(共20张PPT)
1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2.能在具体的问题情境中,发现等差数列的关系,并解决相应问题.
3.体会等差数列与一次函数的关系.
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
等 差 数 列 文字 语言 一般地,如果一个数列从① 第2项 起,每一项与它的② 前一项 的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的③ 公差 ,公差通常用字母④ d 表示
数学符号 在数列{an}中,若an+1-an=d(n∈N*)(或an-an-1=d,n≥2,n∈N*)成立,则称数列{an}为等差数列,常数d称为等差数列的公差
递推公式 an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*)
1 |等差数列的定义
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,⑤ A
叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,⑥ 2A=a+b .
2 |等差中项
1.如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是⑦ an=a1+(n-1)d .
2.等差数列通项公式的变形及推广
(1)an=am+(n-m)d(m,n∈N*);
(2)d= (m,n∈N*,且m≠n).
3 |等差数列的通项公式
由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n∈N*),可得an=dn+(a1-d).
当d≠0时,等差数列{an}的通项公式中等号右边是关于自变量n的一次式,一次项系数就是等差数列的公差.因此从图象上看,表示数列{an}的各点均匀分布在一条
直线上.当d>0时,等差数列{an}是递增数列,当d<0时,等差数列{an}是递减数列.当d=0时,an=a1,等差数列{an}为常数列,此时表示数列{an}的各点是平行于x轴(或与x轴重合)的直线上的均匀分布的一群孤立的点.
总之,等差数列{an}对应函数的图象是直线y=dx+(a1-d)上均匀分布的一群孤立的点.
4 |等差数列与一次函数的关系
1.在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.特别地,若m+n=2p(m,
n,p∈N*),则am+an=2ap.
2.若等差数列{an},{bn}的公差分别为d,d',则有
3.从等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为等差数列.例如:若
{an}是公差为d的等差数列,则an,an+k,an+2k,an+3k,…也是等差数列,且公差为kd.
数列 结论
{c+an} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an+an+k} 公差为2d的等差数列(k∈N*)
{pan+qbn} 公差为pd+qd'的等差数列(p,q为常数)
5 |等差数列的常用性质
1.等差数列的公差是相邻两项的差. ( )
提示:从第2项起,每一项与它的前一项的差是等差数列的公差.
2.在公差为d的等差数列{an}中,a2 020=a20+2 000d.( √ )
提示:公差为d的等差数列{an}中,a2 020=a20+(2 020-20)d=a20+2 000d.
3.若数列{an}为等差数列,则其通项公式为n的一次函数.( )
提示:当公差为0时,其通项公式为常数函数,不是一次函数.
4.在公差为d的等差数列{an}中,ak,a2k,a3k,a4k,…仍为等差数列,且公差为kd. ( √ )
提示:公差为d的等差数列{an}中,ak=a1+(k-1)d,a2k=a1+(2k-1)d,a3k=a1+(3k-1)d,a4k=a1+
(4k-1)d,……,因此a2k-ak=a3k-a2k=a4k-a3k=…=kd,故结论正确.
5.若数列{an}的通项公式为an=kn+b,则{an}是公差为k的等差数列. ( √ )
提示:∵ -an=k(n+1)+b-(kn+b)=k,∴{an}是公差为k的等差数列.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
1|等差数列的判定(证明)
判断一个数列是不是等差数列的方法
1.定义法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*) 数列{an}是等差数列.
2.定义变形法:验证数列的通项an是否满足an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N*).
3.等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*) 数列{an}为等差数列.
4.通项公式法:数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p,q为常数) 数列{an}为等差数列.
注意:(1)通项公式法不能作为证明方法.
(2)若an+1-an为常数,则该常数为等差数列{an}的公差;由an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N*)无
法确定等差数列{an}的公差.
(3)若数列的前有限项成等差数列,则该数列未必是等差数列;而要否定一个数列
是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可.
已知数列{an}满足2an+(n-1)an-1=nan+a1(n∈N*,n≥2),证明数列{an}为等差数列.
思路点拨
先由条件建立an+1,an,an-1三者之间的关系,再由等差数列的定义即可证明.
