第15章 轴对称图形与等腰三角形 单元练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 第15章 轴对称图形与等腰三角形 单元练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-16 05:43:32 | ||
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文档简介
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第15章 轴对称图形与等腰三角形 单元练习 2023-2024学年 沪科版（2012）八年级数学上册 （含解析）
一、单选题
1．已知直线的表达式为，若直线与直线关于y轴对称，且经过点，则b的值为（ ）
A．8 B．4 C． D．
2．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．三角形内有一点到三个顶点的距离都相等，则这点一定是该三角形（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高线的交点
C．三内角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
4．如图，锐角按下列步骤图：①在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作圆弧，交射线与点，连接；②以点为圆心，长为半径作弧，交弧于点；③连接，．作射线．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C．垂直平分 D．
5．如图，、分别是的中线和角平分线，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，O是内一点，且O到三边的距离相等（即），若，则（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
7．如图，在平面直角坐标系中，点，，…都在x轴上，点，，…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且，点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点、．分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，过点作线段，交于点，则的面积是（ ）
A．20 B．10 C．5 D．2.5
二、填空题
9．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上一点，若将沿AM翻折，点B恰好落在x轴上的点处，则直线AM所对应的函数解析式是 ．
10．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，如果，，那么线段的长度是 ．
11．如图，在中，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，．作直线，交于点．分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，．作直线，交于点．连接，．若，则 （结果用表示）．
12．如图，，为和的平分线的交点，于点E，且，则与间的距离为 ．
三、解答题
13．如图，三个顶点坐标分别是，，．
(1)画出关于轴对称的图形；
(2)画出点关于直线的对称点，并写出的坐标；
(3)在轴上找一点，使得的周长最小，通过画图直接写出点的坐标．
14．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知的三个顶点的坐标分别为．
(1)画出关于y轴成轴对称的，并写出点的坐标；
(2)请直接写出的面积；
(3)在y轴上找一点P，使，并写出点P的坐标．
15．如图，在中，，是高，是的外角的平分线．
(1)用尺规作图方法，作的平分线保留作图痕迹，不写作法和证明)；
(2)设与交于点，判断的形状，并说明理由．
16．如图，已知直线与坐标轴交于B，C两点，点A是x轴正半轴上一点，并且，点F是线段上一动点（不与端点重合），过点F作轴，交BC于E．
(1)求所在直线的解析式；
(2)若轴于D，且点D的坐标为，请用含m的代数式表示与的长；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】根据直线与直线关于y轴对称，得到直线经过点，代入直线的表达式进行求解即可．
【详解】解：∵经过点，
∴点关于y轴的对称点为，
∵直线与直线关于y轴对称，
∴点在直线上，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查求一次函数的解析式，解题的关键是根据对称性，得到点在直线上．
2．B
【分析】根据，得到，根据折叠，即可得到．
【详解】解：∵四边形为长方形，
∴，
∴，
∵折叠，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．
3．D
【分析】利用线段垂直平分线的性质定理的逆定理，即可解答．
【详解】解：三角形内有一点到三个顶点的距离都相等，则这点一定是该三角形三边垂直平分线的交点，
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．
4．D
【分析】由作法得，则可对选项进行判断；根据全等三角形的性质可得，则可对B选项进行判断；由线段垂直平分线的判定可对C选项进行判断；利用三角形三边的关系得到，则可对D选项进行判断．
【详解】解：由作法得，，
故选项A正确，不符合题意；
又∵，
∴
∴，
故选项B正确，不符合题意；
∵，，
∴垂直平分，
故选项C正确，不符合题意；
，，
，所以选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握基本作图．
5．B
【分析】先利用等腰三角形三线合一性质，得到，再利用直角三角形的性质，得到，结合是的角平分线，计算即可．
【详解】∵是的中线，，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，角的平分线定义，熟练掌握性质和定义是解题的关键．
