ 即为二面角的平面角,又，所以，由余弦定理有, 故所求二面角
图1
图2
图3
PAGE旋转体
1、 选择题（其中每题只有一个正确答案）（每题3分，共45分）
1．一个长方体长宽高的长为1∶2∶3，表面积为198，这个长方体体积为（ ）
（A）162 （B）162 （C）81 （D）81
2．圆锥侧面积为全面积的，则侧面展开图圆心角等于（ ）
（A） （B）π （C）2π （D）以上都不对
3．如果圆台上、下底面半径之比为3∶5，那么它的中截面截成的上、下圆台的侧面积之比为（ ）
（A）3∶5 （B）9∶25 （C）49∶81 （D）7∶9
4．等边圆柱的轴截面面积为S，则它的侧面积为（ ）
（A）πS （B）πS （C）2πS （D）4πS
5．设地球半径为R，在北纬30°圈上有甲、乙两地，它们经度差为120°，则甲、乙两地的纬线长为（ ）
（A）πR （B）πR （C）πR （D）πR
6．棱长为a的正方体外接球的表面积为（ ）
（A）4πa2 （B）3πa2 (C)2πa2 （D）πa2
7．当圆锥的侧面积和底面积比值为时圆锥轴截面的顶角是（ ）
（A）120° （B）90° （C）45° （D）30°
8．若圆锥和圆柱的高和体积都相等，则它们轴截面面积之比为（ ）
（A）∶2 （B）3∶2 （C）3∶1 （D）∶1
9．平行于圆锥底面的平面，把圆锥的高三等分，则圆锥被分成三部分的体积之比为（ ）
（A）1∶2∶3 （B）1∶4∶9 （C）1∶7∶19 （D）1∶8∶27
10．圆台体积为πcm3,侧面展开图是半圆环，圆台底面的大半径是小半径的3倍，则这圆台的上底面半径为（ ）
（A）1cm （B）2cm （C）3cm （D）cm
11．球的外切圆台的上、下底半径分别为1和3，则球的体积为（ ）
（A）4π （B）3π （C）32π （D）π
12．分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为V1、V2、V3则（ ）
（A） （B） （C）
（D）
13．圆锥的高为h，底面半径为R，则这个圆锥的内接正方体的棱长为（ ）
（A） （B） （C） （D）
14．圆柱的一个底面面积为S，侧面展开图为正方形，则这圆柱的侧面积为（ ）
（A）4S （B）4πS （C）πS （D）πS
15．圆台轴截面的两条对角线互相垂直，且上、下底面半径之比为3∶4，若圆台的侧面积为140πcm2，则圆台的母线长（ ）
（A）10cm （B）8cm （C）7cm （D）5cm
二、填空题（每空3分，共15分）
1．在半径为5cm的球面上有A、B、C三点，已知AB=6.4cm，BC=4.8cm，CA=8cm，那么过这三点的平面和球心距离为（ ）
2．过高为10cm的圆锥顶点作一个与底面成45°角的截面，这截面将底面圆周截去，则这截面面积为（ ）
3．圆柱的内接三棱柱ABC——A’B’C’的一个侧面经过圆柱的轴，且A’ABB’为正方形，已知AC∶BC=4∶3，则过BCA’的平面与圆柱底面所成角的正切值为（ ）
4．已知圆锥底面圆周上有A、B两点距离为2，圆锥顶点到直线AB距离为，AB到圆锥轴的距离为1，则该圆锥体积为（ ）
5．圆锥的母线长为3cm，底面半径为1cm，底面圆周上有一点A，由A点出发绕圆锥侧面一周到点A的最短距离为（ ）
三、解答题（共40分）
1．已知圆台的上、下底面半径分别为20cm，30cm，高为18cm，过它的两条母线作一平面截去上底面圆周的
①求证：这个截面截下底面圆周也是
②求这个截面面积 （6分）
2．过圆锥顶点S作截面SAB与底面成60°二面角，且分底面圆周为1∶2两段。已知截面面积为24cm2。求底面圆心到SAB的距离 （6分）
3．圆柱的高为4cm，底面半径为3cm，已知上底面一条半径OA与下底面的一条半径O’B’成60°角求①直线AB’与圆柱的轴OO’所成的角的正切。②线段AB’的长 （6分）
4．在一个底面半径为R的圆锥中，有一个高为χ的内接圆柱，求
①圆柱侧面积
②当χ为何值时，圆柱侧面积最大？ (8分)
5.一个倒等边圆锥的容器中注满水，再放一个与底面,侧面都相切的且半径为R的球，然后再轻轻将球取出，求此时水面高度。(6分)
6.已知SA、SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，底面半径为r，C为SB上一点，
求证：①AC与平面SOB不垂直
②若∠AOB=60°，C为SB中点，AC与底面成45°，求圆锥体积（8分）
答案
一、1．B 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．A 8．A 9．C 10．A 11．A 12．C 13．B 14．B 15．A
二、1．3cm 2．100cm2 3． 4．π 5．3cm
三、1．①证明：∵O1、O分别是圆台上、下底面圆的圆心，B1、B分别在上、下底面圆周上
∴O1、O必与B1B相交于一点。
∴O1B1OB为平面图形。 ∴O1B1∥OB
