第21章 二次函数与反比例函数 单元练习 （含解析）

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第21章 二次函数与反比例函数 单元测试 单元练习 2023-2024学年 沪科版（2012）九年级数学上册 （含解析）
一、单选题
1．（2023秋·山东济南·九年级期末）若函数是二次函数，则m的值为（　　）
A．0或 B．0或1 C． D．1
2．（2023秋·湖南长沙·九年级统考期末）在抛物线上的一个点是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）直线l过点且与y轴垂直，若二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）如图1，一张边长为、的长方形纸片的面积等于，将它通过割、拼，再补一个正方形，拼成一个新的正方形(如图2)，可以取得的最小整数是( )
A． B． C． D．3
5．（2023秋·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）如图，过点分别作x轴，y轴的平行线，交直线于A，B两点，若反比例函数的图象与有公共点，则k的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
6．（2022秋·全国·九年级期末）某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（　　）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
二、填空题
7．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架，铁丝恰好全部用完．

（1）若设框架的宽为，则框架的长为 厘米（用含的代数式表示）；
（2）矩形框架面积的最大值为 平方厘米．
8．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期末）如图，平行四边形的面积为4，点A、B分别在双曲线和上，则k的值为 .

9．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期末）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中．
（1）此二次函数的对称轴为直线 ；
（2）已知点和在此函数的图象上，若，则的取值范围是 ；
10．（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，抛物线的对称轴是直线，并与x轴交于A，B两点．若，则下列结论中：
①；
②；
③；
④若为任意实数，则，正确的是 ．

11．（2022秋·安徽宣城·九年级统考期末）在“探索函数的系数a，b，c与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图像，发现这些图像对应的函数表达式各不相同，其中a的最大值与最小值的和为 ；a的最小值为 ．
三、解答题
12．（2018秋·浙江湖州·九年级校联考期末）如图，二次函数的图象与y交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点B．
(1)求二次函数与一次函数的表达式．
(2)根据图象，写出满足的x的取值范围．
13．（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）已知某抛物线的对称轴为直线，且过和两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)填空：
①当时，值所对应的范围是___________；
②若将此抛物线向下平移个单位与轴有公共点时，则的范围是___________．
14．（2022秋·新疆阿克苏·九年级统考期末）已知二次函数．
(1)用配方法求函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向；
(2)在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象．
(3)若将此图象沿x轴向右平移5个单位，再沿y轴向下平移3个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．
15．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面处．

小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表．
运动时间 0 1 2 3 4
运动速度 10 9.5 9 8.5 8
运动距离 0 9.75 19 27.75 36
小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．
(1)求关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若白球一直以的速度匀速运动，求两球之间距离与运动时间之间的关系式，判断并说明黑球在运动过程中会不会碰到白球．
16．（2023秋·湖北黄冈·九年级统考期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点．

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)过点作轴，垂足为，求的面积．
(3)根据所给条件，请直接写出不等式的解集．
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参考答案：
1．C
【分析】利用二次函数定义可得，且，再解即可．
【详解】解：由题意得：，且，
解得：或且，
故，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，我们把形如（其中a，b，c是常数，）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
2．C
【分析】把点的坐标逐一代入函数的解析式，相等就是在抛物线上．
【详解】∵，
故A不符合题意；
∵，
故B不符合题意；
∵，
故C符合题意；
∵，
故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了点与图像的关系，熟练掌握判定的基本方法是解题的关键．
3．B
【分析】由直线l：，化简抛物线可得，令，利用判别式，解出，由对称轴在y轴右侧可求即可解答．
【详解】解：∵直线l过点且与y轴垂直，
∴直线l为，
∵化简抛物线可得，
∴令，即，
∵二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，
∴，
∴，
又∵对称轴在y轴右侧，
，
∴，
∴．
故选择D．
【点睛】本题主要考查二次函数与直线的交点问题、抛物线对称轴、一元二次方程的根的判别式等知识点，掌握二次函数与直线的交点问题转化为一元二次方程实根问题是解题关键．
4．B
【分析】利用长方形的面积公式，可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】解：根据题意得：，
，
．
，且，
当时，随的增大而增大，
当时，可以取得最小整数，此时．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，根据各数量之间的关系，找出k关于a的函数关系式是解题的关键．
5．C
【分析】根据题意可知当k最小时正好过点C，当直线与反比例函数只有一个交点时，k取得最大值，从而可以求得k的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数的图象与有公共点，过点分别作x轴、y轴的平行线，交直线于A、B两点，
∴当经过点C时，，
当与的图象只有一个交点时，
∴方程有两个相等的根，
∴方程整理为：，
∴，解得，，
∴反比例函数的图象与有公共点，则k的取值范围是，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．B
【分析】设利润为y，售价定为每件x元，根据：利润=每件利润×销售量，列方程求解，然后利用配方法求二次函数取最大值时x的值即可．
【详解】设利润为y，售价定为每件x元，
由题意得，y=（x-18）×[100-10（x-20）]，
整理得：y=-10x2+480x-5400=-10（x-24）2+360，
∵-10＜0，
∴开口向下，
故当x=24时，y有最大值．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度适中，解答本题的关键是根据题意列出二次函数，要求同学们掌握求二次函数最大值的方法．
7． 150
【分析】（1）若设框架的宽为，则框架的长可以求出；
（2）在（1）的基础上，列出二次函数，再利用二次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）如图，若设框架的宽为，则
∵铁丝的长为60厘米
∴
∴框架的长为