证明 在2an+(n-1)an-1=nan+a1(n≥2)中,将n替换为n+1得2an+1+nan=(n+1)an+1+a1,
两式相减并整理得(n-1)an+1=2(n-1)an-(n-1)an-1(n≥2).
由n≥2得an+1=2an-an-1,即an+1-an=an-an-1.
由等差数列的定义知,数列{an}为等差数列.
已知数列{an}满足an=3an-1+3n-1(n≥2,n∈N*),且a3=95.
(1)求a1,a2的值;
(2)是否存在一个实数t,使得bn= (an+t)(n∈N*),且{bn}为等差数列 若存在,求出t
的值;若不存在,请说明理由.
思路点拨
(1)利用递推关系,逐项求解.
(2)思路一:利用等差数列的定义计算t是不是常数,若t为常数,则存在t使{bn}为等
差数列,若t不是常数,则不存在t使{bn}为等差数列.思路二:假设存在t使{bn}为等差
数列,利用b1,b2,b3求出t的值验证即可.
解析 (1)当n=3时,a3=3a2+26=95,∴a2=23.
当n=2时,a2=3a1+8=23,∴a1=5.
(2)解法一:由题意得an-3an-1=3n-1(n≥2,n∈N*),
∴当n≥2时,bn-bn-1= (an+t)- (an-1+t)
= (an+t-3an-1-3t)= (3n-1-2t)=1- .
要使{bn}为等差数列,则必须使1+2t=0,即t=- .
∴存在t=- ,使{bn}为等差数列.
解法二:假设存在实数t,使得{bn}为等差数列,则2b2=b1+b3,①
由(1)知,a1=5,a2=23,a3=95,
∴b1= (5+t),b2= (23+t),b3= (95+t),
代入①得, (23+t)= (5+t)+ (95+t),
解得t=- ,此时bn= .
∴bn+1-bn= -
= -
= an+1- × - an+ × =1,是常数.
故存在t=- ,使得{bn}是以1为公差的等差数列.
2|等差数列通项公式的求法
求等差数列通项公式的一般思路
1.方程思想:设出基本量a1与d,利用条件构建方程组,求出a1与d,即可写出数列的通
项公式.
2.利用等差数列通项公式的变形:已知等差数列中的两项时,可利用an=am+(n-m)d
(n,m∈N*)求出公差d,直接写出等差数列的通项公式.
在等差数列{an}中,已知a6=12,a18=36,则通项公式an= 2n(n∈N*) .
思路点拨
思路一:由已知列方程组 求出a1,d 求出通项公式an.思路二:利用an=am+(n-
m)d求出d 求出通项公式an.
解析 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
解法一:由题意可得 解得
∴an=2+(n-1)×2=2n(n∈N*).
解法二:∵a18=a6+(18-6)d,∴d= =2,
∴an=a6+(n-6)d=12+(n-6)×2=2n(n∈N*).
3|构造等差数列求数列的通项公式
当已知数列不是等差数列时,则需构造与之相关的等差数列,利用等差数列的通
项公式,求出包含an的关系式,进而求出an.将题设中的递推关系式转化为等差数列
的常见形式如下:
(1)转化为(an+2-an+1)-(an+1-an)=常数,则数列{an+1-an}是等差数列.
(2)转化为 - =常数,则数列 是等差数列.
(3)转化为 - =常数,则数列 是等差数列.
(4)转化为 - =常数,则数列{ }是等差数列.
(5)转化为 - =常数,则数列{ }是等差数列.
已知数列{an}满足an+1=3an+3n,且a1=1,求数列{an}的通项公式.
思路点拨
将递推关系式的两边同时除以3n+1,通过观察发现数列 为等差数列,求其通项
公式后易得数列{an}的通项公式.
解析 由an+1=3an+3n,两边同时除以3n+1,
得 = + ,即 - = .
由等差数列的定义知,
数列 是以 = 为首项, 为公差的等差数列,
所以 = +(n-1)× = ,故an=n·3n-1(n∈N*).
4|等差数列性质的应用
借助等差数列的性质解决有关项的问题,可以简化计算,但不一定每道题都能用,
能用上性质的题都应具有一定的特征,所以解决等差数列的有关问题时,应先考
虑性质,若不能应用性质,则化基本量求解.
