第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元练习 （含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元练习 2023-2024学年 沪科版（2012）八年级数学上册 （含解析）
一、单选题
1．（2023秋·新疆和田·八年级统考期末）已经有两根木条，长分别是2和6，现要用3根木条组成三角形，还要从下面4根木条中选一根，可以是（ ）
A．4 B．7 C．8 D．9
2．（2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期末）下列命题都是正确的命题，其中逆命题也正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2023春·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）下列说法正确的有（ ）个．
平行四边形是轴对称图形；已知、、是的三条边，则；对角线相等且垂直的四边形是正方形；矩形的对角线互相垂直平分；一组数据的众数可以不唯一．
A． B． C． D．
4．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）下列命题中：其中是假命题的个数共有（ ）
①如果，那么；②如果，那么
③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
④如果，那么和是对顶角；
⑤三角形的内角和等于；⑥两个锐角的和是钝角．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2023春·河北承德·八年级统考期末）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形的形状改变而变化．当是直角三角形时，对角线的长为（ ）

A．5 B． C． D．4
6．（2023秋·安徽滁州·八年级统考期末）如图，在中，，分别平分，，且交于点O，为外角的平分线，的延长线交于点E，则以下结论：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①④ B．①③④ C．①②③ D．①②④
二、填空题
7．（2023春·湖南长沙·八年级统考期末）如图，在中，交对角线于点，若，则的度数是 ．

8．（2023春·全国·八年级期末）如图，在图1中，分别是等边的边的中点，在图2中，分别是的边的中点，已知的面积为1，按此规律，则的面积是 ．
9．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）阅读理解：
例：已知：， 求：m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，．
解决问题：
(1)若，求x、y的值；
(2)已知a，b，c是的三边长且满足，
①直接写出 ， ；
②若c是中最短边的边长（即；），且c为整数，求出c的值．
10．（2023秋·山西太原·八年级校考期末）4个人进行游泳比赛，赛前，，，等4名选手进行预测，说：“我肯定得第一名”，说：“我绝对不会得最后一名”，说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名”，说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误，预测错误的人是 ．
11．（2023秋·河北承德·八年级统考期末）小明在解答“已知ABC中，AB＝AC，求证∠B＜90°”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
（1）所以∠B+∠C+∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾．
（2）所以∠B＜90°．
（3）假设∠B≥90°．
（4）那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
请你写出这四个步骤正确的顺序 ．
三、解答题
12．（2022秋·河南驻马店·八年级校联考期末）如图，直线、均被直线、所截，且与相交，给定以下三个条件：
①；②；③；请从这三个条件中选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并进行证明
已知：
求证：
证明：
13．（2023秋·河南开封·八年级统考期末）已知：如图，∠EAC是△ABC的一个外角.请从①AB＝AC，②AD平分∠EAC，③AD∥BC中任选两个当条件，第三个当结论构成一个命题．如果该命题是真命题，请你证明；如果该命题是假命题，请说明理由.
14．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）如图，在中，是边上的高，是的平分线．

