(共24张PPT)
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式及其证明思路.
2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系,会用等比数列的前n项和公式
解决与等比数列有关的问题.
3.理解等比数列前n项和公式的函数特征,应用等比数列前n项和公式的有关性质
解题.
4.3.2 等比数列的前n项和公式
已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比
选用公式 Sn= Sn=
1 |等比数列的前n项和公式
1.当公比q≠1时,设A= ,等比数列的前n项和公式是Sn=A(qn-1),即Sn是n的指数型
函数.
2.当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,Sn是n的正比例函数.
2 |等比数列前n项和公式的函数特征
已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,则利用等比数列的通项公式及其
前n项和公式可推得Sn有如下性质:
1.Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm,m,n∈N*.
2.当q≠-1或q=-1且k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.
3.设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n,则 =q;若项数为2n+1,
则 =q.
4.当q=1时, = ;当q≠±1时, = .
3 |等比数列前n项和的性质
1.设Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=3·2n-3,则该数列是等比数列. ( √ )
提示:等比数列前n项和公式可以写成Sn=A-Aqn(q≠1)的形式,所以该数列是等比数
列.
2.已知数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn= . ( )
提示:当a=1时,Sn=n,结论不成立.
3.已知等比数列{an}的公比为 ,则该数列的前100项中,偶数项的和与奇数项的和
之比为25. ( )
提示:当等比数列的项数为2n时, =q,所以 = .
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
4.已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,则S10,S20-S10,S30-S20,…仍构成等比数列.
( )
提示:当公比为-1时不成立.
5.已知等比数列{an}是递增数列,其前n项和为Sn,则{Sn}也是递增数列. ( )
提示:当a1<0,0论错误.
1|等比数列前n项和公式及其应用
1.等比数列的前n项和公式要分公比q=1和q≠1两种情况,因此,当公比未知时,要
先对公比进行分类讨论,再求和.
(1)若数列{an}的通项公式为an=an,则{an}的前n项和为Sn=
(2)若已知a1,q(q≠1)和n,则用Sn= 求Sn较简便;
若已知a1,q(q≠1)和an,则用Sn= 求Sn较简便.
2.在等比数列{an}中,对于a1,an,n,q,Sn这五个基本量,已知其中三个量就可利用通项
公式和前n项和公式求出另外两个量.
设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S4=1,S8=17,求Sn.
思路点拨
思路一:设Sn=Aqn-A 由S4=1,S8=17,求出A,q 求出Sn.
思路二:将S4=1,S8=17代入Sn= 中,求出a1,q 求出Sn.
解析 解法一:由S4=1,S8=17,知q≠±1,
故设Sn=Aqn-A(A≠0,q≠±1),
∴ 两式相除,化简得q4=16,∴q=±2.
当q=2时,A= ,Sn= (2n-1);
当q=-2时,A= ,Sn= [(-2)n-1].
解法二:设数列{an}的首项为a1,公比为q,
由S4=1,S8=17,知q≠±1,
∴
两式相除并化简,得q4+1=17,即q4=16,∴q=±2.
当q=2时,a1= ,Sn= = (2n-1);
当q=-2时,a1=- ,Sn= = [(-2)n-1].
在等比数列{an}中,a1=2,S3=6,求a3和q.
解析 由题意得,若q=1,则S3=3a1=6,符合题意.
此时,q=1,a3=a1=2.
若q≠1,则由等比数列的前n项和公式,
得S3= = =6,
化简并整理,得(q+2)(q-1)2=0,解得q=-2.
此时,a3=a1q2=2×(-2)2=8.
综上所述,q=1,a3=2或q=-2,a3=8.
解题模板
1.an=a1qn-1,Sn= (q≠1)两公式共有5个量.解题时,已知3个
量可求出另外2个未知量.
2.当q=1时,等比数列是常数列,所以Sn=na1;当q≠1时,等比数列的前n项和Sn有两个
公式.所以解题时要判断q的值能不能等于1,若q不能等于1,直接应用公式;若q可
以等于1,则要进行分类讨论.
2|等比数列前n项和的性质及其应用
根据等比数列的定义和前n项和公式,可推导出等比数列前n项和的若干性质,在
等比数列前n项和的有关问题中,把握好等比数列前n项和性质的使用条件,恰当
运用性质能帮助我们简化运算,快速解题.
已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于 ( B )
A.80 B.30 C.26 D.16
思路点拨
思路一:由Sn,S3n的值,求出a1,q 求出S4n.
思路二:令n=1,由S1=2,S3=14,求出q 求出S4n.
思路三:由Sn= ,推出Sn,S3n与S4n的关系 求出S4n.
思路四:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列 求出S4n.
解析 解法一:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,
∵S3n=14≠3×2=3Sn,∴q≠1.
由已知得,Sn= =2①,S3n= =14②,
,得q2n+qn-6=0,即(qn+3)(qn-2)=0,
由于数列{an}各项均为正数,
∴qn+3>0,∴qn-2=0,即q= .
