2022-2023 学年第二学期期末教学质量调研 高二数学试题
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求.
1. (x- )(a + y)6 的展开式中，含 x- 1y4 项的系数为 -15 ，则 a = A. 1 B.- 1 C. 士1 D. 士2
2. 已知 a 为实数，函数 f(x) = 3x3 + 2ax2 + (2 + a)x 的导函数为 f'(x) ，且 f'(x) 是偶函数， 则曲线 y = f (x) 在点 (1, f(1)) 处的切线方程为
A. 11x - y - 6 = 0 B. 9x + y - 6 = 0 C. 5x - 11y + 2 = 0 D. 6x + 5y - 11 = 0
3. 现有两筐排球，甲筐中有 10 个白色球、5 个红色球，乙筐中有 4 个黄色球、6 个红色球、
5 个黑色球.某排球运动员练习发球时，在甲筐取球的概率为 0.6，在乙筐取球的概率为 0.4.
若该运动员从这两筐球中任取一个排球，则取到红色排球的概率为
A. 0.73 B. 0.36 C. 0.32 D. 0.28
4 ．各项均为正数的等比数列{an } ，公比为 q ，则“ q > 1 ”是“{an } 为递增数列”
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
5.国内现存两件国宝级文物—— 战国宴乐水陆攻战纹铜壶，
分别藏于故宫博物院与四川博物馆.铜壸上的图像采用“嵌
错”制作工艺，铜壶身上的∠圈纹饰，将壶身分为四层.假设
第一层与第二层分别看作圆柱与圆台，且圆柱与圆台的高
之比为 ，其轴截面如图2 所示，根据轴截面，可得圆柱
与圆台这两个几何体的体积之比为 (注： V圆台 = .几 . h (R 2 + r 2 + Rr) )
A ． B ． C ． D ．
6.若函数 f(x) 在 R 上可导，且 f(x) > f'(x) ，则当 a > b 时，下列不等式成立的是
A ． ea f (a ) > eb f (b ) B ． eb f (a ) > ea f (b )
C ． eb f (b ) > ea f (a ) D ． ea f (b ) > eb f (a )
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7. 数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引 起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数 y = A sin x ，我们平时
听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音． 已知刻画某复合音的函数为
f(x) =sinx+sin2x+sin3x ，则其部分图象大致为
A ． B ．
C ． D ．
8. 古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日 施 2 子安贝 (古印度货币单位) ，以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个 月 31 天计算，记此人第 n 日布施了 an 子安贝 (其中1 n 31, n = N* ) ，数列 an } 的前 n
项和为 Sn .若关于 n 的不等式 a+1 + 256 > (Sn + 2)(t + 5) 恒成立，则实数t 的最大值为
A. 15 B. 20 C. 24 D. 27
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 已知数列 an } 的首项 a1 = 1 ，且满足 an+1 = 2an + 1 ，下列结论正确的是
A.数列 an } 是等比数列 B.数列 an + 1} 是等比数列
C. an = 2n 1 D.数列 an } 的前 n 项的和 Sn = 2n n
10.某中学在学校艺术节举行“∠独”比赛 (独唱、独奏、独舞) ，
比赛现场有 9 名教师评委给每位参赛选手评分，全校 4000 名学生
通过在线直播观看并网络评分，比赛评分采取 10 分制．某选手比
赛后，现场 9 名教师原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，
得到 7 个有效评分如下表．对学生网络评分按[7, 8) , [8, 9) , [9, 10] 分成
∠组，其频率分布直方图如图所示．
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教师评委 A B C D E F G
有效评分 9.6 9.1 9.4 8.9 9.2 9.3 9.5
则下列说法正确的是
A ．现场教师评委 7 个有效评分与 9 个原始评分的中位数相同.
B ．估计全校有 1200 名学生的网络评分在区间[8, 9) 内.
C ．在去掉最高分和最低分之前 9 名教师评委原始评分的极差一定大于 0.7.
