华东师大版九年级数学上册 23.3.4相似三角形应用----“一线三等角”相似模型 讲义 （无答案）
文档属性
| 名称 | 华东师大版九年级数学上册 23.3.4相似三角形应用----“一线三等角”相似模型 讲义 （无答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 419.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-16 21:37:44 | ||
图片预览
文档简介
“一线三等角”模型
【知识梳理】
一线三等角
1． 如图1，∠ACB＝∠D＝∠E＝90°且∠CAB＝45°→△ACD≌△CBE，此为：“一线三直角”全等，又
称“K字型”全等；
(
A
B
D
E
C
45
°
) (
A
B
C
E
D
α
) (
A
B
C
D
E
)
图1 图2 图3
2． 如图2，∠ACB＝∠D＝∠E＝90°→△ACD∽△CBE，此为：“一线三直角”相似，又称：“K字型”相似；
3． 如图3，∠ACB＝∠D＝∠E→△ACD∽△CBE，此为更一般的“一线三等角”．
怎么用？
1．找模型
在两个三角形中有一条边共线，且有三个角相等时，考虑“一线三等角”相似模型
2.用模型
确定一线三等角后，依据平角性质，三角形的内角和及内外角关系导角证得相似，再利用相似性质解题
“一线三等角”的应用分三重境界：
一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1所示的“同侧型一线三等角”及图2所示的“异侧型一线三等角”；
二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题；
三重镜：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图3及图4所示；
图1 图2 图3 图4
【考点剖析】
例1.例1如图，在边长为7的等边△ABC中，点D是BC上的动点，∠MDN =60°，若BD=2，NC=4，则BM的长为（ ）
A. B.2 c. D.3
例2.如图，直角梯形ABCD中，AB // CD，，点E在边BC上，且， AD = 10，求的面积．
例3.已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：＝；
（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长．
例4.如图，在中，点、分别在边、上，连接、，且．
（1）证明：；
（2）若，，当点在上运动时（点不与、重合），且是等腰三角形，求此时的长．
例5.如图，直线y与双曲线y（x＞0）的交点为A，与x轴的交点为B．
（1）求∠ABO的度数；
（2）求AB的长；
（3）已知点C为双曲线y（x＞0）上的一点，当∠AOC＝60°时，求点C的坐标．
例6.如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．
【过关检测】
1. 如图，点E是AB的中点，AC=7，BD=3，若∠A=∠CED=∠B，则AB的长为（ ）
A. B. C.10 D.7
2. 如图，在四边形ABCD中，AD=4，AB=10，点E是AB的中点，连接DE，CE，若∠A=∠B=∠DEC，则BC的长为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），AC⊥AB，AC=3，则点C的坐标为（ ）
B. C. D.
4. 如图，在矩形ABCD中，点E是CD上一点，沿AE折叠 ADE，使得点D落在BC 边上的点F处，若AF=10，且 则矩形ABCD的周长为 ( )
A.36 B.28 C.20 D.16
5.如图，已知反比例函数的图像经过点A（3,4），在该图像上找一点P，使∠POA=45°，则点P的坐标为____________。
6.如图，把等边△ABC沿DE翻折，使点A落在BC上的F处，给出以下结论：
①∠BDF＝∠EFC；②BD CE＝BF CF；③S△BDF+S△EFC；④若BF：CF＝1：2，则AD：AE＝4：5．其中正确的结论有 ．（填序号）
7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），
∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且sinα．下列结论：
①△ADE∽△ACD；
②当BD＝2时，△ABD与△DCE全等；
③△DCE为直角三角形时，BD的长一定为4；
④0＜CE≤3.2．
其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
8.已知：如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE，如果点D在BC上，且∠EDC＝∠BAD，点O为AC与DE的交点．
求证：（1）△ABC∽△ADE；
（2）DA OE＝OA CE．
9.如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延长线于点E．
（1）求证：△ABM∽△MCF；
（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积．
10.如图，∠C＝∠CBD＝90°，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△DBE∽△BAC．
（2）若BC＝3，DB＝2，CA＝1，求DE的长．
11.矩形ABCD一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．
12.已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB．△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿着CB方向匀速移动，速度为1cm/s；当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②．设移动时间为t（s）（0＜t＜4）．连接PQ、MQ、MC．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥AB？
（2）当t＝3时，求△QMC的面积；
（3）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
13.如图1，在四边形ABCD中，AC是对角线，且AB＝AC．F是BC边上一动点，连接AF，DF，DF交AC于点E，其中∠DAF＝90°，∠AFD＝∠B．
（1）求证：AC EC＝BF CF；
（2）若AB＝AC＝10，BC＝16．
①如图2，若DF∥AB，求的值；
②如图3，若DF＝DC，求△DCF的面积．
14.在平面直角坐标系xOy中，点B（0，3），点C（4，0）
（1）求线段BC的长．
（2）如图1，点A（﹣1，0），D是线段BC上的一点，若△BAD∽△BCA时，求点D的坐标．
（3）如图2，以BC为边在第一象限内作等边△BCE，求点E的坐标．
15.如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝10，BC＝16，点p在线段BC上运动（P不与B，C重合），连接AP，做∠APM＝∠B，PM交AC于点M．
（1）求证：△ABP∽△PCM；