∴a1= =2( -1),
∴S4n= = =2×15=30.
解法二:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,注意到四个选项都是具体的数值,
∴S4n是一个与n无关的定值,不妨令n=1,
由解法一知,q≠1,则a1=S1=2,S3= =14,
即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3.
∵an>0,∴q=2,∴S4= =2×15=30.
解法三:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由解法一知,q≠1,则S4n= =
= +qn· =Sn+qnS3n.
这个式子表示了S4n,Sn,S3n之间的关系,
要求S4n,只需求出qn即可.
由于S3n=(a1+a2+…+an)+(an+1+an+2+…+a2n)+(a2n+1+a2n+2+…+a3n)=Sn+qnSn+q2nSn=Sn(1+qn+
q2n),
∴ =1+qn+q2n=7,∴q2n+qn-6=0,解得qn=2或qn=-3.
∵an>0,∴qn=2,∴S4n=Sn+qnS3n=2+2×14=30.
解法四:由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等比数列,且Sn=2,S3n=14,得(S2n-2)2=2×(14-S2n),
即 -2S2n-24=0,解得S2n=6或S2n=-4,∵an>0,∴S2n=6.又∵ = =2,∴S4n-S3n=Sn·2
3=16,∴S4n=S3n+16=30.
解题模板
通过对比四种解题方法,可以发现:解法一思路简便,但运算量过大;解法二采
用特殊值法,使问题简单化;解法三思路略显复杂;解法四应用等比数列前n项和的
性质,简化运算,且思路清晰.
3|与等比数列有关的数列求和
1.数列求和要先求数列的通项公式,通过观察通项公式的特点,选择合适的求和方
法.注意各求和方法的使用条件及注意事项.一般地,若{an},{bn}中一个是等差数
列,一个是等比数列,则常用错位相减法求数列{anbn}的前n项和,常用分组求和法
求数列{an±bn}的前n项和.
2.错位相减法
已知数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,由这两个数列中项数相同的项的
乘积组成的新数列为{anbn},在求该数列的前n项和时,常常将{anbn}的各项乘{bn}
的公比q,并向后错位一项,与{anbn}中q的同次项对应相减,即可转化为特殊数列的
求和,这种求数列前n项和的方法称为错位相减法.若公比不确定,则需对其进行分
类讨论.
求和过程如下:设数列{anbn}的前n项和是Sn,等差数列{an}的首项是a1,公差是d,等
比数列{bn}的首项是b1,公比是q,则
当q=1时,Sn=b1(a1+a2+…+an)=b1· ;
当q≠1时,Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn
=a1b1+a2b1q+a3b1q2+…+anb1qn-1,
qSn=a1b1q+a2b1q2+a3b1q3+…+an-1b1qn-1+anb1qn,
∴Sn-qSn=a1b1+(a2-a1)b1q+(a3-a2)b1q2+…+(an-an-1)b1qn-1-anb1qn.
由等差数列的定义知a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d,
∴(1-q)Sn=a1b1+db1q+db1q2+…+db1qn-1-anb1qn
=a1b1+db1(q+q2+…+qn-1)-anb1qn,
∵q≠1,∴Sn= +db1· .
设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an+bn}的前n项和Sn.
解析 (1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),
则由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4,即q2-q-2=0,
解得q=2或q=-1(舍去).
∴{an}的通项公式为an=2·2n-1=2n.
(2)Sn= + =2n+1+n2-2.
已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n∈N*,且n≥2),a4=81.
(1)求数列{an}的前三项a1,a2,a3;
(2)若数列 为等差数列,求实数p的值;
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
思路点拨
(1)由an=2an-1+2n-1及a4=81,递推出a3,a2,a1的值.
(2)利用等差数列的定义,求出p的值.
(3)求出an 错位相减法求Sn.
解析 (1)由an=2an-1+2n-1(n∈N*,且n≥2),
得a4=2a3+24-1=81,得a3=33,
同理,得a2=13,a1=5.
(2)∵数列 为等差数列,且 - = = =1- (n≥2,n
∈N*),
∴1- 是与n无关的常数,∴1+p=0,即p=-1.
(3)由(2)知,等差数列 的公差为1,
∴ = +(n-1)=n+1,
∴an=(n+1)·2n+1.
∴Sn=a1+a2+…+an=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n+n,
记Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n①,
则2Tn=2×22+3×23+4×24+…+n×2n+(n+1)×2n+1②,
①-②,得-Tn=2×2+(22+23+…+2n)-(n+1)×2n+1
=4+ -(n+1)×2n+1=-n×2n+1,
∴Tn=n×2n+1,∴Sn=n×2n+1+n=n(2n+1+1).(共30张PPT)
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应问题.
3.灵活应用等比数列的通项公式,体会等比数列与指数函数的关系.