在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7= 20 .
思路点拨
利用等差数列的性质“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*)”求解.
解析 ∵{an}为等差数列,∴3a5+a7=2a5+a5+a7=2a5+2a6=2(a5+a6)=2(a3+a8)=2×10=20.
易错警示
利用等差数列的性质解题时,需注意运用性质的限制条件,如本题中,a5+a7=2a6,a5+
a6=a3+a8等,但“a5+a7=a12”是错误的.
在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.
思路点拨
利用等差数列的性质,将已知量进行转化,进而求出an.
解析 设等差数列{an}的公差为d.
解法一:易知a1+a7=2a4,∴a1+a4+a7=3a4=15,∴a4=5.
∵a2a4a6=45,∴a2a6=9,
∴(a4-2d)(a4+2d)=9,即(5-2d)(5+2d)=9,解得d=±2.
当d=2时,an=a4+(n-4)d=2n-3,n∈N*;
当d=-2时,an=a4+(n-4)d=13-2n,n∈N*.
∴an=2n-3,n∈N*或an=-2n+13,n∈N*.
解法二:同解法一得a2a6=9,
又∵a1+a7=a2+a6=2a4=10,
∴ 解得 或
当a2=1,a6=9时,a6=a2+4d=1+4d=9,解得d=2,
∴an=a4+(n-4)d=2n-3,n∈N*;
当a2=9,a6=1时,a6=a2+4d=9+4d=1,解得d=-2,
∴an=a4+(n-4)d=13-2n,n∈N*.
∴an=2n-3,n∈N*或an=-2n+13,n∈N*.(共25张PPT)
1.探索并掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.
2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系,在五个量(a1,d,n,an,Sn)中,由其
中三个求另外两个.
3.能利用等差数列的前n项和公式解决实际问题.
知识清单破
4.2.2 等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公式 Sn=① Sn=② na1+ d
1 |等差数列前n项和公式
Sn=na1+ = n2+ n.
(1)该表达式中没有常数项;
(2)当d≠0时,Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次式,即点(n,Sn)在其相应的
二次函数的图象上,这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数,它的
图象是抛物线y= x2+ x上横坐标为正整数的一系列孤立的点.
2 |等差数列{an}的前n项和公式的函数特征
性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…组成公差为k2d的等差数列
性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*),则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd, = (S奇≠0);
若等差数列的项数为2n-1(n∈N*),则S2n-1=(2n-1)an(an是数列的中间项),S奇-S偶=an, = (S奇≠0)
性质3 {an}为等差数列 为等差数列
性质4 两个等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn 之间的关系为 = (bn≠0,T2n-1≠0)
3 |等差数列前n项和的性质
1.等差数列{an}的前n项和为Sn= (n≥3,n∈N*). ( √ )
提示:易知等差数列的前n项和公式为Sn= ,由等差数列的性质,得a1+an=a3+
an-2,所以Sn= (n≥3,n∈N*).
2.等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数. ( )
提示:公差为0时,等差数列的前n项和是关于n的一次函数.
3.若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则数列{an}是公差为2的等差数列. ( )
提示:等差数列的前n项和公式是关于n的且不含常数项的表达式,题中Sn=n2+1有
常数项,所以{an}不是等差数列.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
4.已知{an}是等差数列,公差d=2,前n项和为Sn,则数列 也是等差数列,且公差
为1. ( √ )
提示:由 Sn=na1+ 得, =a1+ =n-1+a1,所以数列 是公差为1的等差
数列.
5.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,则S2,S4,S6成等差数列. ( )
提示:若Sn是等差数列{an}的前n项和,则S2,S4-S2,S6-S4成等差数列.
1|等差数列前n项和公式及其应用
1.求等差数列的前n项和
(1)条件与d有关,运用公式Sn=na1+ d求其前n项和;
(2)条件与等差数列的项an有关,运用公式Sn= 求其前n项和,解题时与等差
数列的性质结合可以起到事半功倍的效果.
2.在等差数列问题中共涉及五个量:a1,d,n,an及Sn,利用等差数列的通项公式及前n
项和公式即可“知三求二”.其解题通法可以概括为:设出基本量a1,d,构建方程
组.因此利用方程思想求出基本量a1,d是解决等差数列问题的基本途径.
