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云南省保山市文山州2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．（2023高二下·保山期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由得：x-1≥1或x-1≤-1，得：x≥2或x≤0，
所以集合B=，
所以，
又因为，
所以
故答案为：A.
【分析】解不等式求得集合B，再利用补集、交集的运算法则求解。
2．（2023高二下·保山期末）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为
所以复数z对应的点是（-2，-3），位于第三象限。
故答案为：C.
【分析】利用复数的几何意义求解。
3．（2023高二下·保山期末）已知，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】弦切互化；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：因为，
所以
故答案为：B.
【分析】运用诱导公式、二倍角公式求解。
4．（2023高二下·保山期末）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的线性运算；向量加法的平行四边形法则
【解析】【解答】解：A、，由图形可知：与是相反向量，故A错误；
B、
由已知易得：（如图）AC=AE=EC，AD平分∠EAC，点H是EC的中点，AH= AD，
所以，故B错误；
C、由图形可得：，
，
所以，故C错误；
D、
由图知：，，
所以，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据正六边形的特点，利用向量的线性运算，数量积公式，平行四边形法则等即可求解。
5．（2023高二下·保山期末）已知首项为1的等比数列满足成等差数列，则公比（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】等比数列的性质；等差中项
【解析】【解答】解：由成等比数列，可得：，
又因为数列是首项为1，公比为q的等比数列，
所以，解得：q=2，
故答案为：2
【分析】利用等比数列的性质即可求解。
6．（2023高二下·保山期末）在疫情防控期间，某社区开展了“疫情要防住，文明在行动”核酸检测志愿服务活动.活动期间，要安排5名志愿者完成，，三项工作.已知每项工作至少有一人参加，每人只能参加一项工作，则不同的安排方式共有（ ）
A．150种 B．120种 C．90种 D．60种
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一步：分成三组，
第一种分法：1、1、3，共有种分法；
第二种分法：1、2，、2，共有种分法；
第二步：分到A、B、C三个工作中，共有种分法；
第三步：由分步乘法公式得：一共有（10+15）×6=150种。
故答案为：A.
【分析】先将5名志愿者分成三组，两种分法：1、1、3或1、2、2，再分配到三个工作中。
7．（2023高二下·保山期末）已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为．若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：由题意做简图：
FA=FB=a，焦点F到渐近线的距离：FH=b，
因为∠AFB=60°，所以，
所以离心率，
故答案为：D.
【分析】利用双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长，再利用∠AFB=60°，得到的值，最后利用公式求解。
8．（2023高二下·保山期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，
则，
因为f(x)是奇函数，所以，所以g(x)是偶函数，
，
因为当时， 成立，
所以当时，，g(x)单调递减，
又因为g(x)是偶函数，
所以当时，g(x)单调递增，
又因为，，
，
所以b＜a＜c，
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，构造函数，判断函数g(x)的单调性，利用函数g(x)的单调性比较a、b、c的大小关系。
二、多选题
9．（2023高二下·保山期末）下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，的最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小；基本不等式
【解析】【解答】解：A、当c=0时，ac2=bc2=0，此时a、b的大小关系不确定，故A错误；
B、因为a＞b＞0，所以，即，故B错误；
C、由不等式的基本性质可得，C正确；
D、由基本不等式得：，
当且仅当，即x2+2=1时等号成立，此方程显然无解，取等号条件达不到，故D错误，
故答案为：ABD.
【分析】用特例法判断A选项，用作差法判断B选项，用不等式的基本性质判断C选项，用基本不等式中等号成立的条件判断D选项。
10．（2023高二下·保山期末）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点对称
C．的最小值为0
D．的图象关于直线对称
【答案】B,C
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的奇偶性与对称性；余弦函数的周期性；余弦函数的零点与最值
【解析】【解答】解：，
A、，最小正周期为π，A错误；
B、当时，，
是的对称中心，
所以f(x)的图像关于点对称，故B正确；
C、当时，f(x)取得最小值0，C正确；
D、当时，，不是的对称轴，故D错误；
故答案为：BC.