（2）在P点运动过程中，若PM∥AB，请求出线段BP的长；
（3）探究：在P点运动过程中，连接BM，设△ABM的面积为S，试分析S是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，说明理由．
【知识梳理】
一线三等角
1． 如图1，∠ACB＝∠D＝∠E＝90°且∠CAB＝45°→△ACD≌△CBE，此为：“一线三直角”全等，又
称“K字型”全等；
(
A
B
D
E
C
45
°
) (
A
B
C
E
D
α
) (
A
B
C
D
E
)
图1 图2 图3
2． 如图2，∠ACB＝∠D＝∠E＝90°→△ACD∽△CBE，此为：“一线三直角”相似，又称：“K字型”相似；
3． 如图3，∠ACB＝∠D＝∠E→△ACD∽△CBE，此为更一般的“一线三等角”．
怎么用？
1．找模型
在两个三角形中有一条边共线，且有三个角相等时，考虑“一线三等角”相似模型
2.用模型
确定一线三等角后，依据平角性质，三角形的内角和及内外角关系导角证得相似，再利用相似性质解题
“一线三等角”的应用分三重境界：
一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1所示的“同侧型一线三等角”及图2所示的“异侧型一线三等角”；
二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题；
三重镜：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图3及图4所示；
图1 图2 图3 图4
【考点剖析】
例1.例1如图，在边长为7的等边△ABC中，点D是BC上的动点，∠MDN =60°，若BD=2，NC=4，则BM的长为（ ）
A. B.2 c. D.3
例2.如图，直角梯形ABCD中，AB // CD，，点E在边BC上，且， AD = 10，求的面积．
例3.已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：＝；
（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长．
例4.如图，在中，点、分别在边、上，连接、，且．
（1）证明：；
（2）若，，当点在上运动时（点不与、重合），且是等腰三角形，求此时的长．
例5.如图，直线y与双曲线y（x＞0）的交点为A，与x轴的交点为B．
（1）求∠ABO的度数；
（2）求AB的长；
（3）已知点C为双曲线y（x＞0）上的一点，当∠AOC＝60°时，求点C的坐标．
例6.如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．
【过关检测】
1. 如图，点E是AB的中点，AC=7，BD=3，若∠A=∠CED=∠B，则AB的长为（ ）
A. B. C.10 D.7
2. 如图，在四边形ABCD中，AD=4，AB=10，点E是AB的中点，连接DE，CE，若∠A=∠B=∠DEC，则BC的长为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），AC⊥AB，AC=3，则点C的坐标为（ ）
B. C. D.
4. 如图，在矩形ABCD中，点E是CD上一点，沿AE折叠 ADE，使得点D落在BC 边上的点F处，若AF=10，且 则矩形ABCD的周长为 ( )
A.36 B.28 C.20 D.16
5.如图，已知反比例函数的图像经过点A（3,4），在该图像上找一点P，使∠POA=45°，则点P的坐标为____________。
6.如图，把等边△ABC沿DE翻折，使点A落在BC上的F处，给出以下结论：
①∠BDF＝∠EFC；②BD CE＝BF CF；③S△BDF+S△EFC；④若BF：CF＝1：2，则AD：AE＝4：5．其中正确的结论有 ．（填序号）
7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），
∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且sinα．下列结论：
①△ADE∽△ACD；
②当BD＝2时，△ABD与△DCE全等；
③△DCE为直角三角形时，BD的长一定为4；
④0＜CE≤3.2．
其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
8.已知：如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE，如果点D在BC上，且∠EDC＝∠BAD，点O为AC与DE的交点．
求证：（1）△ABC∽△ADE；
（2）DA OE＝OA CE．
9.如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延长线于点E．
（1）求证：△ABM∽△MCF；
（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积．
10.如图，∠C＝∠CBD＝90°，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△DBE∽△BAC．
（2）若BC＝3，DB＝2，CA＝1，求DE的长．
11.矩形ABCD一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．
12.已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB．△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿着CB方向匀速移动，速度为1cm/s；当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②．设移动时间为t（s）（0＜t＜4）．连接PQ、MQ、MC．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥AB？
（2）当t＝3时，求△QMC的面积；
（3）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
13.如图1，在四边形ABCD中，AC是对角线，且AB＝AC．F是BC边上一动点，连接AF，DF，DF交AC于点E，其中∠DAF＝90°，∠AFD＝∠B．
（1）求证：AC EC＝BF CF；
（2）若AB＝AC＝10，BC＝16．
①如图2，若DF∥AB，求的值；
②如图3，若DF＝DC，求△DCF的面积．
14.在平面直角坐标系xOy中，点B（0，3），点C（4，0）
（1）求线段BC的长．
（2）如图1，点A（﹣1，0），D是线段BC上的一点，若△BAD∽△BCA时，求点D的坐标．
（3）如图2，以BC为边在第一象限内作等边△BCE，求点E的坐标．
15.如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝10，BC＝16，点p在线段BC上运动（P不与B，C重合），连接AP，做∠APM＝∠B，PM交AC于点M．
（1）求证：△ABP∽△PCM；
（2）在P点运动过程中，若PM∥AB，请求出线段BP的长；
（3）探究：在P点运动过程中，连接BM，设△ABM的面积为S，试分析S是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，说明理由．