在等差数列{an}中:
(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;
(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.
解析 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
(1)解法一:由已知得 解得
∴S10=10a1+ d=10×3+ ×4=210.
解法二:由已知得 ∴a1+a10=42,
∴S10= =5×42=210.
(2)∵S7= =7a4=42,∴a4=6.∴Sn= = = =510,∴n=20.
已知数列{an}的前n项和Sn=32n-n2,求数列{|an|}的前n项和S'n.
思路点拨
由Sn求出an 求出an的正负项分界点 去绝对值求和.
解析 ∵an=Sn-Sn-1=33-2n(n≥2),且a1=S1=31,代入上式符合,∴an=33-2n(n∈N*).
由an>0得n≤16,∴此数列的前16项均为正数,从第17项起以后各项均为负数,则对于数列{|an|}:当1≤n≤16时,S'n=Sn=32n-n2;当n≥17时,S'n=|a1|+…+|a16|+|a17|+…+|an|
=(a1+a2+…+a16)-(a17+a18+…+an)=S16-(Sn-S16)=2S16-Sn=2×(32×16-162)-(32n-n2)
=n2-32n+512.
∴S'n=
易错警示
由于含绝对值的问题首先要考虑去绝对值,因此要根据不等式组 或
找出满足条件的临界值n.
2|等差数列前n项和性质的应用
在解决与等差数列前n项和Sn的性质有关的问题时,恰当运用相关性质可以达到
化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法:
(1)整体思路:利用公式Sn= ,设法求出整体a1+an,再代入求解.
(2)待定系数法:利用Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程组求出A,
B即可;也可以利用 是关于n的一次函数,设 =an+b(a≠0)进行计算.
(3)利用相关性质中的结论进行求解.
已知等差数列{an}的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和
之比为32∶27,求该数列的公差d.
思路点拨
思路一:由已知列方程组 解出d.
思路二:利用S偶-S奇=6d 求出d.
解析 解法一:设等差数列{an}的首项为a1,
由 解得
解法二:由已知得 解得
又S偶-S奇=6d,所以d= =5.
(1)已知等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的和S3m;
(2)已知两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且 = ,求 的值.
解析 (1)解法一:由等差数列前n项和的性质可知,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,
∴30,70,S3m-100成等差数列.∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.
解法二:由等差数列前n项和的性质可知, , , 成等差数列,
∴ = + ,即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.
(2) = = = = = .
解题模板:根据已知条件,灵活应用等差数列前n项和的性质,既能帮助我们解决问题,又能减少运算,提高解题速度和准确度.
已知{an}为等差数列,其前n项和为Sn,若Sn=m,Sm=n,其中m≠n,m,n∈N* ,求Sm+n.
思路点拨
思路一:由已知列方程组 求出a1,d 求出Sm+n.
思路二:整体代换 由Sn,Sm求Sm+n.
思路三:设Sx=Ax2+Bx(x∈N*) 分别表示出Sm,Sn 求出Sm+n.
思路四:利用性质,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 推导出Sm+n.
解析 解法一(常规解法,方程思想):
设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
由题意得 解得
∴Sm+n=(m+n)a1+ d=-m-n.
解法二(常规方法,整体代换,不求a1,d):设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
由题意得,
以上两式相减,得 [2a1(n-m)+(n2-n-m2+m)d]=m-n.
∵m≠n,∴m-n≠0.∴上式可化为-2a1+(1-m-n)d=2,即2a1+(m+n-1)d=-2.
∴Sm+n=(m+n)a1+ = [2a1+(m+n-1)d]= ×(-2)=-m-n.
解法三:设Sx=Ax2+Bx(x∈N*),则
①-②,得A(m2-n2)+B(m-n)=n-m.
∵m≠n,∴A(m+n)+B=-1.∴A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n),即Sm+n=-m-n.
解法四(利用性质,简化运算):设等差数列{an}的首项为a1.
在等差数列中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq,不妨设m>n,则Sm-Sn=an+1+an+2+…+am-1+am=
n-m= (an+1+am),∴an+1+am=a1+am+n= =-2.∴Sm+n= (a1+am+n)=-m-n.