同理：O1A1∥OA 又各边方向相同
∴∠AOB=∠A1O1B1=90°
∴这个截面截下底面圆周也是
②解：A=30cm ，A1B1=20cm ，
O1G=10cm ，CO=15cm
∴CG=
∴S截面=
2．解：过O作OC⊥AB于C，则C为AB中点，连结SC，
∵SA=SB ∴SC⊥AB
∴∠SCO为截面SAB与底面所成角
∴∠SCO=60°， ∵SO⊥底面 ∴SO⊥AB
又∵SO∩SC=S ∴AB⊥平面SOC， 又∵AB平面SAB
∴平面SAB⊥平面SCO， 交线为SC
过O作OD⊥SC于D， 则OD⊥平面SAB
∴OD即为点O到截面SAB的距离
设底面半径为R，由AB分圆周为1∶2，
∴∠AOB=120°， ∴
SC=R ∵S截面ABS=
∴R2=48 R=4 ∴OC=2
∴OD=OC·Sin60°=3（cm）
3．解：①∵OO’∥AC ∴∠B’AC为OO’与AB’成的角，
∵O’B’与OA成60°角，而平面OAB∥平面O’B’C ∴OA∥O’C
∴∠C’O’B’=60° ∴B’C=O’B’=3cm ∵AC⊥平面O’B’C
∴∠B’CA=90° ∴tg∠B’AC=
②
4．解：①设圆柱底面半径为r，它的侧面积S圆柱侧=2πrχ
∵ ∴
∴
②∵S圆柱侧中，—＜0， ∴这个二次函数有最大值，这时圆柱高为
∴当圆柱高为已知圆锥高的一半时，其侧面积最大。
5．解：如图：是轴截面图形，水面与圆锥底面平行
设球取出后水面高度为h，在等边三角形ABC中，OE=R，∠OBE=30°∴OB=2R ∠OBE=30°
∴OB=2R，BD=BO+OD=3R BE=CD=R 则 V水=V圆锥—V球
=
=
又∵V圆锥∶V水=（BD）3∶（BH）3=（3R）3∶h3
∴∶=27R3∶h3
∴h=
6．证明：①假设AC⊥平面SOB，过A作AD⊥OB交OB于D，∵SD⊥平面AOB 而AD平面AOB，∴SO⊥AD ∵SO∩OB=D，∴AD⊥平面SOB，又AC⊥平面SOB，出现矛盾。
②∵C为中点，过C 作CE⊥OB于E 则CE=SO，CE∥SO
∵∠AOB=60° ∴△AOB为等边三角形，CE⊥平面AOB
AE=r， ∠CAE为AC与底面所成角 ∴∠CAE=45°
∴CD=AE=r ∴V=
PAGE立体几何综合测试（一）
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、线段在平面内，则直线与平面的位置关系是
A、 B、 C、由线段的长短而定 D、以上都不对
2、下列说法正确的是
A、三点确定一个平面 B、四边形一定是平面图形
C、梯形一定是平面图形 D、平面和平面有不同在一条直线上的三个交点
3、垂直于同一条直线的两条直线一定
A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能
4、在正方体中，下列几种说法正确的是
A、 B、
C、与成角 D、与成角
5、若直线平面，直线，则与的位置关系是
A、 B、与异面 C、与相交 D、与没有公共点
6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有
A、1 B、2 C、3 D、4
7、在空间四边形各边上分别取四点，如果与能相交于点，那么
A、点必在直线上 B、点必在直线BD上
C、点必在平面内 D、点必在平面外
8、a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若bM，
a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确命题的个数有
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
9、一个棱柱是正四棱柱的条件是
A、 底面是正方形，有两个侧面是矩形
B、 底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C、 底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D、 每个侧面都是全等矩形的四棱柱
10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是
A、 B、 C、 D、
11、已知二面角的平面角是锐角，内一点到的距离为3，点C到
棱的距离为4，那么的值等于
A、 B、 C、 D、
12、如图:直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和
CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积为
A、 B、 C、 D、
二、填空题（每小题4分，共16分）
13、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是_____
(填”大于、小于或等于”).