【分析】利用降幂升角公式对函数的解析式进行化简，转化为余弦型函数，再利用余弦函数的图象和性质求解。
11．（2023高二下·保山期末）为随机事件，已知，，下列结论中正确的是（ ）
A．若为互斥事件，则
B．若为互斥事件，则
C．若相互独立，则
D．若，则相互独立
【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、事件A、B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8，故A正确；
B、由公式得：，故B错误；
C、事件A、B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)，
所以P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.3-0.5×0.3=0.65，故C正确；
D、，则P(AB)=0.15=P(A)P(B)，所以事件A、B相互独立，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】利用互斥、对立事件概率的求法判断AB选项，根据独立事件乘法公式求P(A+B)进而判断C选项，利用条件概率公式和独立事件的判断方法求解D选项。
12．（2023高二下·保山期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体.如图，在堑堵中，，，则下列说法正确的是（ ）
A．四棱锥为阳马
B．三棱锥为鳖臑
C．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为
D．记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则
【答案】A,B,C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：A、因为在堑堵ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AA1⊥面ABC，面A1ACC1是矩形，
所以AB⊥AA1，所以AB⊥面A1ACC1，所以四棱锥B-A1ACC1是阳马，A正确；
B、由已知和A选项得：CC1⊥AC，CC1⊥BC，AB⊥AC，AB⊥AC1，
所以△ABC、△ACC1、△ABC1、△BCC1都是直角三角形，
所以三棱锥C1-ABC为鳖臑，故B正确；
C、△ABC是直角三角形，且斜边BC=2，所以AB2+AC2=4，
所以，
当且仅当时，等号成立，S△ABC取得最大值，
此时三棱锥C1-ABC的体积取得最大值，
因为AB⊥AC，AB⊥AC1，
所以∠C1AC是二面角C1-AB-C的平面角，
因为，CC1=2，∠ACC1=90°，所以AC1=，
所以，
即二面角C1-AB-C的余弦值为，故C正确；
D、由题意得：，
又因为，
所以，故D错误；
故答案为：ABC.
【分析】根据题目给出的阳马和鳖臑的定义判断AB选项，利用几何体的性质、二面角的求法判断CD选项。
三、填空题
13．（2023高二下·保山期末）设函数，则曲线在点处的切线方程是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：
因为 ，
所以，，
所以，
所以切线方程为：y-3=-(x-1)，即x+y-4=0，
故答案为：x+y-4=0.
【分析】利用导函数求切线斜率，进而得解。
14．（2023高二下·保山期末）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是 .
【答案】
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：根据已知条件可设方程为x2=-2py(p>0)，
将点（1，-4）代入方程得：1=8p，解得：p=，
所以抛物线的标准方程为：，
故答案为：
【分析】根据已知条件设出标准方程，代入点坐标求得参数p即可。
15．（2023高二下·保山期末）已知三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：根据已知条件，可将三棱锥补形为一个长方体，
三棱锥的外接球即长方体的外接球，
所以外接球的半径：，解得：R2=2，
所以外接球的表面积为S=4πR2=8π，
故答案为：8π.
【分析】将三棱锥补形为长方体，三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的体对角线是外接球的直径，即可得解。
16．（2023高二下·保山期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的第3个数6为第3行中两个3的和.记“杨辉三角”第行的第个数为，请用组合数第行写出 ，则 .
【答案】；
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由杨辉三角可知：
第四行第二个数是4，即；第三个数是6，即
第五行第二个数是5，即；第三个数是10，即
所以第n行第i个数ai=；
当n≥1时，，
故答案为：3n.
【分析】第一个空可由已知推导可得，第二个空可利用二项式定理求得。
四、解答题
17．（2023高二下·保山期末）已知数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足：，记的前项和为，求.
【答案】（1）解：①，
当时，②，
① ②得：，即，
，数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
（2）解：，
，
所以的前项和
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）利用公式和已知条件，求得an与an-1的关系式，进而求得通项公式an；
（2）由an求得bn，再运用分类求和的方法求得Tn。
18．（2023高二下·保山期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知，.