6．C
【分析】根据题意可得，点O是三角形三条角平分线的交点，再由的度数可得的度数，再根据三角形的内角和等于即可求出的度数．
【详解】解：∵到三边、、的距离，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵，
∴，
∴，
在中，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的性质和三角形的内角和定理是解答本题的关键．
7．B
【分析】由，得到点的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点的坐标，进而得到点的坐标，然后再依次类推得到点的坐标．
【详解】解：，
点的坐标为，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
同理可得：，，…，
，
即点的横坐标是，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质找出系列点的坐标规律．
8．C
【分析】作交于，由作图可得：为的平分线，由角平分线的性质可得，最后由三角形的面积公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，作交于，
，
由作图可得：为的平分线，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了作图—作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
9．
【分析】过点作的垂线，根据三角形的面积可求出垂线段的长度；根据翻折可得到的长度，即可求解．
【详解】解：因为直线与x轴、y轴分别交于点A和点B
故
过点作，如图所示：
由得：
直线AM所对应的函数解析式是：
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数的解析式、翻折问题、全等三角形的判定与性质等知识点．根据条件求出点的坐标是解题的关键．
10．/
【详解】由作法得，利用勾股定理计算出，然后利用面积法求的长．
【解答】解：由作法得，
在中，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂直平分线和勾股定理，需要有一定的数形结合能力，熟练掌握垂直平分线的定义，结合题意进行解题是解决本题的关键．
11．
【分析】利用基本作图可得垂直平分，垂直平分，从而得到，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行计算即可得到．
【详解】解：由作法得：垂直平分，垂直平分，
，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图—基本作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，是解题的关键．
12．8
【分析】过O点作于点H，交于点G，根据角平分线的性质即可得解．
【详解】解：过O点作于点H，交于点G，
，，
，
、为角平分线，，，，
，，
，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了角平分线的性质；掌握角平分线线上的点到两边的距离相等是关键．
13．(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】(1)根据轴对称的性质进行作图，即可得到关于＋轴的对称图形；
(2)依据关于轴对称点的坐标特点求解即可；
(3)作点关于轴的对称点,连接，交轴于点，依据函数图象可得到点的坐标．
【详解】（1）如图所示：
（2）点如图所示，；
（3）点的位置如图所示，．
【点睛】此题考查了轴对称及有关路径最短问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．
14．(1)见解析，点
(2)8
(3)见解析，点
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点确定点，然后顺次连接即可得到，然后再直接读出点的坐标即可；
（2）直接利用割补法即可解答；
（3）作线段的垂直平分线，其与y轴的交点即为点P．
【详解】（1）解：如图；即为所求，点；
（2）解：的面积为；
（3）解：如图：点P即为所求，
【点睛】本题主要考查了轴对称作图、割补法求面积、线段垂直平分线的性质等知识点，掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据题意作作的平分线；
（2）根据角平分线的定义得出，进而证明=45°，即可得证．
【详解】（1）如图所示，即为所求
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
平分，
，
，，
，
，
，
，
即是直角三角形
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
16．(1)
(2)，
(3)存在，或或
【分析】（1）由直线可求得B、C坐标，再结合，则可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式；
（2）根据直线解析式可求得F点的纵坐标，即可表示出，由轴则可得出E点纵坐标，代入直线解析式可求得E点横坐标，从而可表示出的长；
（3）设，当时，则有，则可得到关于x的方程，可求得P点坐标；当时，则有，可求得P点坐标；当时，过P作于点H，由等腰直角三角形的性质可知，可求得D点坐标，从而可求得P点坐标．
【详解】（1）在中，令可得，令可求得 ，
∴，，
∴，，
∵，
∴，即，，解得，
∴，
设直线解析式为，
∴ ，解得 ，
∴直线解析式为；
（2）∵轴，且，
∴F点横坐标为m，
在中，令，可得，
∴，
∵轴，
∴E点纵坐标为，
在中，令，可得，解得，
∵F在线段上，
∴，
∴；
（3）假设存在满足条件的点P，设其坐标为，
∵为等腰直角三角形，
∴有、和三种情况，
①当时，则有，
由（2）可得，，
∴，解得，
∴；
②当时，则有，
在中，令可得，
∴，
在中，令，可得，解得，
∴，
∴，解得，
∴；
③当时，如图，过P作于点H，则，
由（2）可知，，
∴，解得，
∴，，
∴，