3|等差数列前n项和的最值的求法
1.等差数列前n项和Sn存在最大(小)值的情形:
若a1>0,d<0,则Sn存在最大值,即所有非负项之和;
若a1<0,d>0,则Sn存在最小值,即所有非正项之和.
2.求等差数列(公差d≠0)的前n项和Sn的最大(小)值的常用方法如下:
(1)用配方法转化为求解二次函数的最大(小)值问题,解题时要注意n∈N*;
(2)邻项异号法:可利用 或 来寻找正、负项的分界点.
3.一般地,在等差数列{an}中,当a1>0,且Sp=Sq(p≠q)时,若p+q为偶数,则当n= 时,
Sn最大;若p+q为奇数,则当n= 时,Sn最大.
已知{an}是等差数列,其公差为非零常数d,前n项和为Sn,设数列 的前n项和为
Tn,当且仅当n=6时,Tn有最大值,则 的取值范围是 ( C )
A. B.(-3,+∞) C. D.(-∞,-3)∪
思路点拨
求出 由T6最大得, >0, <0,d<0 求出 的范围.
解析 ∵{an}是等差数列,其公差为非零常数d,前n项和为Sn,∴ = n+ .
∵数列 的前n项和为Tn,当且仅当n=6时,Tn有最大值,
∴ 解得-3< <- .故选C.
在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值.
解析 设等差数列{an}的公差为d.
解法一:∵S9=S17,a1=25,
∴9×25+ d=17×25+ d,解得d=-2.
∴Sn=25n+ ×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169.
∴当n=13时,Sn有最大值,最大值为169.
解法二:同解法一,求出公差d=-2.
∴an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.
∵a1=25>0,d=-2<0,
∴{an}是单调递减的等差数列.
由 得
又∵n∈N*,∴当n=13时,Sn有最大值,
最大值为S13=13×25+ ×(-2)=169.
解法三:同解法一,求出公差d=-2.
∵S9=S17,∴a10+a11+…+a17=0.
由等差数列的性质得a13+a14=0,
∴a13>0,a14<0.
∴当n=13时,Sn有最大值,最大值为169.
4|与等差数列有关的数列求和
1.倒序相加求和
在数列{an}中,如果与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,可采用把正
着写求和与倒着写求和的两个和式相加,通过求常数列的和求数列{an}的前n项
和,这一求和的方法称为倒序相加法.
2.裂项相消求和
等差数列的概念中,后一项与前一项的差为定值,而恒等式 = - 本身就蕴含
着两项之差,如果a-b是定值,那么就为裂项求和创造了条件,因此若数列{an}为等
差数列且公差为d,则数列 的前n项和Sn= + +…+ = =
.
已知函数f(x)对任意x∈R,都有f(x)+f(1-x)= .
(1)求f 的值;
(2)数列{an}满足:an=f(0)+f +f +…+f +f(1),数列{an}是等差数列吗 请给
予证明.
思路点拨
(1)利用赋值法求f 的值.(2)利用倒序相加法求an,再证明{an}是等差数列.
解析 (1)令x= ,得f +f =f +f = ,∴f = .
(2)数列{an}是等差数列.证明如下:
令x= ,得f +f = ,即f +f = .
∵an=f(0)+f +…+f +f(1),
∴an=f(1)+f +…+f +f(0).
两式相加,得2an=[f(0)+f(1)]+ +…+ +[f(1)+f(0)]=
,∴an= ,n∈N*.
∴an+1-an= - = ,∴数列{an}是等差数列.
已知Sn为数列{an}的前n项和,an>0, +2an=4Sn+3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= ,求数列{bn}的前n项和.
解析 (1)由 +2an=4Sn+3,得 +2an+1=4Sn+1+3,两式相减得, - +2(an+1-an)=4an+1,
即2(an+1+an)= - =(an+1+an)·(an+1-an).由于an>0,所以an+1-an=2.当n=1时, +2a1=4a1+
3,解得a1=3或a1=-1(舍去).所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=
2n+1,n∈N*.
(2)由(1)可知,an=2n+1,n∈N*,所以bn= = = .
设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+…+bn= + + +…+ = = .