D ．从学生观众中随机抽取 10 人，用频率估计概率，X 表示评分不小于 9 分的人数，则 E (X ) = 5 .
11.如图，边长为 4 的正方形 ABCD 是圆柱的轴截面，点 P 为圆弧上一动点 (点 P 与
点 A, D 不重合) , = 入(0 < 入< 1) ，则
A. 存在 入值，使得 AD 」BP
B. ∠棱锥 P - ABD 体积的最大值为
C. 当 入= 时，异面直线 PB 与 AD 所成角的余弦值为
D. 当直线 PB 与平面 ABCD 所成角最大时，平面 PAB 截四棱锥 P - ABCD 外接球的截面 面积为 4"
12. 已知函数 f(x) 满足：① f(a + x) 为偶函数；② f(c + x) + f(c - x) = 2d , a 丰 c . f '(x) 是 f(x) 的导函数，则下列结论正确的是
A. f '(x) 关于 x = c 对称 B. f(2x) 的一个周期为 2 | c - a |
C. f(f(x)) 不关于 (c, d) 对称 D. f(f(x)) 关于 x = a 对称
∠、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，其中第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分.
13.等差数列{an } 中， a7 - a5 +8 = a9 ，则数列{an } 的前 13 项的和为 ．
14.若 X N(1,G2 ) ，且P(X≤ a) +P(X ≤ ) = 1 ，则 a = ．
15.已知函数 f(x), g (x) 在 R 上可导，若 f(x) = g (x) ，则 f'(x) = g '(x) 成立.英国数学家
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泰勒发现了一个恒等式： e2x = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn + … ，则 =
16. 如图，一张纸的长 AD = 2 ，宽 AB = 2 ，M , N 分别是 AD, BC
的中点．现将 编ABD 沿 BD 折起，得到以 A, B, C, D 为顶点的∠棱锥，
则∠棱锥 A 一 BCD 的外接球 O 的半径为-------；在翻折的过程中，
直线MN 被球 O 截得的线段长的取值范围是-------．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
(
骤
).
17. (10 分)已知正项数列 {an } 与 {bn } ，且 {bn } 为等比数列 ， a+1 一 2an+1 = a + 2an ， a1 = b1 = 1 ，------，从条件①{bn } 的前 3 项和 S3 = 7 .② b4 = (a1 + a2 )b2 .③ b2 .b4 = 16 .
任选一个补充在上面问题中，并解答下列问题:
(1) 求证：数列{an } 为等差数列；
(2) 求数列{anbn } 的前 n 项和 Tn ．
(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) ．
(
男
女
总计
使用次数
多
40
使用次数
少
3
0
总计
9
0
2
00
)18. (12 分)2021 年 4 月 7 日，“学习强国”上线“强国医生”功能，
提供智能导诊、疾病自查、疾病百科、健康宣传等多种医疗健
康服务． (1) 为了解“强国医生”使用次数的多少与性别之间
的关系，某调查机构调研了200 名“强国医生”的使用者，得到
表中数据，根据所给数据完成上述表格，并判断是否有 99.9%
的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关；
(2) 该机构统计了“强国医生”上线 7 天内每天使用该服务的女性人数，“强国医生”上线的
第x 天，每天使用“强国医生”的女性人数为y ，得到以下数据：
x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 11 21 34 66 100 195
通过观察散点图发现样本点集中于某一条曲线y = a .bx 的周围，求y 关于x 的回归方程，并 预测“强国医生”上线第 12 天使用该服务的女性人数．
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附：随机变量 X-( + b + c + d ．
P (X2 > k0 ) 0.05 0.02 0.01 0.005 0.001
(
0
)k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
y z xi zi i=1 xi yi i=1 100.6
61.9 1.6 51.8 2522 3.98
其中zi = lg yi ．参考公式：对于一组数据(x1,y1 )，(x2 ,y2 ) ，…，(xn , yn )，其回归直线 = + x
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 = ， = y - x ．
19.(12 分)如图，已知六面体 ABCDPE 的面 ABCD 为梯形，AB ∥ CD
AB 」AD, AB = 2, CD = AD = 4 ，棱PA」平面 ABCD ，PA ∥ BE ，
PA = 4, BE = 2 ， F 为PD 的中点．
(1)求证： AF ∥平面 PBC ;
(2)求直线 BE 与平面 PCD 所成角的大小.