（1）求的大小；
（2）为上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段的最大值.
条件①：为的角平分线；条件②：为边上的中线.
【答案】（1）解：由余弦定理可得：，
所以，，
又，故
（2）解：选择条件①：
在中，由余弦定理，得，
即，故，
当且仅当时，等号成立，
又因为，
所以，
所以，
所以
故的最大值为3.
选择条件②：（方法一）
由题，平方得
，
在中，由余弦定理得，
即，所以.
当且仅当时，等号成立，
故有，
从而，故的最大值为3.
选择条件②：（方法二）
由题，平方得
，
在中，由余弦定理得，
代入上式得，
由得，
当且仅当时，等号成立，
故有，
从而，故的最大值为3.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦定理可求得∠C；
（2）选择条件1：由余弦定理和基本不等式可求得，再由，表示出CD，最后运用基本不等式求出CD的最大值。
选择条件2：
（方法一）由余弦定理和基本不等式可求得，再利用余弦定理表示出CD，最后运用基本不等式求出CD的最大值；
（方法二）由余弦定理和基本不等式可求得，再运用基本不等式求出CD的最大值。
19．（2023高二下·保山期末）民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献．已知某主要从事手工编织品的农民专业合作社共有100名编织工人，该农民专业合作社为了鼓励工人，决定对“编织巧手”进行奖励，为研究“编织巧手”是否与年龄有关，现从所有编织工人中抽取40周岁以上（含40周岁）的工人24名，40周岁以下的工人16名，得到的数据如表所示．
“编织巧手” 非“编织巧手” 总计
年龄40岁 19
年龄＜40岁 10
总计 40
参考公式：，其中．
参考数据：
0.100 0.050 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
（1）请完成答题卡上的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“编织巧手”与“年龄”是否有关；
（2）为进一步提高编织效率，培养更多的“编织巧手”，该农民专业合作社决定从上表中的非“编织巧手”的工人中采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训，再从这6人中随机抽取2人分享心得，求这2人中恰有1人的年龄在40周岁以下的概率．
【答案】（1）解：年龄在40周岁以上（含40周岁）的非“编织巧手”有5人，年龄在40周岁以下的“编织巧手”有6人．列联表如下：
“编织巧手” 非“编织巧手” 总计
年龄40岁 19 5 24
年龄<40岁 6 10 16
总计 25 15 40
零假设为：“编织巧手”与“年龄”无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“编织巧手”与“年龄”有关，此推断犯错的概率不大于0.010．
（2）解：由题意可得这6人中年龄在40周岁以上（含40周岁）的人数是2；年龄在40周岁以下的人数是4．
从这6人中随机抽取2人的情况有种，
其中符合条件的情况有种，
故所求概率．
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件，将列联表补充完整，计算出K2，与临界值表对比分析即可；
（2）根据分层抽样求出各层的人数，再利用古典概型求概率。
20．（2023高二下·保山期末）如图，四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，，且平面平面ABCD，.
（1）求证：；
（2）与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）解：证明：取AB的中点，连接，则由题意知为正三角形，
所以，
由等腰梯形知，设，则，，
故，即得，所以，
因为平面平面，，平面平面，平面PAD，
所以平面，又平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：由（1）得，，两两垂直，则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
因为平面，所以平面所成的角为，
设，则，，
则，，，，
则，，，
设平面PAB的法向量为，
则，即 ，
取，则，
设平面PBC的法向量为，
则，即，
取，则，
所以，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取AB的中点E，连接CE，由等腰梯形的性质和勾股定理可得AD⊥BD，由面面垂直的性质定理可得PD⊥面ABCD，从而得到PD⊥BD，再由线面垂直的判定定理可得BD⊥面PAD，进而得到结论；
（2）根据已知建立空间直角坐标系，分别求出二面角的两个面的法向量，利用向量的夹角公式求解。
21．（2023高二下·保山期末）已知椭圆经过点，离心率为，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点，.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若以P，Q为直径的圆恒过点A，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1）解：由题意知： ，可得： ，
则椭圆的标准方程为
（2）解：当直线的斜率不存在时，设，联立，解得，所以，，又，
所以由，解得或（舍去），此时直线方程为，
当直线的斜率存在时，设，
联立，消得到.
