人教版高中数学选择性必修第二册5.3.2函数的极值与最大(小)值 第2课时 同步作业（含解析）

人教版高中数学选择性必修第二册
5.3.2函数的极值与最大(小)值第2课时 同步作业（原卷版）
1．设在区间[a，b]上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上可导，有以下三个命题：
①若f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值必是[a，b]上的极大值；
②若f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值必是[a，b]上的极小值；
③若f(x)在[a，b]上有最值，则最值必在x＝a或x＝b处取得．
其中，正确的命题有(　　)
A．0个　　　　　　　　　　 B．1个
C．2个 D．3个
2．函数f(x)＝x(1－x2)在[0，1]上的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
3．函数y＝的最大值为(　　)
A．e－1 B．e
C．e2 D.
4．函数f(x)＝x＋2cosx在区间上的最小值是(　　)
A．－ B．2
C.＋ D.＋1
5．若函数y＝x3＋x2＋m在[－2，1]上的最大值为，则m等于(　　)
A．0 B．1
C．2 D.
6．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
7．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________．
8．函数f(x)＝ex(x2－4x＋3)在[0，1]上的最小值是________．
9．已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在最大值，则实数a的取值范围是________．
10．若不等式x4－4x3>2－a对任意实数x都成立，则a的取值范围是________．
11．【多选题】已知函数f(x)＝x3－ax－1，以下结论正确的为(　　)
A．当a＝0时，函数f(x)的图象的对称中心为(0，－1)
B．当a≥3时，函数f(x)在(－1，1)上为单调递减函数
C．若函数f(x)在(－1，1)上不单调，则0D．当a＝12时，f(x)在[－4，5]上的最大值为15
12．已知函数f(x)＝x2＋lnx.
(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的最大、最小值；
(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3图象的下方．
13．已知函数f(x)＝(x∈R)，a为正数．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若对任意x1，x2∈[0，4]均有|f(x1)－f(x2)|<1成立，求实数a的取值范围．
14．已知函数f(x)＝alnx＋bx的图象在点(1，－3)处的切线的方程为y＝－2x－1.
(1)若对任意x∈有f(x)≤m恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若函数y＝f(x)＋x2＋2在区间[k，＋∞)上有零点，求实数k的最大值．
15．设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a>0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0，1]上的最大值为，求a的值．
1．下列说法正确的是(　　)
A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值
B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值
C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值
D．若函数在给定闭区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可能有多个极值
2．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，都有f(x)≥0，则的值域为(　　)
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．[2，＋∞) D．(－∞，2]
3．函数y＝x4－4x＋3在区间[－2，3]上的最小值为(　　)
A．72 B．36
C．12 D．0
4．函数y＝f(x)在[a，b]上(　　)
A．极大值一定比极小值大 B．极大值一定是最大值
C．最大值一定是极大值 D．最大值一定大于极小值
5．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)(　　)
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．以上都有可能
人教版高中数学选择性必修第二册
5.3.2函数的极值与最大(小)值第2课时 同步作业（解析版）
1．设在区间[a，b]上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上可导，有以下三个命题：
①若f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值必是[a，b]上的极大值；
②若f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值必是[a，b]上的极小值；
③若f(x)在[a，b]上有最值，则最值必在x＝a或x＝b处取得．
其中，正确的命题有(　　)
A．0个　　　　　　　　　　 B．1个
C．2个 D．3个
答案　A
解析　由于函数的最值可能在区间[a，b]的端点处取得，也可能在区间(a，b)上取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此命题①②③都不正确．
2．函数f(x)＝x(1－x2)在[0，1]上的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　f′(x)＝1－3x2，令f′(x)＝0，得x＝(负值舍去)．
∵f(0)＝0，f(1)＝0，f＝，
∴f(x)max＝.
3．函数y＝的最大值为(　　)
A．e－1 B．e
C．e2 D.
答案　A
解析　y′＝＝(x>0)，
令y′＝0，得x＝e.
∴当0当x>e时，y′<0，y＝为减函数．
∴y＝在(0，＋∞)上的最大值为ymax＝＝.