20. (12 分)某公司生产一种大件产品的日产量为两件，每件产品质量为一等品的概率为 0.5， 二等品的概率为 0.4，若达不到一、二等品，则为不合格品，且生产两件产品相互独立.已知
生产一件产品的利润如下表：
等级 一等 二等 不合格
利润 (万元/件) 0.8 0.6 -0.3
(1) 求生产的两件产品中至少有一件是一等品的概率；
(2) 求该公司每天所获利润毛 (万元) 的数学期望；
(3) 若该公司要增加日产量，需引入设备并更新技术，产量每增加 n 件，其成本相应提高 n - ln n (万元) ，你觉得公司是否应该增加日产量？并说明理由. ( ln 2 如 0.69, ln 3 如1. 1 )
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21. (12 分) 已知函数 f(x) = ax ln x 一 2x .
(1) 若f(x) 在 x = 1 处取得极值，求 f(x) 在区间[1, 2] 上的值域；
(2) 若函数 h(x) = 一 x 2 + 2 有 1 个零点，求 a 的取值范围.
22. (12 分) 如图，已知四棱锥 P 一 ABCD 的底面为菱形，且 ∠ABC = 600 ，AB = PC = 2 ，
PA = PB = ， M 是棱 PD 上的点，且四面体MPBC 的体积为
(1) 证明： PM = MD ；
(2) 若过点C, M 的平面 与 BD 平行，且交 PA 于点 Q ，求平面 BCQ 与平面 ABCD 所
成角的余弦值.
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高二数学参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。
1-4:CABC 5-8:BDCD
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。全部选对的得 5 分，部分选对的得
2 分，有选错的得 0 分。
9. BC 10.ABD 11.BCD 12.ABD
三、填空题：每小题 5 分，满分 20 分。
5 20 2 21
13.104 14. 15. 16. 3, ( , 2 3)
3 11 3
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
17. 2 2解：（1）由 an 1 2an 1 an 2an 可得， an 1 an an 1 an 2 0，
又 an 1 an 0，所以 an 1 an 2 0，即 an 1 an 2．
an 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列.
故 an 1 2 n 1 2n 1． ................3 分
2
若选①，设等比数列 bn 的公比为 q，且b1 1，则1 q q 7得 q 2或 3
n 1
又因为 bn 各项为正数， q 2，故bn 2 ................6 分
若选②，设等比数列 bn 的公比为 q，且b4 1 3 b2 ，得 q 2
n 1
又因为 bn 各项为正数， q 2，故bn 2 .................6 分
3
若选③，设等比数列 bn 的公比为 q，则b2 b4 b1q b1q 16，且b1 1，得 q 2
又因为 bn 各项为正数， q 2 b 2n 1，故 n ..................6 分
（2）
S 1 3 2 5 22n (2n 1) 2
n 1
2Sn 1 2 3 2
2 5 23 (2n 1) 2 n ................7 分
2 3
两式相减得， Sn 1 2 [2 2 2 2
n 1] (2n 1) 2 n (3 2n) 2 n 3
..........9 分
所以 Sn 2n 3 2n 3． ..............10 分
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18.解：（1）
男 女 总计
使用次数多 40 80 120
使用次数少 50 30 80
总计 90 110 200
2 200 40 30 80 50
2
4900 16.498 10.828 ..............4分
90 110 120 80 297
所以有 99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关． ...............5 分
x（2）将 y a b x x两边同时取常用对数得 lg y lg(a b ) lg a lgb lga x lgb ，
设 z lg y ，则 z lga x lgb ．
7
x2 12 1 2 7因为 i 22 72 140， x 4， ...............8 分
i 1 7
n
xizi nxz
lgb i 1 51.8 7 4 1.6所以 n 2 0.25 ， lg a 1.6
1
4 0.6，
x2i nx 2 140 7 4 4
i 1
b 100.25所以 ，a 100.6 ． ...............10 分
y x y 100.6 100.25 x所以 关于 的回归方程为 3.98 100.25 x ， ...............11 分