由得，，由韦达定理知，，，因为以P，Q为直径的圆恒过点，
由，
将，代入整理得，即，所以或 ，
当时，直线为，此时直线过点，不合题意，舍去，
当时，直线为，此时直线过定点
综上，直线恒过定点.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知得到关于参数的方程组，解方程组求参数，进而求得标准方程。
（2）分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，先求出直线斜率不存在时的直线方程；当直线斜率存在时，设出直线方程：y=kx+m，与椭圆的方程联立，运用韦达定理求得k与m的关系式，进而求出直线恒过的定点。
22．（2023高二下·保山期末）设函数
（1）讨论函数的单调性
（2）若函数有且只有一个零点时，实数m的取值范围．
【答案】（1）解：的定义域为，，
当时，，在单调递增，
当时，令解得，令解得，
所以，函数在单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在单调递增，
当时，函数在单调递增，在上单调递减
（2）解：由（1）可得，
令，得，
记，
因为函数有且只有一个零，所以函数与有且只有一个交点，
令，得，函数单调递增，
令，得，函数单调递减，
又，于是可得的图象如图，
由图可知，或，即或，
所以实数m的取值范围为或
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用导函数，对参数m分和两种情况讨论f(x)的单调性；
（2）将 函数有且只有一个零点 转化为函数与的图像有且只有一个交点，利用导函数分析h(x)的单调性、单调区间、极值、最值、变化趋势等，画出简图求解。
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云南省保山市文山州2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．（2023高二下·保山期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高二下·保山期末）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023高二下·保山期末）已知，则（ ）
A． B． C．3 D．
4．（2023高二下·保山期末）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023高二下·保山期末）已知首项为1的等比数列满足成等差数列，则公比（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2023高二下·保山期末）在疫情防控期间，某社区开展了“疫情要防住，文明在行动”核酸检测志愿服务活动.活动期间，要安排5名志愿者完成，，三项工作.已知每项工作至少有一人参加，每人只能参加一项工作，则不同的安排方式共有（ ）
A．150种 B．120种 C．90种 D．60种
7．（2023高二下·保山期末）已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为．若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二下·保山期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023高二下·保山期末）下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，的最小值为
10．（2023高二下·保山期末）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点对称
C．的最小值为0
D．的图象关于直线对称
11．（2023高二下·保山期末）为随机事件，已知，，下列结论中正确的是（ ）
A．若为互斥事件，则
B．若为互斥事件，则
C．若相互独立，则
D．若，则相互独立
12．（2023高二下·保山期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体.如图，在堑堵中，，，则下列说法正确的是（ ）
A．四棱锥为阳马
B．三棱锥为鳖臑
C．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为
D．记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则
三、填空题
13．（2023高二下·保山期末）设函数，则曲线在点处的切线方程是 .
14．（2023高二下·保山期末）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是 .
15．（2023高二下·保山期末）已知三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球的表面积为 .
16．（2023高二下·保山期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的第3个数6为第3行中两个3的和.记“杨辉三角”第行的第个数为，请用组合数第行写出 ，则 .
四、解答题
17．（2023高二下·保山期末）已知数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足：，记的前项和为，求.
18．（2023高二下·保山期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知，.
（1）求的大小；
（2）为上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段的最大值.
条件①：为的角平分线；条件②：为边上的中线.