4．函数f(x)＝x＋2cosx在区间上的最小值是(　　)
A．－ B．2
C.＋ D.＋1
答案　A
解析　f′(x)＝1－2sinx，
∵x∈，
∴sinx∈[－1，0]，∴－2sinx∈[0，2]．
∴f′(x)＝1－2sinx>0在上恒成立，
∴f(x)在上单调递增．
∴f(x)min＝f＝－＋2cos＝－.
5．若函数y＝x3＋x2＋m在[－2，1]上的最大值为，则m等于(　　)
A．0 B．1
C．2 D.
答案　C
解析　y′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)，
令y′＝0，得x＝0或x＝－1.
因为f(0)＝m，f(－1)＝m＋，
又f(1)＝m＋，f(－2)＝m－2，
所以f(1)＝m＋最大，
所以m＋＝，所以m＝2.故选C.
6．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
答案　A
解析　令h(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b]，
则h′(x)＝f′(x)－g′(x)<0.
∴h(x)是[a，b]上的减函数．
∴h(x)max＝[f(x)－g(x)]max＝f(a)－g(a)．故选A.
7．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________．
答案　－71
8．函数f(x)＝ex(x2－4x＋3)在[0，1]上的最小值是________．
答案　0
解析　f′(x)＝ex(x2－4x＋3)＋ex(2x－4)＝ex(x2－2x－1)＝ex[(x－1)2－2]，
当x∈[0，1]时f′(x)<0，
f(x)在[0，1]上是减函数，f(x)min＝f(1)＝0.
9．已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在最大值，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　因为f(x)＝，x>0，所以f′(x)＝－.
当00；当x>1时，f′(x)<0.
所以f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，
所以函数f(x)在x＝1处取得极大值．
因为函数f(x)在区间(其中a>0)上存在最大值，
所以解得10．若不等式x4－4x3>2－a对任意实数x都成立，则a的取值范围是________．
答案　(29，＋∞)
解析　由题意得－a令f(x)＝x4－4x3－2，
f′(x)＝4x3－12x2＝4x2(x－3)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表
x (－∞，0) 0 (0，3) 3 (3，＋∞)
f′(x) － 0 － 0 ＋
f(x) ? －2 ? －29 ?
因此－a<－29，∴a>29.
11．【多选题】已知函数f(x)＝x3－ax－1，以下结论正确的为(　　)
A．当a＝0时，函数f(x)的图象的对称中心为(0，－1)
B．当a≥3时，函数f(x)在(－1，1)上为单调递减函数
C．若函数f(x)在(－1，1)上不单调，则0D．当a＝12时，f(x)在[－4，5]上的最大值为15
答案　ABC
解析　本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值．y＝x3为R上的奇函数，其图象的对称中心为原点，当a＝0时，根据平移知识，函数f(x)的图象的对称中心为(0，－1)，A正确．
由题意知f′(x)＝3x2－a，因为当－1f′(x)＝3x2－a，当a≤0时，f′(x)≥0，f′(x)不恒等于0，此时f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，不合题意，故a>0.令f′(x)＝0，解得x＝±.因为f(x)在(－1，1)上不单调，所以f′(x)＝0在(－1，1)上有解，所以0<<1，解得0令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2.根据函数的单调性，f(x)在[－4，5]上的最大值只可能为f(－2)或f(5)．因为f(－2)＝15，f(5)＝64，所以最大值为64，D错误．故选ABC.
12．已知函数f(x)＝x2＋lnx.
(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的最大、最小值；
(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3图象的下方．
解析　(1)由已知得f′(x)＝x＋，
当x∈[1，e]时，f′(x)＞0，
所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增．
所以函数f(x)在区间[1，e]上的最小、最大值分别为f(1)，f(e)．
因为f(1)＝，f(e)＝＋1，所以函数f(x)在区间[1，e]上的最大值为＋1，最小值为.
(2)证明：设F(x)＝x2＋lnx－x3，则F′(x)＝x＋－2x2＝.因为x＞1，所以F′(x)＜0.
所以函数F(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，
又F(1)＝－＜0，
所以在区间(1，＋∞)上F(x)＜0，
即x2＋lnx＜x3.