把 x 12代入回归方程，得 y 3.98 103 3980，
所以“强国医生”上线第 12 天，使用该服务的女性约有 3980 人 ...............12 分
19.解：(1) PA 平面 ABCD， PA AB， PA AD，且 AB AD
建立如图所示的空间直角坐标系O xyz，则
A(0,0,0),B(0, 2,0),D(4,0,0),P(0,0,4) ，
F (2,0, 2),E(0, 2, 2),C(4, 4,0) ...............2 分
所以 BP (0, 2,4),BC (4, 2,0), AF (2,0,2)
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m BP 2y 4z 0
设平面 BPC 的法向量为m (x, y, z) ，则
m BC 4x 2y 0
令 x 1，解得 y 2, z 1，故m (1, 2, 1) .................4 分
AF m 2 1 0 ( 2) 2 ( 1) 0 , AF m
又 AF 平面 PBC ，所以 AF∥平面 PBC .................6 分
（2）由（1）得DP ( 4,0,4),DC (0, 4,0),BE (0,0,2)
4x 4z 0
设平面PDC的法向量为 n (x, y, z)
，则 ，
4y 0
令 x 1，解得 z 1, y 0，故 n (1,0,1)， ...............9 分
所以 cos n,BE n BE 2 2 ................10 分
| n || BE | 2 2 2
设直线 BE与平面PCD所成的角为 ，
则 sin 2 ，且 [0, ] ， .................12 分
2 2 4
20.解：（1）设一件产品是一等品为事件 A，则一件产品不是一等品为事件 A，
P(A) 0.5,P(A) 0.5，2 件产品中至少 1件为一等品事件为 AA AA AA
1
其概率 P P(AA) C2P(A)P(A) 0.5
2 2 0.5 0.5 0.75 ................2 分
（2）设一件产品为一等品为事件 A，二等品为事件B，不合格品为事件C，
则 P(A) 0.5,P(B) 0.4,P(C) 0.1
则 可取得值为1.6,1.4,0.5,1.2,0.3, 0.6 .................3 分
P( 0.6) [P(C)]2 0.01
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P( 0.3) C12P(B)P(C) 2 0.4 0.1 0.08
P( 0.5) C12P(A)P(C) 2 0.5 0.1 0.1
P( 1.2) [P(B)]2 0.16
P( 1.4) C12P(A)P(B) 2 0.5 0.4 0.4
P( 1.6) [P(A)]2 0.25
其分布列为：
-0.6 0.3 0.5 1.2 1.4 1.6
P 0.01 0.08 0.1 0.16 0.4 0.25
...............6 分
数学期望
E( ) 0.6 0.01 0.3 0.08 0.5 0.1 1.2 0.16 1.4 0.4 1.6 0.25 1.22（万
元） ...............8 分
（3）由(2)可知，每件产品的平均利润为1.22 2 0.61万元），
则增加 n件产品，利润增加为0.61n（万元），成本也相应提高 n ln n（万元），
0.61n n ln n ln n 0.39n n N *所以净利润 ， ...............9 分
设 f (x) ln x 0.39x ，则 f '(x) 1 0.39
x
当 x 100 时， f '(x) 0， f (x)是增函数；
39
100
当 x 时， f '(x) 0， f (x)是减函数；
39
在 x 100 100 取得最大值，又 2 3，
39 39
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x只能取整数， x 2或 x 3时 f (x)可能为最大值，
f (2) ln 2 0.39 2 0.69 0.78 0.09 0
f (3) ln 3 0.39 3 1.1 1.17 0.07 0 ...............11 分
即在 f (x)取得最大值时也是亏本的，所以不应增加产量. ...............12 分
21.解：(1) f '(x) a ln x a 2 . ................1 分
因为 f (x)在 x 1处取得极值
所以 f '(1) a ln1 a 2 0，得 a 2（经检验，符合题意） ................2 分
则 x [1, 2]时， f '(x) 2ln x 0， f (x)在区间[1, 2]上单调递增，
所以 f (1) 2 f (x) f (2) 4ln 2 4
所以 f (x)在区间[1, 2]上的值域为[ 2,4 ln 2 4] ..............5 分
(2) h(x)的定义域为 (0, )
h(x) a ln x x 2函数 有一个零点 a ln x x2有一个实数根
y a ln x y x2与 有一个交点.