19．（2023高二下·保山期末）民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献．已知某主要从事手工编织品的农民专业合作社共有100名编织工人，该农民专业合作社为了鼓励工人，决定对“编织巧手”进行奖励，为研究“编织巧手”是否与年龄有关，现从所有编织工人中抽取40周岁以上（含40周岁）的工人24名，40周岁以下的工人16名，得到的数据如表所示．
“编织巧手” 非“编织巧手” 总计
年龄40岁 19
年龄＜40岁 10
总计 40
参考公式：，其中．
参考数据：
0.100 0.050 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
（1）请完成答题卡上的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“编织巧手”与“年龄”是否有关；
（2）为进一步提高编织效率，培养更多的“编织巧手”，该农民专业合作社决定从上表中的非“编织巧手”的工人中采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训，再从这6人中随机抽取2人分享心得，求这2人中恰有1人的年龄在40周岁以下的概率．
20．（2023高二下·保山期末）如图，四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，，且平面平面ABCD，.
（1）求证：；
（2）与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
21．（2023高二下·保山期末）已知椭圆经过点，离心率为，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点，.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若以P，Q为直径的圆恒过点A，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标.
22．（2023高二下·保山期末）设函数
（1）讨论函数的单调性
（2）若函数有且只有一个零点时，实数m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由得：x-1≥1或x-1≤-1，得：x≥2或x≤0，
所以集合B=，
所以，
又因为，
所以
故答案为：A.
【分析】解不等式求得集合B，再利用补集、交集的运算法则求解。
2．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为
所以复数z对应的点是（-2，-3），位于第三象限。
故答案为：C.
【分析】利用复数的几何意义求解。
3．【答案】B
【知识点】弦切互化；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：因为，
所以
故答案为：B.
【分析】运用诱导公式、二倍角公式求解。
4．【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的线性运算；向量加法的平行四边形法则
【解析】【解答】解：A、，由图形可知：与是相反向量，故A错误；
B、
由已知易得：（如图）AC=AE=EC，AD平分∠EAC，点H是EC的中点，AH= AD，
所以，故B错误；
C、由图形可得：，
，
所以，故C错误；
D、
由图知：，，
所以，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据正六边形的特点，利用向量的线性运算，数量积公式，平行四边形法则等即可求解。
5．【答案】C
【知识点】等比数列的性质；等差中项
【解析】【解答】解：由成等比数列，可得：，
又因为数列是首项为1，公比为q的等比数列，
所以，解得：q=2，
故答案为：2
【分析】利用等比数列的性质即可求解。
6．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一步：分成三组，
第一种分法：1、1、3，共有种分法；
第二种分法：1、2，、2，共有种分法；
第二步：分到A、B、C三个工作中，共有种分法；
第三步：由分步乘法公式得：一共有（10+15）×6=150种。
故答案为：A.
【分析】先将5名志愿者分成三组，两种分法：1、1、3或1、2、2，再分配到三个工作中。
7．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：由题意做简图：
FA=FB=a，焦点F到渐近线的距离：FH=b，
因为∠AFB=60°，所以，
所以离心率，
故答案为：D.
【分析】利用双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长，再利用∠AFB=60°，得到的值，最后利用公式求解。
8．【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数，
则，
因为f(x)是奇函数，所以，所以g(x)是偶函数，
，
因为当时， 成立，
所以当时，，g(x)单调递减，
又因为g(x)是偶函数，
所以当时，g(x)单调递增，
又因为，，
，
所以b＜a＜c，
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，构造函数，判断函数g(x)的单调性，利用函数g(x)的单调性比较a、b、c的大小关系。
9．【答案】A,B,D
【知识点】不等关系与不等式；不等式比较大小；基本不等式
【解析】【解答】解：A、当c=0时，ac2=bc2=0，此时a、b的大小关系不确定，故A错误；
B、因为a＞b＞0，所以，即，故B错误；
C、由不等式的基本性质可得，C正确；
D、由基本不等式得：，
当且仅当，即x2+2=1时等号成立，此方程显然无解，取等号条件达不到，故D错误，
故答案为：ABD.