若设框架的宽为，则框架的长为
∴
∵
∴要使矩形框架面积的最大值，则，此时最大的面积为150平方厘米
故答案为：（1）；（2）150
【点睛】此题考查的是二次函数在实际应用生活中的运用及求函数最值的方法，属于简单题目；解体的关键是用一个未知数表示长与宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值.
8．5
【分析】设点的坐标为，再用表示点的坐标，根据平行四边形的面积为4，列方程即可求出值．
【详解】解：设点的坐标为，
平行四边形中，，
点的纵坐标相同，即，
把代入得，，
，
点的坐标为，
，
平行四边形的面积为4，
，
．
故答案为：5
【点睛】本题考查了反比例函数，两点间的距离及平行四边形的性质，关键是能根据题意列方程．
9． /0.5
【分析】（1）根据二次函数，经过和，是对称点，算出对称轴即可；
（2）根据对称轴为直线，点和在二次函数的图象上，画出函数图象，点关于对称轴的对称点，分析图象，写出的取值范围即可．
【详解】（1）二次函数，
函数经过和，是对称点，
对称轴为直线，
故答案为：
（2）二次函数，
二次项系数为，
函数图象开口向上，
又和在此函数的图象上，对称轴为直线，
画出图象如下图，点关于对称轴的对称点横坐标，
，
点应在线段下方部分的抛物线上（包括点、），
，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象数形结合是解题的关键．
10．②③④
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点可得，，的符号及与的关系，从而判断①，由及对称轴可得点坐标，从而判断②③，由时取最小值可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
，
∵抛物线对称轴为直线，
，
∵抛物线与轴交点在轴上方，
，
，①错误．
设抛物线对称轴与轴交点为，则，

，
，即点坐标为，
时，，
，②正确．
抛物线对称轴为直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，③正确．
时取最小值，
，即，④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
11. 0
【分析】用待定系数法分别求出经过A，B，C三点，A，B，D三点，A，C，D三点，B，C，D三点的函数解析式即可求解．
【详解】当抛物线经过三点时，
得，
解得，
；
当抛物线经过三点时，
得，
解得，
∴；
当抛物线经过三点时，
得，
解得，
∴；
当抛物线经过三点时，
得，
解得，
∴，
∵
∴a的值最大是， a的值最小是，
∴．
故答案为0，．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
12．(1)二次函数解析式为，一次函数解析式为
(2)或．
【分析】（1）先利用待定系数法先求出m，再求出点B坐标，利用方程组求出一次函数解析式；
（2）根据二次函数的图象在一次函数的图象上方或二者的交点处即可写出自变量x的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数经过点，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
在中，当时，
∴点C坐标，
∵对称轴为直线，B、C关于对称轴对称，
∴点B坐标，
∵一次函数经过点A、B，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为，
（2）解：由函数图象可知，当二次函数图象在一次函数图象上方或二者的交点处时，或，
∴不等式，即不等式的x的取值范围为或．
【点睛】本题考查二次函数与不等式、待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定好解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围，属于中考常考题型．
13．(1)；
(2)①；②．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①根据解析式可得开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线，进而可得当时，时，取得最大值，进而即可求解．
②根据函数图象以及顶点坐标，结合题意，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，且过和两点
∴
解得：
∴抛物线解析式为
（2）①∵，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
∵，
∴当时，取得最大值
当时，取得最小值
∴当时，值所对应的范围是；
故答案为：．

②∵顶点坐标为
∴若将此抛物线向下平移个单位与轴有公共点时，则的范围是
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．(1)该函数图象的顶点坐标为，对称轴是直线，图象的开口向上
(2)画函数图象见解析
(3)平移后图象所对应的函数关系式为
【分析】（1）利用配方法把函数解析式化为顶点式，即可求解；
（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，然后画出图象，即可求解；
（3）根据二次函数平移的规律-左加右减，上加下减，即可求解．
【详解】（1）解：，
该函数图象的顶点坐标为，对称轴是直线，图象的开口向上；
（2）解：
，
当时，，当时，，
∴该函数过点，，，
∴函数图象如图所示．
（3）解：∵图象沿x轴向右平移5个单位，再沿y轴向下平移3个单位，
∴平移后的二次函数图象的顶点坐标为，
∴平移后图象所对应的函数关系式为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标，与x轴的交点坐标，掌握抛物线平移的规律是解题的关键．
15．(1)，
(2)，黑球不会碰到白球，见解析
【分析】（1）根据黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，设表达式为，代入两组数值求解即可；根据运动距离与运动时间之间成二次函数关系，设表达式为，代入三组数值求解即可；
（2）设黑白两球的距离为，得到，当时，，由得到方程没有实数根，于是得到结论．
【详解】（1）解：设，
将，代入，
得，
解得，，
∴，
设，将，，代入，得
，
解得，
∴．
（2）设黑白两球的距离为，
根据题意可知，，
即，
黑球在运动过程中不会碰到白球，理由如下：
当时，，
∵，
∴方程没有实数根，
∴黑球不会碰到白球．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用、一元二此方程根的判别式的应用等知识，关键是明确题意求出函数表达式．
16．(1)，；
(2)5；
(3)或．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，确定参数，将点B坐标代入反比例函数解析式，得参数，将两点坐标代入一次函数解析式，得方程组求解确定一次解析式；
（2）由图，以为底求面积，的面积；
（3）图象法求解，观察函数图象，在第一、三象限内，直线位于双曲线上方（含交点）时自变量取值范围为解集．
【详解】（1）解：由题意知，，得，
∴
∴
∴
点在上，则
，解得
∴．
（2）解：如图，的面积．
（3）解：由知，
解集为或．
【点睛】本题考查函数解析式与点坐标，待定系数法确定函数解析式，图象法解一元一次不等式，掌握数形结合思想，理解图象与方程、不等式的联系是解题的关键．
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