当 a 0时，由图可知满足题意；...............7 分
当 a 0时， h(x) x2 在 (0, )上无零点； ...............8 分
2
当 a 0时，令 h '(x) a 2x a 2x a 0 ，得0 x
x x 2
a 2x2 a
令 h '(x) 0，得 x
x 2
a
所以，当 x 时，h(x)有最大值 h( a ) a ln a ( a ) 2 a (ln a 1) ..............10 分2 2 2 2 2 2
2
因为函数 h(x) a ln x x 有一个零点，
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a
所以 (ln a 1) 0，解得 a 2e ............11 分
2 2
综上， a的取值范围为 ( ,0) 2e ...........12 分
22. 解：（1）如图，取 AB中点O，连接 PO,CO
因为 PA PB 2，AB 2，所以 PO AB PO 1,BO 1
又 因 为 ABCD 0是 菱 形 ， ABC 60 ， 所 以
CO AB,CO 3
因为 PC 2 2 2 2，所以 PC PO CO ，所以 PO CO
又因为 AB 平面 ABCD，CO 平面 ABCD， AB CO O
所以 PO 平面 ABCD ...............2 分
因为 AD∥BC ， BC 平面 PBC ， AD 平面 PBC
所以 AD∥平面 PBC ...............3 分
所以V 1 1 3 3D PBC VA PBC VP ABC PO S ABC 1 4 3 3 4 3
V 3 1因为 M PBC V6 2 D PBC
1
所以点M 到平面PBC 的距离是点D到平面 PBC 的距离的 ...............5 分
2
所以 PM MD ...............6 分
（2）由（1）知， BO CO， PO BO，PO CO
如图，以O为坐标原点，OC,OB,OP的方向分别为 x轴， y轴， z轴正方向建立空间直角
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坐标系，则 A(0, 1,0),B(0,1,0),D( 3, 2,0),P(0,0,1),C( 3,0,0) M ( 3 1，所以 , 1, )
2 2
则 AC ( 3,1,0),BC ( 3, 1,0),BD ( 3, 3,0), AP (0,1,1),CM ( 3 , 1, 1)
2 2
因为Q AP，设 AQ AP (0, , )，则CQ AQ AC ( 3, 1, )
因为 BD∥ ，Q ,C ,M ，故存在实数 a,b，使得CQ aCM bBD，
3 a 4a 3b 3
2
3
a 3b 1 b 1所以 解得
3
a
2
2
3
所以CQ ( 3, 1 , 2) ...............9 分
3 3
y 2zn CQ 0 3x 0
设平面 BCQ的法向量为 n1 (x, y, z)
1
，则
，即 3 3
n1 BC 0 3x y 0
取 x 1，得到平面 BCQ的一个法向量 n1 (1, 3,2 3)
设平面 BCQ与平面 ABCD所成角为
又因为 n2 (0,0,1)是平面 ABCD的一个法向量 ...............11 分
cos | cos n , n | | n1 n 2 | 3则 1 2 | n1 | | n2 | 2
3
所以平面 BCQ与平面 ABCD所成角的余弦值是 ...............12 分
2
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