人教版高中数学选择性必修第二册5.3.2函数的极值与最大(小)值 第4课时 同步作业（含解析）

人教版高中数学选择性必修第二册
5.3.2函数的极值与最大(小)值第4课时 同步作业（原卷版）
1．一周长为l的扇形，当面积达到最大值时，扇形的半径为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为(　　)
A．10 B．15
C．25 D．50
3．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/时，当速度为10海里/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲、乙两地相距800海里，那么要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为(　　)
A．30海里/时 B．25海里/时
C．20海里/时 D．10海里/时
4.如图所示，两个工厂A，B相距0.6 km，变电站C距A，B都是0.5 km，计划铺设动力线，先由C沿AB的垂线至D，再与A，B相连，D点选在距AB________km处时，动力线最短．
5．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为________．
6．当圆柱形金属罐的表面积为定值S时，应怎样制作，才能使其容积最大？
7．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，那么每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
8．甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
人教版高中数学选择性必修第二册
5.3.2函数的极值与最大(小)值第4课时 同步作业（解析版）
1．一周长为l的扇形，当面积达到最大值时，扇形的半径为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
答案　C
解析　设半径为r，则弧长为l－2r.
S扇＝·弧长·半径＝(l－2r)·r＝－r2＋r.
令S′扇＝－2r＋＝0，得r＝.
2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为(　　)
A．10 B．15
C．25 D．50
答案　C
3．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/时，当速度为10海里/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲、乙两地相距800海里，那么要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为(　　)
A．30海里/时 B．25海里/时
C．20海里/时 D．10海里/时
答案　C
4.如图所示，两个工厂A，B相距0.6 km，变电站C距A，B都是0.5 km，计划铺设动力线，先由C沿AB的垂线至D，再与A，B相连，D点选在距AB________km处时，动力线最短．
答案　
解析　设CD⊥AB，垂足为E，DE的长为x km.
由AB＝0.6，AC＝BC＝0.5，得AE＝EB＝0.3.
∴CE＝＝＝0.4.
∴CD＝0.4－x.
∴AD＝BD＝＝＝.
∴动力线总长l＝AD＋BD＋CD
＝2＋0.4－x.
令l′＝2·－1＝＝0，
即2x－＝0.解得x＝.(∵x＞0)
当0∴l在x＝时有最小值．
5．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为________．
答案　R
解析　作轴截面如右图，设圆柱高为2h，则底面半径为.
圆柱体体积为V＝π(R2－h2)·2h＝2πR2h－2πh3.
令V′＝0，得2πR2－6πh2＝0.
∴h＝R，即当2h＝R时，圆柱体的体积最大．
6．当圆柱形金属罐的表面积为定值S时，应怎样制作，才能使其容积最大？
解析　设圆柱的高为h，底面半径为R，
则S＝2πRh＋2πR2，∴h＝.①
∴圆柱容积为V＝πR2h＝R(S－2πR2)＝RS－πR3.
∴V′(R)＝S－3πR2.
令V′(R)＝0，得S＝6πR2，代入①式中得
h＝＝2R.
∴h＝2R时，圆柱的容积最大．
7．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，那么每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
解析　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
则f(x)＝560＋48x＋
＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)，
f′(x)＝48－.
令f′(x)＝0，得x＝15.
当x>15时，f′(x)>0；
当10≤x<15时，f′(x)<0.
因此，当x＝15时，
f(x)取最小值f(15)＝2 000(元)．
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．
8．甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解析　(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为y＝a·＋bv2·＝s，
∴所求函数及其定义域为y＝s，v∈(0，c]．
(2)由题意s，a，b，v均为正数．
由y′＝s＝0，得v＝.但v∈(0，c]．
①若≤c，则当v＝时，全程运输成本y最小；
②若>c，则v∈(0，c]，此时y′<0，即y在(0，c]上为减函数．所以当v＝c时，y最小．
综上可知，为使全程运输成本y最小，
当≤c时，行驶速度v＝；
当>c时，行驶速度v＝c.
9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解析　(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.而建造费用为C1(x)＝6x.
故隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5或x＝－(舍去)．
当0当50，
故x＝5是f(x)的极小值点，对应的极小值也是最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．