所以函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3图象的下方．
13．已知函数f(x)＝(x∈R)，a为正数．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若对任意x1，x2∈[0，4]均有|f(x1)－f(x2)|<1成立，求实数a的取值范围．
解析　(1)令f′(x)＝＝＝0，
得x＝0或x＝3.
∵a>0，ex>0，
∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，
当x∈(0，3)时，f′(x)>0，
当x∈(3，＋∞)时，f′(x)<0.
故f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(3，＋∞)，
单调递增区间为(0，3)．
(2)在x∈[0，4]时，由(1)知f(x)在x∈[0，3]时单调递增，x∈[3，4]时单调递减，
∴f(3)为f(x)在[0，4]上的最大值．
而f(0)＝－a，f(4)＝，则f(0)故在[0，4]上f(x)的最小值为f(0)，
若要对任意x1，x2∈[0，4]有|f(x1)－f(x2)|<1，
只需|f(x)max－f(x)min|<1，即f(3)－f(0)<1.
∴＋a<1 a<，
又a>0，∴a的取值范围为.
14．已知函数f(x)＝alnx＋bx的图象在点(1，－3)处的切线的方程为y＝－2x－1.
(1)若对任意x∈有f(x)≤m恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若函数y＝f(x)＋x2＋2在区间[k，＋∞)上有零点，求实数k的最大值．
解析　(1)∵点(1，－3)在函数f(x)图象上，
∴－3＝aln1＋b，∴b＝－3.
∵f′(x)＝－3，由题意f′(1)＝－2，
即a－3＝－2，∴a＝1.∴f(x)＝lnx－3x.
∴f′(x)＝－3.
当x∈时，f′(x)≤0，
∴f(x)在上为减函数．
∴f(x)max＝f＝ln－1＝－ln3－1.
∵对任意x∈，有f(x)≤m恒成立，
∴m≥－ln3－1，即实数m的取值范围为[－ln3－1，＋∞)．
(2)f(x)＝lnx－3x的定义域为(0，＋∞)，
∴y＝lnx－3x＋x2＋2，x∈(0，＋∞)．
∴y′＝－3＋2x＝.
令y′＝0，得x＝1，或x＝.
x 1 (1，＋∞)
y′ ＋ 0 － 0 ＋
y 增 极大值 减 极小值 增
而y|x＝1＝0，∴x＝1为y＝lnx－3x＋x2＋2，x∈(0，＋∞)的最右侧的一个零点，故k的最大值为1.
15．设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a>0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0，1]上的最大值为，求a的值．
解析　函数f(x)的定义域为(0，2)，
f′(x)＝－＋a.
(1)当a＝1时，f′(x)＝，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)．
(2)当x∈(0，1]时，f′(x)＝＋a>0，
即f(x)在(0，1]上单调递增，故f(x)在(0，1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
1．下列说法正确的是(　　)
A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值
B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值
C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值
D．若函数在给定闭区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可能有多个极值
答案　D
2．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，都有f(x)≥0，则的值域为(　　)
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．[2，＋∞) D．(－∞，2]
答案　C
解析　f′(x)＝2ax＋b.由题意知f′(0)＝b>0，
b2－4ac≤0，且a>0，∴＝＝1＋.
∵b2≤4ac，∴03．函数y＝x4－4x＋3在区间[－2，3]上的最小值为(　　)
A．72 B．36
C．12 D．0
答案　D
解析　y′＝4x3－4，令y′＝0，得4x3－4＝0，x＝1，当x<1时，y′<0；当x>1时，y′>0，所以y极小值＝y|x＝1＝0，而端点的函数值y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72，得ymin＝0.
4．函数y＝f(x)在[a，b]上(　　)
A．极大值一定比极小值大 B．极大值一定是最大值
C．最大值一定是极大值 D．最大值一定大于极小值
答案　D
5．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)(　　)
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．以上都有可能
答案　A
解析　由题意，知在区间[a，b]上，有m≤f(x)≤M，当M＝m时，令M＝m＝C，则必有f(x)＝C，∴f′(x)＝C′＝0.故选A.