人教版高中数学选择性必修第二册5.3.2函数的极值与最大(小)值 第1课时 同步作业（含解析）

人教版高中数学选择性必修第二册
5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时 同步作业（原卷版）
1．下列关于函数的极值的说法正确的是(　　)
A．导数值为0的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．函数在定义域内必有一个极大值和一个极小值
D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数
2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)上有极小值点(　　)
A．1个　　　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
3．函数y＝lnx－x的极值情况是(　　)
A．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
4．函数f(x)＝x2－lnx的极值点为(　　)
A．0，1，－1 B.
C．－ D.，－
5．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数(　　)
A．2 B．1
C．0 D．由a确定
6．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝(　　)
A. B．－
C．－ln2 D．ln2
7．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于(1，0)，则极小值为(　　)
A．0 B．－
C．－ D．1
8．【多选题】如图所示是y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．f(x)在区间(－3，1)上是增函数
B．x＝－1是f(x)的极小值点
C．f(x)在区间(2，4)上是减函数，在区间(－1，2)上是增函数
D．x＝2是f(x)的极小值点
9．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________．
10．设函数f(x)＝x·(x－c)2在x＝2处有极大值，则c＝________．
11．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围(　　)
A．m>0 B．m<0
C．m>1 D．m<1
12.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则下列说法中不正确的是________(填序号)．
①当x＝时函数取得极小值；
②f(x)有两个极值点；
③c＝6；
④当x＝1时函数取得极大值．
13．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝－x3＋12x＋6；
(2)f(x)＝.
14．设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
15．已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)在点x＝1处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值；
(3)若函数f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数，试确定a的取值范围．
16．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.
(1)若f(x)在x＝1时有极值－1，求b，c的值；
(2)在(1)的条件下，若函数y＝f(x)的图象与函数y＝k的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围．
备选题：
1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是(　　)
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极小值
C．如果在点x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值
D．如果在点x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极大值
2．设a3．函数y＝2－x2－x3的极值情况是(　　)
A．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值也无极小值 D．既有极大值又有极小值
4．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B.
C．(0，1) D．(0，＋∞)
5．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
6．若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围为________．
7．如图所示，观察函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图象，请找出f(x)的极大值与极大值点、极小值与极小值点．
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且当x＝－1时取得极大值7，当x＝3时取得极小值，试求函数f(x)的极小值，并求出取得极小值时的a，b，c的值．
9．已知x＝4是函数f(x)＝alnx＋x2－12x＋11的一个极值点．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
一个三次函数y＝f(x)，当x＝3时取得极小值y＝0，又在此函数的图象上点(1，8)处的切线经过点(3，0)，求函数f(x)的表达式．
人教版高中数学选择性必修第二册
5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时 同步作业（解析版）
1．下列关于函数的极值的说法正确的是(　　)
A．导数值为0的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．函数在定义域内必有一个极大值和一个极小值
D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数
答案　D
解析　由函数极值的有关概念知A、B、C说法都不正确．故选D.
2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)上有极小值点(　　)
A．1个　　　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
答案　A
解析　导数的图象看符号，先负后正的分界点为极小值点．
3．函数y＝lnx－x的极值情况是(　　)
A．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
答案　A
解析　y′＝－1＝(x>0)，
由y′＝0得x＝1，
当00，函数是增函数，
当x>1时y′<0，函数是减函数，
所以当x＝1时函数y＝lnx－x取极大值，没有极小值．故选A.
4．函数f(x)＝x2－lnx的极值点为(　　)
A．0，1，－1 B.
C．－ D.，－
答案　B
解析　由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝.令f′(x)＝0，得x＝.当x>时，f′(x)>0；当05．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数(　　)
A．2 B．1
C．0 D．由a确定
答案　C
解析　f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0恒成立．f(x)单调递增，故无极值点．
6．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝(　　)
A. B．－
C．－ln2 D．ln2
答案　B
解析　由y＝x·2x，得y′＝2x＋x·2x·ln2.
令y′＝0，得2x(1＋x·ln2)＝0.
∵2x＞0，∴x＝－.
7．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于(1，0)，则极小值为(　　)
A．0 B．－
C．－ D．1
答案　A
解析　f′(x)＝3x2－2px－q，
由题知
解得p＝2，q＝－1.
∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，
解得x＝1或x＝.
经检验知x＝1是函数的极小值点．
∴f(x)极小值＝f(1)＝0.
