课件24张PPT。 1.从空间一直线出发的两个半一、二面角的定义平面所组成的图形叫做二面角二面角（1）直立式（2）平卧式平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。（1）半平面（2）二面角这条直线叫做二面角的棱，
每个半平面叫做二面角的面。1、二 面 角请点击请点击角从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义构成边—点—边
（顶点）表示法∠AOB从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。面—直线—面
（棱）二面角?—l—?或二面角?—AB—?图形请点击2、二面角的平面角—— 或：从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。小结： 1.二面角就是用它的平面角来度量的。一个二面角的平面角多大，我们就说个二面角是多少度的二面角。 2.二面角的平面角与点（或垂直平面）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。 一个平面垂直于
二面角 的棱 ，且与两个半
平面的交线是射线OA、OB，O为垂足，
则∠AOB叫做二面角 的平面角。演 示规定：二面角的范围是平面角是直角的二面角叫做直二面角相交成直二面角的二个平面叫做
互相垂直的平面①、点P在棱上②、点P在一个半平面上③、点P在二面角内ABABABO—定义法—三垂线定理法—垂面法3、作二面角的平面角的常用方法3、研究与讨论
二面角的平面角的顶点是二面角棱上的_____一点.
二面角的平面角的两边分别在二面角的_______内.
二面角的平面角的两边都与棱________.
二面角的平面角所在的平面与二面角的棱________.任意两个面垂直垂直1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 练 习60o二面角［例1］河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m时人升高了多少？（精确到0.1 m）例2.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60o ∠BPM=∠BPN=45o ，求此二面角的度数。CDa二面角例3．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，
求这二面角的度数。二面角例4．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= 2 ，求二面角P-AB-C的正切值。二面角练习1：已知Rt△ABC在平面α内，斜边AB在30o的二面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点C到平面β的距离CO。D二面角二 面 角实例引入请点击练习2：在平面四边形ABCD中，AB=BC=2，AD=CD= , ∠B=120o；将三角形ABC沿四边形ABCD的对角线AC折起来，使DB′= ，求△AB ′C所在平面与△ADC所在平面所成二面角的平面角的度数。 A为二面角α– CD –β的棱CD上一点，AB在平面α内且与棱CD成45o角，又AB与平面β成30o，求二面角α– CD – β的大小。二面角练习3二、二面角的平面角一、二面角的定义 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角1、定义二面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.①点P在棱上②点P在一个半平面上③点P在二面角内—定义法—三垂线定理法—垂面法2、求二面角的平面角方法ABABABO解：由正方体的面对角线的长都相等可知，△A1BD≌△C1BD，且为正三角形取BD的中点O，连结A1O、C1O、A1C1，则A1O⊥BD，C1O⊥BD，∴ ∠A1OC1就是二面角A1－BD－C1的平面角。∵ A1C1＝ ，A1O＝C1O＝ ＝∴ 二面角A1－BD－C1的大小为 。在△A1OC1中，由余弦定理得，例3、如图，设E、F、G是正方体AC1的棱AA1、AB、BC的中点，求二面角E－FG－A的大小。解：如图，过点A作AH⊥FG交GF的延长线于点H，连结EH。 由 EA⊥平面AC得：AH为EH在面AC内的射影。所以EH ⊥FG，故∠EHA就是二面角 E－FG－A的平面角。H∴ 二面角E－FG－A的大小为 。解：由正方体的面对角线的长都相等可知，△A1BD≌△C1BD，且为正三角形取BD的中点O，连结A1O、C1O、A1C1，则A1O⊥BD，C1O⊥BD，∴ ∠A1OC1就是二面角A1－BD－C1的平面角。∵ A1C1＝ ，A1O＝C1O＝ ＝∴ 二面角A1－BD－C1的大小为 。在△A1OC1中，由余弦定理得，一、二面角的定义：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的计算：二 面 角 ?－AB－ ?