14、正方体中，平面和平面的位置关系为
15、已知垂直平行四边形所在平面，若，平行则四边形一定是 .
16、如图，在直四棱柱A1B1C1 D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_________时，有A1 B⊥B1 D1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)
第Ⅱ卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题（每小题4分，共16分）
13、 14、 15、 16、
三、解答题(共74分,要求写出主要的证明、解答过程)
17、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.(10分)
18、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH∥BD. (12分)
19、已知中，面，，求证：面．(12分)
20、一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积与的函数关系式,并求出函数的定义域. (12分)
21、已知正方体，是底对角线的交点.求证：（１）面；
(2）面． (14分)
22、已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？ (14分)
参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
ACDDD BCBDD DB
二、填空题（每小题4分，共16分）
13、 14、 15、 16、
三、解答题（共74分,要求写出主要的证明、解答过程）
17、解:设圆台的母线长为,则 1分
圆台的上底面面积为 3分
圆台的上底面面积为 5分
所以圆台的底面面积为 6分
又圆台的侧面积 8分
于是 9分
即为所求. 10分
18、证明：面，面
面 6分
又面，面面，
12分
19、证明： 1分
又面 4分
面 7分
10分
又
面 12分
20、解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为.
在中,
, 3分
所以, 6分
于是 10分
依题意函数的定义域为 12分
21、证明：（1）连结，设
连结， 是正方体 是平行四边形
且 2分
又分别是的中点，且
是平行四边形 4分
面，面
面 6分
（2）面 7分
又， 9分
11分
同理可证， 12分
又
面 14分
22、证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，
∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC. 3分
又
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC. 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC. 9分
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴ 11分
由AB2=AE·AC 得 13分
故当时，平面BEF⊥平面ACD. 14分二 面 角
二面角问题因其需要充分运用立体几何第一章的线线、线面、面面关系，具有综合性强，灵活性大的特点，因此，一直成为高考、会考的热点。求解二面角问题一般可分为直接法和间接法二大类。
1、 直接法
直接法就是根据已知条件，首先作出二面角的平面角，再求平面角大小的方法。求作二面角平面角的方法主要有：
①利用定义
即在二面角-l-的棱l上任取一点，然后在两个半平面内分别作棱的垂线a,b，则这两条垂线a,b所成的角即为二面角的平面角。
例1、 在三棱锥P-ABC中，
APB=BPC=CPA=600，求二面角A-PB-C的余弦值。
分析：所求二面角与底面ABC所在的位置无关，故不妨利用定义求解。
略解：在二面角的棱PB上任取一点Q，在半平面PBA和半平面PBC上作QMPB，QNPB，则由定义可得MQN即为二面角的平面角。设PM=a,则在RtPQM和RtPQN中可求得QM=QN=a；又由PQNPQM得PN=a,故在正三角形PMN中MN=a,在三角形MQN中由余弦定理得cosMQN=，即二面角的余弦值为。
②利用三垂线定理。
即从半平面内的任一点A出发向另一个半平面引一条直线AH，过H作棱l的垂线HG，垂足为G，连AG，则由三垂线定理可证lAG,故AGH就是二面角-l-的平面角。三垂线定理是求解二面角问题的最常用的方法，其关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平面内的某一个点出发，且垂直于另一个半平面。
例2、 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成300角，求二面角B-B1C-A的正弦值。
分析：易知，平面ABC与平面BCC1B1垂直故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线。