8．【多选题】如图所示是y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．f(x)在区间(－3，1)上是增函数
B．x＝－1是f(x)的极小值点
C．f(x)在区间(2，4)上是减函数，在区间(－1，2)上是增函数
D．x＝2是f(x)的极小值点
答案　BC
解析　由y＝f′(x)的图象知f(x)在(－3，－1)及(2，4)上是减函数，在(－1，2)上是增函数，x＝－1是极小值点，x＝2是极大值点，即B、C正确．故选BC.
9．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________．
答案　3
解析　
f′(x)＝
＝＝，
因为函数f(x)在x＝1处取得极值，
所以f′(1)＝＝0，解得a＝3.经验证符合题意．
10．设函数f(x)＝x·(x－c)2在x＝2处有极大值，则c＝________．
答案　6
解析　f′(x)＝3x2－4cx＋c2，
∵f(x)在x＝2处有极大值，∴f′(2)＝0，即
c2－8c＋12＝0，解得c1＝2，c2＝6.
当c＝2时，则f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)．
当x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，不合题意，
∴c≠2，∴c＝6.
11．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围(　　)
A．m>0 B．m<0
C．m>1 D．m<1
答案　B
解析　y′＝ex＋m，则ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex<0.
12.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则下列说法中不正确的是________(填序号)．
①当x＝时函数取得极小值；
②f(x)有两个极值点；
③c＝6；
④当x＝1时函数取得极大值．
答案　①
解析　f′(x)的符号为正→负→正，则f(x)的单调性为增→减→增．草图如右图．
13．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝－x3＋12x＋6；
(2)f(x)＝.
解析　(1)f′(x)＝－3x2＋12＝－3(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 单调递减 －10 单调递增 22 单调递减
由上表看出，当x＝－2时，f(x)取得极小值，为f(－2)＝－10；
当x＝2时，f(x)取得极大值，为22.
(2)∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝2.
∴当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，1) (1，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － ＋ 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? ? 非极值 ?
故当x＝－1时，f(x)有极大值，为－.
14．设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解析　(1)f′(x)＝5x4＋3ax2＋b，
由题意知f′(1)＝5＋3a＋b＝0，
f′(2)＝24×5＋22×3a＋b＝0.解得a＝－，b＝20.
经验证符合题意．
(2)由(1)知f′(x)＝5x4－25x2＋20＝5(x2－1)(x2－4)＝5(x＋1)(x＋2)(x－1)(x－2)．
当x∈(－∞，－2)∪(－1，1)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0，
当x∈(－2，－1)∪(1，2)时，f′(x)<0.
因此，f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(－1，1)，(2，＋∞)；f(x)的单调递减区间是(－2，－1)，(1，2)．
15．已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)在点x＝1处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值；
(3)若函数f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数，试确定a的取值范围．
解析　(1)当a＝1时，f(x)＝x2－lnx，f′(x)＝2x－，
f′(1)＝1，又f(1)＝1，∴切线方程为y＝x.
(2)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－，当a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)不存在极值．
当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝，当x>时，f′(x)>0，当0(3)∵f(x)在(2，＋∞)上单调递增，∴f′(x)＝2x－≥0对x∈(2，＋∞)恒成立，即a≤2x2对x∈(2，＋∞)恒成立．∴a≤8.
16．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.
(1)若f(x)在x＝1时有极值－1，求b，c的值；
(2)在(1)的条件下，若函数y＝f(x)的图象与函数y＝k的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围．
解析　(1)因为f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，
所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由已知得f′(1)＝0，f(1)＝－1，
所以解得b＝1，c＝－5.
经验证，b＝1，c＝－5符合题意．
(2)由(1)知，f(x)＝x3＋x2－5x＋2，
f′(x)＝3x2＋2x－5.
由f′(x)＝0得x1＝－，x2＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x － 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
根据上表，当x＝－时函数取得极大值且极大值为f＝，当x＝1时函数取得极小值且极小值为f(1)＝－1.
根据题意结合上图可知k的取值范围为.
备选题：
1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是(　　)
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极小值
C．如果在点x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值
D．如果在点x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极大值
答案　C
2．设a答案　C
解析　f′(x)＝(x－a)(3x－2b－a)．
令f′(x)＝0 (x－a)(3x－2b－a)＝0，
得x1＝a，x2＝.
∵af′(x)>0 x>或xf′(x)<0 a函数的大致图象如图．
3．函数y＝2－x2－x3的极值情况是(　　)
A．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值也无极小值 D．既有极大值又有极小值
答案　D
解析　y′＝－2x－3x2，令y′＝0，
得x1＝－，x2＝0.