二 面 角 C－AB－ D
二 面 角 ?－ l－ ?1、根据定义作出来
2、利用直线和平面垂
直作出来
3、借助三垂线定理或
其逆定理作出来1、找到或作出二面角的平面角
2、证明 1中的角就是所求的 角
3、计算所求的角一“作”二“证”三“计算”从一条直线出发的两个半
平面所组成的图形叫做二
面角。这条直线叫做二面
角的棱。这两个半平面叫
做二面角的面。 221、二面角的平面角
必须满足三个条件
2、二面角的平面角
的大小与 其顶点
在棱上的位置无关
3、二面角的大小用
它的平面角的大
小来度量 课件23张PPT。 1.从空间一直线出发的两个半一、二面角的定义平面所组成的图形叫做二面角二面角（1）直立式（2）平卧式平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。（1）半平面（2）二面角这条直线叫做二面角的棱，
每个半平面叫做二面角的面。1、二 面 角请点击请点击角从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义构成边—点—边
（顶点）表示法∠AOB从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。面—直线—面
（棱）二面角?—l—?或二面角?—AB—?图形请点击2、二面角的平面角—— 或：从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。小结： 1.二面角就是用它的平面角来度量的。一个二面角的平面角多大，我们就说个二面角是多少度的二面角。 2.二面角的平面角与点（或垂直平面）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。 一个平面垂直于
二面角 的棱 ，且与两个半
平面的交线是射线OA、OB，O为垂足，
则∠AOB叫做二面角 的平面角。演 示规定：二面角的范围是平面角是直角的二面角叫做直二面角相交成直二面角的二个平面叫做
互相垂直的平面①、点P在棱上②、点P在一个半平面上③、点P在二面角内ABABABO—定义法—三垂线定理法—垂面法3、作二面角的平面角的常用方法3、研究与讨论
二面角的平面角的顶点是二面角棱上的_____一点.
二面角的平面角的两边分别在二面角的_______内.
二面角的平面角的两边都与棱________.
二面角的平面角所在的平面与二面角的棱________.任意两个面垂直垂直1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 练 习60o二面角3.二面角的范围：[0。,180。]4.直二面角——平面角为直角的二面角
叫做直二面角概念：空间中的面面垂直 如果两个平面相交所成的二面角是直二
面角，那么我们称这两个平面相互垂直。（1）定义——（2）记法——“平面1⊥平面2”例如：①“平面α与平面β垂直”记作：“α⊥β”②“平面ABC与平面DBC垂直”记作：“平面ABC ⊥平面DBC” 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，问题引入那么所砌的墙面与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗？——它就是本节课的内容之一：平面与平面垂直的判定定理。判定定理 平面与平面垂直的判定定理是： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。βABCD已知：直线AB?平面?，直线AB?平面?求证：平面? ?平面?ABCDβ找二面角的平面角说明该平面角是直角。面面垂直的判定方法：1、定义法：2、判定定理：要证明两个平面垂直，另一个平面的一条垂线。只要证明一个平面经过（线面垂直?面面垂直）关键是找或作其中一个平面的垂线问题结论发现猜想如果仍然选取其中两个条件作为题设，另一个条件作为结论,并判断命题的真假。来构造命题，面面垂直的判定定理反映了三个条件之间的关系证明 由平面? ?平面?，平面?的垂线AB不一定在平面? 内。平面? ?平面?，平面? 内的直线AB不一定与平面?垂直。β 由平面? ?平面?，平面? 内的直线AB不一定能与平面?垂直。 那么在已有条件的基础上，再添加什么条件，可使命题为真？ CDβ已知：? ⊥β，? ∩β=CD，求证：直线AB⊥平面βAB⊥CD于BAB ? ? ，证明:在平面β内过B点作BE⊥CD，ABCD则∠ABE为二面角α-CD-β的平面角∵α⊥β∴AB⊥BE∵AB⊥CDCD∩BE=B∴AB⊥βEβ 如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 平面与平面垂直的性质定理A 平面? ⊥平面β，要过平面? 内一点引平面β
的垂线，只需过这一点在平面? 内作交线的垂线。β例1、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC?平面PBD。证明：ABDPCO例2、如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC. 证明:设已知⊙O平面为α例4.如图，平面AED⊥平面ABCD，三角形AED是等边