略解：由直三棱柱性质得平面ABC平面BCC1B1，过A作AN平面BCC1B1，垂足为N，则AN平面BCC1B1，（AN即为我们要找的垂线）在平面BCB1内过N作NQ棱B1C，垂足为Q，连QA，则NQA即为二面角的平面角。
∵AB1在平面ABC内的射影为AB，CAAB，∴CAB1A，AB=BB1=1，得AB1=。∵直线B1C与平面ABC成300角，∴B1CB=300，B1C=2，Rt△B1AC中，由勾股定理得AC=，∴AQ=1。在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN=。
sinAQN==。即二面角B-B1C-A的正弦值为。
例3、如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E是CC1的中点，求二面角B-B1E-D的余弦值。
分析：图中二面角的二个半平面分别为△DEB1所在的半平面和△BEB1所在的半平面，即正方体的右侧面，它们的交线即二面角的棱B1E。不难找到DC即为从其中的一个半平面出发，并且垂直于另一个半平面的直线。
略解： 由题意可得直线DC平面BEB1，且垂足为C，过C作CFB1E于F（如图，F在B1E的延长线上），连DF，则由三垂线定理可得DFC即二面角的平面角。△B1C1E~△CFE，∴CF=；DF=
∴cosDFC=。
即二面角的平面角的余弦值为。
③作棱的垂面
即若能作一个平面与棱垂直，则可证该垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角。
例4、如图，在平面角为600的二面角-l-内有一点P，P到、分别为PC=2cm,PD=3cm,则（1）垂足的连线CD等于多少？（2）P到棱l的距离为多少？
分析：对于本题很多同学可能会这么做：过C在平面内作棱l的垂线，垂足为E，连DE，则CED即为二面角的平面角。
这么作辅助线看似简单，实际上在证明CED为二面角的平面角时会有一个很棘手的问题，就是要证明P、D、E、C四点共面。故不妨通过作垂面的方法来作二面角的平面角。
略解：∵PC、PD是两条相交直线，∴PC、PD确定一个平面，设交棱l于E，连CE、DE。∵PC⊥，∴PC⊥l,又∵PD⊥，∴PD⊥l。∴l⊥平面，则l⊥CE、DE，故CED即为二面角的平面角，即CED=600。∴CPD=1200，△PCD中，PD=3，PC=2，由余弦定理得CD=cm。由PD⊥DE，PC⊥CE可得P、D、E、C四点共圆，且PE为直径，由正弦定理得PE=2R===cm。
2、 间接法
所谓间接法，就是不直接作出二面角的平面角，利用一个基本结论：即如图，在一个半平面内有一个平面图形ACD另一个半平面内的平面图形CDE为平图形ACD在平面内的射影，设二面角大小为,射影图形的面积为S射，原来图形的面积为S，则可证明cos=（证明略）。
例5、如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1 所成角的余弦值。
分析：图中并没有直接画出平面AB1E和底面A1B1C1D1的交线，即二面角的棱不明确，若利用直接法作出二面角的平面角，则必须先求作二个平面的交线，这给解题带来一定的难度，所以不妨利用间接法求解。
略解：显然△AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为△A1B1C1，故这两个平面所成二面角的余弦值为。
几点说明：
1 三垂线定理是求解二面角的平面角的最主要的方法，要引起重视；
2 有些问题既可以用直接法求解，也可用间接法求解。如例3，可知△DEB1在右侧面上的射影为△CEB1，故所求余弦值=。
3 要重视化归思想在立体几何中的应用，如例3中在右侧面中计算CF的长时，可转化成一个平面问题。
练习：
1、（浙江省99年高中证书会考试题）如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，点A1在底面的射影O在AB上，已知侧棱A1A与底面ABCD成450角，A1A=a。求二面角A1-AC-B的平面角的正切值。（答案：）
2、（94年上海高考题）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，ABC=900，AB=a,AD=3a,sinADC=,又PA⊥平面ABCD，PA=a，求二面角P-CD-A的大小。（答案：arctg）
3、（98年全国高考试题）已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C。
（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；
（Ⅲ）求顶点C到侧面A1ABB1的距离。
（答案：Ⅰ、450；Ⅱ、600；Ⅲ、）
a
b
l
A
B
C
N
M
P
Q
A
B
A
H
G
C
B1
C1
A1
N
Q
P
E
D
C
l
E
A
D
C
B
A
C
D
D1
A1
B1
C1
E
F
B
C
C1
B1
E
F
C1
C
B1
A
D
B
A1
O1
D1
P
BB
C
D
AA
A
B
C
A1
C1
B1