当x<－时，y′<0；
当－0；
当x>0时，y′<0.
故当x＝－时，函数y有极小值；
当x＝0时，函数y有极大值．故选D.
4．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B.
C．(0，1) D．(0，＋∞)
答案　B
解析　f′(x)＝(lnx－ax)＋x＝lnx－2ax＋1，
由题意知f′(x)＝0有两解，即lnx－2ax＋1＝0有两解，也即y＝lnx＋1与y＝2ax的图象恰有两个
交点，
若直线y＝2ax恰与曲线y＝lnx＋1相切于(x0，y0)，如图，
且y′＝，则
解得2a＝1，易知要使y＝lnx＋1与y＝2ax的图象恰有两个交点只需0<2a<1，即05．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
答案　y＝－
解析　∵y′＝(1＋x)ex，极值点为x＝－1，∴切线的斜率k＝y′|x＝－1＝0，又f(－1)＝－，∴切线方程为y＝－.
6．若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围为________．
答案　
解析　因为函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，所以f′(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，且在零点附近左右两侧导数值异号．
方法一：①当f′(x)＝x2－ax＋1在区间上只有一个零点时，f′f′(4)<0或或解得≤a<.
②当f′(x)＝x2－ax＋1在区间上有两个不同的零点时，解得2综上，实数a的取值范围为.
方法二：令f′(x)＝x2－ax＋1＝0，则a＝＝x＋在区间上有解．
由函数g(x)＝x＋的性质可知，当x∈时，g(x)∈，所以a∈.
当a＝2时，f′(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，f(x)单调递增，则f(x)无极值，不符合题意，舍去．
综上可知，实数a的取值范围为.
7．如图所示，观察函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图象，请找出f(x)的极大值与极大值点、极小值与极小值点．
解析　f(x4)，f(x8)是函数y＝f(x)的极大值，x4，x8是函数的极大值点；f(x2)，f(x6)，f(x10)是函数y＝f(x)的极小值，x2，x6，x10是函数的极小值点．
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且当x＝－1时取得极大值7，当x＝3时取得极小值，试求函数f(x)的极小值，并求出取得极小值时的a，b，c的值．
解析　f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
∵x＝－1时函数取得极大值，x＝3时取得极小值，
∴－1，3是方程f′(x)＝0的根，即为方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由一元二次方程根与系数关系有
∴经检验符合题意．
∴f(x)＝x3－3x2－9x＋c.
∵x＝－1时极大值为7，
∴(－1)3－3(－1)2－9(－1)＋c＝7.∴c＝2.
极小值f(3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25.
∴a＝－3，b＝－9，c＝2，极小值为－25.
9．已知x＝4是函数f(x)＝alnx＋x2－12x＋11的一个极值点．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解析　(1)f′(x)＝＋2x－12.
因为x＝4是函数f(x)＝alnx＋x2－12x＋11的一个极值点，所以f′(4)＝＋2×4－12＝0，
所以a＝16.经验证，符合题意．
(2)由(1)知f(x)＝16lnx＋x2－12x＋11(x>0)，
f′(x)＝＋2x－12＝
＝，
由≥0，得x≤2或x≥4，
所以当x∈(0，2]或x∈[4，＋∞)时，f(x)单调递增，
由<0，得2所以当x∈(2，4)时，f(x)单调递减．
故f(x)的单调递增区间是(0，2]和[4，＋∞)，单调递减区间是(2，4)．
10．一个三次函数y＝f(x)，当x＝3时取得极小值y＝0，又在此函数的图象上点(1，8)处的切线经过点(3，0)，求函数f(x)的表达式．
解析　由题意，点(3，0)在曲线上，故可设y＝a(x－3)3＋b(x－3)2＋c(x－3)．
∵当x＝3时，y取得极小值，∴y′|x＝3＝0.
而y′＝3a(x－3)2＋2b(x－3)＋c，把x＝3代入得c＝0.
∴y＝a(x－3)3＋b(x－3)2，
y′＝3a(x－3)2＋2b(x－3)．
∵曲线过点(1，8)，∴－8a＋4b＝8.①
∵曲线在点(1，8)处的切线经过点(3，0)，
∴该切线的斜率k＝＝－4.
另一方面，应有k＝y′|x＝1，
从而12a－4b＝－4.②
由①②两式解得a＝1，b＝4.经验证，符合题意．
∴y＝(x－3)3＋4(x－3)2，即y＝x3－5x2＋3x＋9.