三角形，ABCD是矩形，AD=a,AB= a,
求证：(1)EA CD;(2)EC与平面ABCD所成的角
DMECAB证明：∵平面AED⊥平面ABCD
∴EM⊥平面ABCD则∠EMC即为直线EC与平面ABCD所成的角∵EM=∵MC=∴tan∠AMC=取AD中点M,连结EM则由已知EM⊥AD∵AD为AE在平面AC上的射影，AD ⊥DC ∴ AD ⊥DC 连结MC,BACDE证明：（1）∵平面ABC⊥平面DBC 又DC⊥BC ∴DC⊥平面ABC ∵AB在面ABC内∴DC⊥AB又AB⊥AC，AC∩CD=C，AC，AD在面ACD内∵AB⊥平面ACD而AB在平面ABD，∴平面ABD⊥平面CAD（2）过C作CE⊥AD于点E∵平面ABD⊥平面CAD
∴CE⊥平面CAD
即CE为C到平面BAD的距离例5.如图，将一副三角板拼成直二面角A-BC-D，
其中∠BAC=90°，AB=AC，∠BCD=90°，∠CBD=30°，
（1）求证：平面BAD⊥平面CAD；
（2）若CD=2，求C到平面BAD的距离。 课件18张PPT。面面垂直的判定与性质二、二面角的平面角一、二面角的定义 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角1、定义2、求二面角的平面角方法①点P在棱上②点P在一个半平面上③点P在二面角内ABABABO—定义法—三垂线定理法—垂面法复习：二面角3.二面角的范围：[0。,180。]4.直二面角——平面角为直角的二面角
叫做直二面角C D解：在PB上取不同于P 的一点O，在?内过O作OC⊥AB交PM 于C，在 ? 内作OD⊥AB交PN于D，连结CD，可得：设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45o∴CO=a，DO=a， PC a ， PD a又∵∠MPN=60o ∴CD=PC a∴∠COD=90o∴此二面角的度数为90o 如图,已知P是二面角 棱上一点，过
P 分别在?、?内引射线PM、PN，且∠MPN=600，
∠BPM =∠BPN =450，求此二面角的度数。∠COD是二面角 的平面角①②③一找
二证
三算
四答④概念：空间中的面面垂直 如果两个平面相交所成的二面角是直二
面角，那么我们称这两个平面相互垂直。（1）定义——（2）记法——“平面1⊥平面2”例如：①“平面α与平面β垂直”记作：“α⊥β”②“平面ABC与平面DBC垂直”记作：“平面ABC ⊥平面DBC” 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，问题引入那么所砌的墙面与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗？——它就是本节课的内容之一：平面与平面垂直的判定定理。判定定理 平面与平面垂直的判定定理是： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。βABCD已知：直线AB?平面?，直线AB?平面?求证：平面? ?平面?ABCDβ找二面角的平面角说明该平面角是直角。面面垂直的判定方法：1、定义法：2、判定定理：要证明两个平面垂直，另一个平面的一条垂线。只要证明一个平面经过（线面垂直?面面垂直）关键是找或作其中一个平面的垂线问题结论发现猜想如果仍然选取其中两个条件作为题设，另一个条件作为结论,并判断命题的真假。来构造命题，面面垂直的判定定理反映了三个条件之间的关系证明 由平面? ?平面?，平面?的垂线AB不一定在平面? 内。平面? ?平面?，平面? 内的直线AB不一定与平面?垂直。β 由平面? ?平面?，平面? 内的直线AB不一定能与平面?垂直。 那么在已有条件的基础上，再添加什么条件，可使命题为真？ CDβ已知：? ⊥β，? ∩β=CD，求证：直线AB⊥平面βAB⊥CD于BAB ? ? ，证明:在平面β内过B点作BE⊥CD，ABCD则∠ABE为二面角α-CD-β的平面角∵α⊥β∴AB⊥BE∵AB⊥CDCD∩BE=B∴AB⊥βEβ 如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 平面与平面垂直的性质定理A 平面? ⊥平面β，要过平面? 内一点引平面β
的垂线，只需过这一点在平面? 内作交线的垂线。β例1、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC?平面PBD。证明：ABDPCO例2、如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC. 证明:设已知⊙O平面为α例3、正方体ABCD-A1B1C1D1中， 已知E，F，G，H分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点.