【分析】用特例法判断A选项，用作差法判断B选项，用不等式的基本性质判断C选项，用基本不等式中等号成立的条件判断D选项。
10．【答案】B,C
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的奇偶性与对称性；余弦函数的周期性；余弦函数的零点与最值
【解析】【解答】解：，
A、，最小正周期为π，A错误；
B、当时，，
是的对称中心，
所以f(x)的图像关于点对称，故B正确；
C、当时，f(x)取得最小值0，C正确；
D、当时，，不是的对称轴，故D错误；
故答案为：BC.
【分析】利用降幂升角公式对函数的解析式进行化简，转化为余弦型函数，再利用余弦函数的图象和性质求解。
11．【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、事件A、B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8，故A正确；
B、由公式得：，故B错误；
C、事件A、B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)，
所以P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.3-0.5×0.3=0.65，故C正确；
D、，则P(AB)=0.15=P(A)P(B)，所以事件A、B相互独立，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】利用互斥、对立事件概率的求法判断AB选项，根据独立事件乘法公式求P(A+B)进而判断C选项，利用条件概率公式和独立事件的判断方法求解D选项。
12．【答案】A,B,C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：A、因为在堑堵ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AA1⊥面ABC，面A1ACC1是矩形，
所以AB⊥AA1，所以AB⊥面A1ACC1，所以四棱锥B-A1ACC1是阳马，A正确；
B、由已知和A选项得：CC1⊥AC，CC1⊥BC，AB⊥AC，AB⊥AC1，
所以△ABC、△ACC1、△ABC1、△BCC1都是直角三角形，
所以三棱锥C1-ABC为鳖臑，故B正确；
C、△ABC是直角三角形，且斜边BC=2，所以AB2+AC2=4，
所以，
当且仅当时，等号成立，S△ABC取得最大值，
此时三棱锥C1-ABC的体积取得最大值，
因为AB⊥AC，AB⊥AC1，
所以∠C1AC是二面角C1-AB-C的平面角，
因为，CC1=2，∠ACC1=90°，所以AC1=，
所以，
即二面角C1-AB-C的余弦值为，故C正确；
D、由题意得：，
又因为，
所以，故D错误；
故答案为：ABC.
【分析】根据题目给出的阳马和鳖臑的定义判断AB选项，利用几何体的性质、二面角的求法判断CD选项。
13．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：
因为 ，
所以，，
所以，
所以切线方程为：y-3=-(x-1)，即x+y-4=0，
故答案为：x+y-4=0.
【分析】利用导函数求切线斜率，进而得解。
14．【答案】
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：根据已知条件可设方程为x2=-2py(p>0)，
将点（1，-4）代入方程得：1=8p，解得：p=，
所以抛物线的标准方程为：，
故答案为：
【分析】根据已知条件设出标准方程，代入点坐标求得参数p即可。
15．【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：根据已知条件，可将三棱锥补形为一个长方体，
三棱锥的外接球即长方体的外接球，
所以外接球的半径：，解得：R2=2，
所以外接球的表面积为S=4πR2=8π，
故答案为：8π.
【分析】将三棱锥补形为长方体，三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的体对角线是外接球的直径，即可得解。
16．【答案】；
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由杨辉三角可知：
第四行第二个数是4，即；第三个数是6，即
第五行第二个数是5，即；第三个数是10，即
所以第n行第i个数ai=；
当n≥1时，，
故答案为：3n.
【分析】第一个空可由已知推导可得，第二个空可利用二项式定理求得。
17．【答案】（1）解：①，
当时，②，
① ②得：，即，
，数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
（2）解：，
，
所以的前项和
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）利用公式和已知条件，求得an与an-1的关系式，进而求得通项公式an；
（2）由an求得bn，再运用分类求和的方法求得Tn。
18．【答案】（1）解：由余弦定理可得：，
所以，，
又，故
（2）解：选择条件①：
在中，由余弦定理，得，
即，故，
当且仅当时，等号成立，
又因为，
所以，
所以，
所以
故的最大值为3.
选择条件②：（方法一）
由题，平方得
，
在中，由余弦定理得，
即，所以.