(1)若，求的度数；
(2)若，，则＝ （用含，的式子表示，＞）．
15．（2023秋·江西萍乡·八年级统考期末）已知点在射线上，．

(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，若，垂足为，交于点，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作交射线于点，当，时，求的度数．
中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案：
1．B
【分析】设第三根木条的长度为，根据三角形三边之间的关系列不等式组求出x的范围，然后选出满足条件的选项即可.
【详解】设第三根木条的长度为，则
，
解得.
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键.
2．D
【分析】先确定各选项的逆命题，再进行判断即可．
【详解】解：A．若，则逆命题为若，则是假命题，不合题意；
B．若，则逆命题为若，则是假命题，不合题意；
C．若，则逆命题为若，则是假命题，不合题意；
D．若，则逆命题为若，则是真命题，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了原命题、逆命题的定义和不等式的性质．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．解题关键是能够根据不等式的性质对逆命题进行判断．
3．A
【分析】根据轴对称图形的定义， 勾股定理；正方形的判定方法，矩形的性质， 根众数的定义逐一判断即可．
【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故说法错误；
已知、、是的三条边，则，说法错误，因为没有说明是直角边还是斜边；
对角线相等且垂直平分的四边形是正方形，故说法错误；
矩形的对角线相等且互相平分，故说法错误；
一组数据的众数可以不唯一，说法正确．
∴说法正确的有个．
故选．
【点睛】此题考查了轴对称图形的定义，平行四边形的性质，正方形的判定与性质，矩形的性质以及众数的定义，掌握相关知识是解答本题的关键．
4．C
【分析】利用实数的性质、三角形的外角的性质、对顶角的定义、三角形的内角和定理及锐角和钝角的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①如果，那么、互为相反数，故原命题错误，为假命题，符合题意
②如果，那么， 故原命题错误，为假命题，符合题意；
③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确，是真命题，不符合题意；
④如果，那么和不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，符合题意；
⑤三角形的内角和等于，正确，是真命题，不符合题意；
⑥两个锐角的和不一定是钝角，故原命题错误，是假命题，符合题意．
假命题有4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质．
5．C
【分析】利用三角形三边关系求得，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，即，
当为直角三角形时，有两种情况：
若为最长边时，，虽然是直角三角形，但不合题意，舍去；
若为最长边时，，此时为直角三角形，且AC在范围之内，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系以及构成直角三角形的条件，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
6．A
【分析】根据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，，．
【详解】解：为外角的角平分线，平分
，
又是的外角
，故①正确；
，分别平分，
，
，故②、③错误．
平分，平分
，
是的外角
，故④正确．
综上所述，①④正确．
故选A．
【点睛】本题考查角平分线的性质以及三角形外角性质知识点，本题运用了数形结合的数学思维．解题关键在于对角平分线的性质以及三角形外角性质知识点熟练掌握．
7．/105度
【分析】由四边形是平行四边形，推出，推出，由，推出，根据计算即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
8．
【分析】由分别是等边的边的中点，可知，，是等边的中位线，则四边形、、、均为平行四边形，，由分别是的边的中点，同理可得，，推导一般性规律，然后作答即可．
【详解】解：∵分别是等边的边的中点，
∴，，是等边的中位线，
∴四边形、、、均为平行四边形，
∴，
∵分别是的边的中点，
同理可得，，
∴推导一般性规律，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了中位线，平行四边形的判定与性质，图形的规律探究．解题的关键在于根据题意推导一般性规律．
9．(1)，
(2) 3 4；②2
【分析】（1）根据阅读材料的方法进行运算，即可求得结果；
（2）①根据阅读材料的方法进行运算，即可求得结果；②根据a、b的值及，，即可求得结果．
【详解】（1）解： ，
，
，
，，
解得，；
（2）解：①，
，
，
解得，，
故答案为：3，4；
②，，
，
又是中最短边的边长，
，
为整数，
为2．
【点睛】本题考查了完全平方式的非负性，解方程，三角形三边之间的关系，熟练掌握和运用完全平方式的非负性及三角形三边之间的关系是解决本题的关键．
10．
【分析】分别假设每个人的预测错误，进而得出矛盾即可答案．
【详解】解：如果错，则为第一，为第二，为最后一名，所以是错的．
如果错，则最后，也错，出现矛盾；
如果错，则是第一或最后一名，与第一、最后，矛盾；
如果错，其他都对的话，则没有最后一名；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾是解题关键．
11．（3）（4）（1）（2）
【分析】根据反证法的一般步骤解答即可．
【详解】证明：假设，
那么，由，得，即，即，
所以，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以，
所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2），
故答案为：（3）（4）（1）（2）．
【点睛】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
12．已知：，； 求证：，证明见解析
【分析】如果选择①②两个作为条件，③作为结论可组成一个真命题．首先根据平行线的判定定理，可得，由，可得，然后，根据直角三角形的两个锐角互余及对顶角的性质，即可证明．
【详解】已知：，，求证：．
证明：，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，直角三角形两锐角互余，对顶角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
13．选①②当条件，③当结论，真命题（其它的组合也是真命题，答案不唯一）
【分析】选①②当条件，③当结论或选①③当条件，②当结论或选②③当条件，①当结论，进行判断解答即可．
【详解】解：选①②当条件，③当结论，真命题，
已知：∠EAC是△ABC的一个外角，AB＝AC，AD平分∠EAC，求证：AD∥BC．
证明： ∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∠EAC＝∠B+∠C，
∴∠EAC＝2∠B，
∵AD平分外角∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∴∠B＝∠EAD，
∴AD∥BC．
【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质、角平分线定义以及三角形的外角性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
14．(1)
(2)
【分析】（1）由是边上的高，得，欲求，可求，已知，进而转化为求，已知是的平分线，求转化为求，已知，根据三角形内角和定理，可求得；
（2）与（1）同理，注意，．
【详解】（1）解：∵是边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
（2）解：由（1）知，，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的高、三角形的角平分线以及三角形外角的定义，熟练掌握三角形内角和定理、三角形的高、三角形的角平分线以及三角形外角的定义是解决本题的关键．
15．(1)证明见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据，可得，再根据，即可得到，即可得证；
（2）．根据三角形外角的性质，可得到，根据直角三角形两锐角互余，有，再根据即可得到与的数量关系；
（3）设，则，，根据，即可得到，再根据，即可得到，求得的值，即可运用三角形内角和定理得到的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：
理由如下：∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
又∵，
∴；
（3）设，则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴的度数为．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余．灵活运用三角形内角和定理是解题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)