求证：平面AH⊥平面DF例4.如图，平面AED⊥平面ABCD，三角形AED是等边
三角形，ABCD是矩形，AD=a,AB= a,
求证：(1)EA CD;(2)EC与平面ABCD所成的角
DMECAB证明：∵平面AED⊥平面ABCD
∴EM⊥平面ABCD则∠EMC即为直线EC与平面ABCD所成的角∵EM=∵MC=∴tan∠AMC=取AD中点M,连结EM则由已知EM⊥AD∵AD为AE在平面AC上的射影，AD ⊥DC ∴ AD ⊥DC 连结MC,BACDE证明：（1）∵平面ABC⊥平面DBC 又DC⊥BC ∴DC⊥平面ABC ∵AB在面ABC内∴DC⊥AB又AB⊥AC，AC∩CD=C，AC，AD在面ACD内∵AB⊥平面ACD而AB在平面ABD，∴平面ABD⊥平面CAD（2）过C作CE⊥AD于点E∵平面ABD⊥平面CAD
∴CE⊥平面CAD
即CE为C到平面BAD的距离例5.如图，将一副三角板拼成直二面角A-BC-D，
其中∠BAC=90°，AB=AC，∠BCD=90°，∠CBD=30°，
（1）求证：平面BAD⊥平面CAD；
（2）若CD=2，求C到平面BAD的距离。 课件21张PPT。平面与平面平行 苏教版《数学.必修2》一、两个平面的位置关系 第一、二层的底面α和β无论怎样延展都没有公共点；二层楼房示意图一、两个平面的位置关系 前、后两面房顶γ和δ则有一条交线AB． 如果两个平面没有公共点,我们就说这两个平面互相平行. 如果两个平面有一个公共点,由公
理2可知,那么它们相交于经过这个点
的一条直线. 面面平行的定义:
两个平面的位置关系是:没有公共点有一条公共直线∥两平面平行两平面相交公 共 点 符号表示图形表示二.两平面平行的判定 你知道木匠师傅是怎
样用水平仪来检测桌面是
否水平的？水平面两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行
于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示：A则 ∥ .且 ∥ , ∥ ,强调: 可
(1)两条相交直线;(2)都平行于另一个平面.例题讲解：例1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中
求证:平面BC1D∥平面AB1D1ABC1D1是平行四边形BC1∥AD1BC1∥面AB1D1同理:C1D∥面AB1D1BC1 C1D=C1平面C1DB∥平面AB1D1.证明：BC1 面AB1D1AD1 面AB1D1如果两个平面平行，
那么:（１）一个平面内的直线是否
平 行于另一个平面? （２）分别在两个平面内的两
条直线是否平行？ 三、两个平面平行的性质结论：如果两个平面平行，那么一个平面内
的直线一定平行于另一个平面。 两个平面平行的性质定理 :
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． ∥求证:已知:∥所以证明:因为 ∥ ,所以 与 没有公共点,因而交线 , 也没有公共点,又因为 , 都在平面 内,∥例题讲解： 例2.求证:如果一条直线垂直于两个平行平
面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.求证:分析:要证 ,只要证明 垂直
于平面 内的任意一条直线或某两
条相交直线.已知:∥在平面 内任取一条直线 ,所以点A与直线 可确定平面 设 ∥∥A证明:设因为点A不在 内,有关面面平行的几个概念: ①与两个平行平面都垂直的直线,
叫做这两个平行平面的 ②它夹在这两个平行平面间的线
段,叫做这两个平行平面的BB′ ③由于两个平行平面的公垂线段
的长都相等,我们把公垂线的长度叫做:注:
②面面距离①只有两个平行平面才有“距离” 的概念;点面距离点点距离化归思想两个平行平面间的距离.公垂线.公垂线段.巩固练习:1.判断下列命题是否正确,并说明理由.(3)平行于同一条直线的两个平面平行. ( )(4).过已知平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行. ( )(5)过已知平面外一条直线,必能作出与已知平面平行的平面. ( )(2).若平面 内有无数条直线与平面 平行,则 与 平行. ( )(1).若平面 内的两条直线分别与平面 平行,则 与 平行. ( ) 2.六棱柱的表面中,互相平
行的面最多有_________对. 3.如图,设E,F,E1,F1分别
是长方体ABCD-A1B1C1D1
的棱AB,CD,A1B1,C1D1的
中点.证明:∥
＝ 是平行四边形∥∥∥求证:平面BF1 ∥平面ED1 ．4.求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.已知:∥∥ 求证:证明:∥ ∥ ∥ 课堂小结四个概念
1.两个平面平行的定义;
2.两个平行平面的公垂线;
3.两个平行平面的公垂线段;
4.两个平行平面间的距离.
两个定理
1．面面平行的判定定理☆
2．面面平行的性质定理☆
一个重要的数学思想---化归思想
线面平行面面平行线线平行面面平行线线平行线面平行 作业红对勾P109页
必做:1----13其中11不做
红对勾P111页
必做:1----12其中4,6不做∥∥课堂小结:1.平面与平面平行的判定：(1)运用定义；(2)运用判定定理：线面平行面面平行线线平行2.平面与平面平行的性质(应用)：(1)一个平面内的任一直线都平行于另一个面；(2)运用性质定理：面面平行线线平行3.一个重要的数学思想------化归思想