∴；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或或．
【点睛】本题考查一次函数解析式，等腰三角形的判定，坐标与图形，注意分类讨论是解题的关键．
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第15章 轴对称图形与等腰三角形 单元练习 2023-2024学年 沪科版（2012）八年级数学上册 （含解析）
一、单选题
1．已知直线的表达式为，若直线与直线关于y轴对称，且经过点，则b的值为（ ）
A．8 B．4 C． D．
2．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．三角形内有一点到三个顶点的距离都相等，则这点一定是该三角形（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高线的交点
C．三内角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
4．如图，锐角按下列步骤图：①在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作圆弧，交射线与点，连接；②以点为圆心，长为半径作弧，交弧于点；③连接，．作射线．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C．垂直平分 D．
5．如图，、分别是的中线和角平分线，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，O是内一点，且O到三边的距离相等（即），若，则（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
7．如图，在平面直角坐标系中，点，，…都在x轴上，点，，…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且，点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点、．分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，过点作线段，交于点，则的面积是（ ）
A．20 B．10 C．5 D．2.5
二、填空题
9．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上一点，若将沿AM翻折，点B恰好落在x轴上的点处，则直线AM所对应的函数解析式是 ．
10．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，如果，，那么线段的长度是 ．
11．如图，在中，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，．作直线，交于点．分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，．作直线，交于点．连接，．若，则 （结果用表示）．
12．如图，，为和的平分线的交点，于点E，且，则与间的距离为 ．
三、解答题
13．如图，三个顶点坐标分别是，，．
(1)画出关于轴对称的图形；
(2)画出点关于直线的对称点，并写出的坐标；
(3)在轴上找一点，使得的周长最小，通过画图直接写出点的坐标．
14．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知的三个顶点的坐标分别为．
(1)画出关于y轴成轴对称的，并写出点的坐标；
(2)请直接写出的面积；
(3)在y轴上找一点P，使，并写出点P的坐标．
15．如图，在中，，是高，是的外角的平分线．
(1)用尺规作图方法，作的平分线保留作图痕迹，不写作法和证明)；
(2)设与交于点，判断的形状，并说明理由．
16．如图，已知直线与坐标轴交于B，C两点，点A是x轴正半轴上一点，并且，点F是线段上一动点（不与端点重合），过点F作轴，交BC于E．
(1)求所在直线的解析式；
(2)若轴于D，且点D的坐标为，请用含m的代数式表示与的长；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】根据直线与直线关于y轴对称，得到直线经过点，代入直线的表达式进行求解即可．
【详解】解：∵经过点，
∴点关于y轴的对称点为，
∵直线与直线关于y轴对称，
∴点在直线上，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查求一次函数的解析式，解题的关键是根据对称性，得到点在直线上．
2．B
【分析】根据，得到，根据折叠，即可得到．
【详解】解：∵四边形为长方形，
∴，
∴，
∵折叠，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．
3．D
【分析】利用线段垂直平分线的性质定理的逆定理，即可解答．
【详解】解：三角形内有一点到三个顶点的距离都相等，则这点一定是该三角形三边垂直平分线的交点，
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．
4．D
【分析】由作法得，则可对选项进行判断；根据全等三角形的性质可得，则可对B选项进行判断；由线段垂直平分线的判定可对C选项进行判断；利用三角形三边的关系得到，则可对D选项进行判断．
【详解】解：由作法得，，
故选项A正确，不符合题意；
又∵，
∴
∴，
故选项B正确，不符合题意；
∵，，
∴垂直平分，
故选项C正确，不符合题意；
，，
，所以选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握基本作图．
5．B
【分析】先利用等腰三角形三线合一性质，得到，再利用直角三角形的性质，得到，结合是的角平分线，计算即可．
【详解】∵是的中线，，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，角的平分线定义，熟练掌握性质和定义是解题的关键．
6．C
【分析】根据题意可得，点O是三角形三条角平分线的交点，再由的度数可得的度数，再根据三角形的内角和等于即可求出的度数．
【详解】解：∵到三边、、的距离，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵，