当且仅当时，等号成立，
故有，
从而，故的最大值为3.
选择条件②：（方法二）
由题，平方得
，
在中，由余弦定理得，
代入上式得，
由得，
当且仅当时，等号成立，
故有，
从而，故的最大值为3.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦定理可求得∠C；
（2）选择条件1：由余弦定理和基本不等式可求得，再由，表示出CD，最后运用基本不等式求出CD的最大值。
选择条件2：
（方法一）由余弦定理和基本不等式可求得，再利用余弦定理表示出CD，最后运用基本不等式求出CD的最大值；
（方法二）由余弦定理和基本不等式可求得，再运用基本不等式求出CD的最大值。
19．【答案】（1）解：年龄在40周岁以上（含40周岁）的非“编织巧手”有5人，年龄在40周岁以下的“编织巧手”有6人．列联表如下：
“编织巧手” 非“编织巧手” 总计
年龄40岁 19 5 24
年龄<40岁 6 10 16
总计 25 15 40
零假设为：“编织巧手”与“年龄”无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“编织巧手”与“年龄”有关，此推断犯错的概率不大于0.010．
（2）解：由题意可得这6人中年龄在40周岁以上（含40周岁）的人数是2；年龄在40周岁以下的人数是4．
从这6人中随机抽取2人的情况有种，
其中符合条件的情况有种，
故所求概率．
【知识点】分层抽样方法；独立性检验；独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件，将列联表补充完整，计算出K2，与临界值表对比分析即可；
（2）根据分层抽样求出各层的人数，再利用古典概型求概率。
20．【答案】（1）解：证明：取AB的中点，连接，则由题意知为正三角形，
所以，
由等腰梯形知，设，则，，
故，即得，所以，
因为平面平面，，平面平面，平面PAD，
所以平面，又平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：由（1）得，，两两垂直，则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
因为平面，所以平面所成的角为，
设，则，，
则，，，，
则，，，
设平面PAB的法向量为，
则，即 ，
取，则，
设平面PBC的法向量为，
则，即，
取，则，
所以，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取AB的中点E，连接CE，由等腰梯形的性质和勾股定理可得AD⊥BD，由面面垂直的性质定理可得PD⊥面ABCD，从而得到PD⊥BD，再由线面垂直的判定定理可得BD⊥面PAD，进而得到结论；
（2）根据已知建立空间直角坐标系，分别求出二面角的两个面的法向量，利用向量的夹角公式求解。
21．【答案】（1）解：由题意知： ，可得： ，
则椭圆的标准方程为
（2）解：当直线的斜率不存在时，设，联立，解得，所以，，又，
所以由，解得或（舍去），此时直线方程为，
当直线的斜率存在时，设，
联立，消得到.
由得，，由韦达定理知，，，因为以P，Q为直径的圆恒过点，
由，
将，代入整理得，即，所以或 ，
当时，直线为，此时直线过点，不合题意，舍去，
当时，直线为，此时直线过定点
综上，直线恒过定点.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知得到关于参数的方程组，解方程组求参数，进而求得标准方程。
（2）分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，先求出直线斜率不存在时的直线方程；当直线斜率存在时，设出直线方程：y=kx+m，与椭圆的方程联立，运用韦达定理求得k与m的关系式，进而求出直线恒过的定点。
22．【答案】（1）解：的定义域为，，
当时，，在单调递增，
当时，令解得，令解得，
所以，函数在单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在单调递增，
当时，函数在单调递增，在上单调递减
（2）解：由（1）可得，
令，得，
记，
因为函数有且只有一个零，所以函数与有且只有一个交点，
令，得，函数单调递增，
令，得，函数单调递减，
又，于是可得的图象如图，
由图可知，或，即或，
所以实数m的取值范围为或
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用导函数，对参数m分和两种情况讨论f(x)的单调性；
（2）将 函数有且只有一个零点 转化为函数与的图像有且只有一个交点，利用导函数分析h(x)的单调性、单调区间、极值、最值、变化趋势等，画出简图求解。
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