∴，
∴，
在中，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的性质和三角形的内角和定理是解答本题的关键．
7．B
【分析】由，得到点的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点的坐标，进而得到点的坐标，然后再依次类推得到点的坐标．
【详解】解：，
点的坐标为，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
同理可得：，，…，
，
即点的横坐标是，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质找出系列点的坐标规律．
8．C
【分析】作交于，由作图可得：为的平分线，由角平分线的性质可得，最后由三角形的面积公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，作交于，
，
由作图可得：为的平分线，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了作图—作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
9．
【分析】过点作的垂线，根据三角形的面积可求出垂线段的长度；根据翻折可得到的长度，即可求解．
【详解】解：因为直线与x轴、y轴分别交于点A和点B
故
过点作，如图所示：
由得：
直线AM所对应的函数解析式是：
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数的解析式、翻折问题、全等三角形的判定与性质等知识点．根据条件求出点的坐标是解题的关键．
10．/
【详解】由作法得，利用勾股定理计算出，然后利用面积法求的长．
【解答】解：由作法得，
在中，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂直平分线和勾股定理，需要有一定的数形结合能力，熟练掌握垂直平分线的定义，结合题意进行解题是解决本题的关键．
11．
【分析】利用基本作图可得垂直平分，垂直平分，从而得到，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行计算即可得到．
【详解】解：由作法得：垂直平分，垂直平分，
，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图—基本作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，是解题的关键．
12．8
【分析】过O点作于点H，交于点G，根据角平分线的性质即可得解．
【详解】解：过O点作于点H，交于点G，
，，
，
、为角平分线，，，，
，，
，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了角平分线的性质；掌握角平分线线上的点到两边的距离相等是关键．
13．(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】(1)根据轴对称的性质进行作图，即可得到关于＋轴的对称图形；
(2)依据关于轴对称点的坐标特点求解即可；
(3)作点关于轴的对称点,连接，交轴于点，依据函数图象可得到点的坐标．
【详解】（1）如图所示：
（2）点如图所示，；
（3）点的位置如图所示，．
【点睛】此题考查了轴对称及有关路径最短问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．
14．(1)见解析，点
(2)8
(3)见解析，点
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点确定点，然后顺次连接即可得到，然后再直接读出点的坐标即可；
（2）直接利用割补法即可解答；
（3）作线段的垂直平分线，其与y轴的交点即为点P．
【详解】（1）解：如图；即为所求，点；
（2）解：的面积为；
（3）解：如图：点P即为所求，
【点睛】本题主要考查了轴对称作图、割补法求面积、线段垂直平分线的性质等知识点，掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据题意作作的平分线；
（2）根据角平分线的定义得出，进而证明=45°，即可得证．
【详解】（1）如图所示，即为所求
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
平分，
，
，，
，
，
，
，
即是直角三角形
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
16．(1)
(2)，
(3)存在，或或
【分析】（1）由直线可求得B、C坐标，再结合，则可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式；
（2）根据直线解析式可求得F点的纵坐标，即可表示出，由轴则可得出E点纵坐标，代入直线解析式可求得E点横坐标，从而可表示出的长；
（3）设，当时，则有，则可得到关于x的方程，可求得P点坐标；当时，则有，可求得P点坐标；当时，过P作于点H，由等腰直角三角形的性质可知，可求得D点坐标，从而可求得P点坐标．
【详解】（1）在中，令可得，令可求得 ，
∴，，
∴，，
∵，
∴，即，，解得，
∴，
设直线解析式为，
∴ ，解得 ，
∴直线解析式为；
（2）∵轴，且，
∴F点横坐标为m，
在中，令，可得，
∴，
∵轴，
∴E点纵坐标为，
在中，令，可得，解得，
∵F在线段上，
∴，
∴；
（3）假设存在满足条件的点P，设其坐标为，
∵为等腰直角三角形，
∴有、和三种情况，
①当时，则有，
由（2）可得，，
∴，解得，
∴；
②当时，则有，
在中，令可得，
∴，
在中，令，可得，解得，
∴，
∴，解得，
∴；
③当时，如图，过P作于点H，则，
由（2）可知，，
∴，解得，
∴，，
∴，
∴；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或或．
【点睛】本题考查一次函数解析式，等腰三角形的判定，坐标与图形，注意分类讨论是解题的关键．
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