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
等 比 数 列 文字 语言 一般地,如果一个数列从第① 2 项起,每一项与它的②
前一项 的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这
个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母③ q 表示(显
然④ q≠0 )
数学 符号 在数列{an}中,如果 =q(n∈N*)或 =q(n≥2,n∈N*)成立,那
么称该数列为等比数列,常数q为等比数列的公比
递推 关系 =q(n∈N*)或 =q(n≥2,n∈N*)
1 |等比数列的概念
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成⑤ 等比 数列,那么G叫做a与b的
等比中项.此时,⑥ G2=ab .
2 |等比中项
3|等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则数列{an}的通项公式为an=⑦ a1qn-1.
当q<0时,{an}是摆动数列,不具有单调性.
a1的正负 a1>0 a1<0 q的范围 01 01
{an}的 单调性 单调 递减 不具 单调性 单调 递增 单调 递增 不具 单调性 单调
递减
4 |等比数列的单调性
(1)通项公式的推广:an=amqn-m (n,m∈N*).
(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an;特别地,若m+n=2r(m,n,r∈N*),则aman= .
(3)若数列{an}是公比为q(q>0)且各项均为正数的等比数列,则数列{logban}(b>0且
b≠1)是公差为logbq的等差数列;若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列{ }
(b>0且b≠1)是公比为bd的等比数列.
(4)在公比为q的等比数列{an}中,依次取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或 )的
等比数列.
(5)若{an}是公比为q的等比数列,则数列{λan}(λ≠0)是公比为q的等比数列,数列
是公比为 的等比数列,数列{ }是公比为q2的等比数列,数列{|an|}是公比为|
q|的等比数列.
5 |等比数列的性质
(6)若数列{an}是公比为q的等比数列,则在数列{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按
原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为qk+1.
(7)在等比数列{an}中,若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列,则am,an,ap成等比数列.
(8)若{an},{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,则数列{anbn}与 也都
是等比数列,公比分别为pq和 .
1.若an+1=qan,n∈N*,且q≠0,则{an}是等比数列. ( )
提示:当a1=0时,an=0(n∈N*),{an}不是等比数列.
2.任何两个数都有等比中项. ( )
提示:当两个数a,b异号时,ab<0,G2=ab<0,无解,没有等比中项.
3.等比数列{an}中,若公比q<0,则{an}一定不是单调数列.( √ )
提示:等比数列{an}中,若公比q<0,则各项正负相间,不是单调数列.
4.常数列既是等差数列,又是等比数列. ( )
提示:常数列0,0,0,…是等差数列,不是等比数列.
5.若等比数列{an}的首项为正,则该数列的所有奇数项都为正. ( √ )
提示:等比数列{an}的奇数项为a2n-1=a1q2(n-1)=a1(q2)n-1(n∈N*),因此当a1>0时,a2n-1>0,一
般地,等比数列{an}的所有奇数项、偶数项的符号分别相同.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
1|等比数列通项公式的应用
1.等比数列的通项公式an=a1qn-1中含有四个量:首项a1,公比q(q≠0),序号n及第n项
an,如果知道其中的任意三个量,那么就可以由通项公式求出第四个量,称之为
“知三求一”,作适当的变形更便于灵活应用.
2.等比数列通项公式的变形
(1)an= ·qn(q≠0):
这一表述可以体现等比数列与指数函数的关系.当q>0且a1≠0时,y=qx是指数函数,
而y= ·qx是指数型函数,因此等比数列{an}各项所对应的点在指数型函数y= ·qx
的图象上,即等比数列{an}的图象是函数y= ·qx的图象上的一群孤立的点.
(2)①an=amqn-m,②qn-m= (m,n∈N*):
①表明已知等比数列{an}中的一项am及公比q,可以求出等比数列中的任意一项an;
②表明已知等比数列{an}中的任意两项an和am,可以求出公比q.
3.在解决等比数列问题的过程中,需要设未知量,为了尽量减少未知数的个数,常
采用以下技巧:
(1)当三个数成等比数列时,可设这三个数分别为 ,a,aq(a≠0,q≠0);
(2)当四个数成等比数列时,可设这四个数分别为 ,a,aq,aq2(a≠0,q≠0).
已知数列{an}是等比数列,其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列,求数列{an}的通项公
式.
思路点拨
思路一:设出公比q 由a7=1表示出首项a1 依次表示出a4,a5,a6 由a4,a5+1,a
6成等差数列,求出q 求出an.
思路二:由an=a7·qn-7表示出a4,a5,a6 由a4,a5+1,a6成等差数列,求出q 求出an.
思路三:由a7=1及a4,a5+1,a6成等差数列得出a4+a6=2(a5+a7) 由等比数列的性质
求出q 求出an.
解析 解法一:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,
由a7=a1q6=1,得a1=q-6,
从而a4=a1q3=q-3,a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1.
因为a4,a5+1,a6成等差数列,所以a4+a6=2(a5+1),
即q-3+q-1=2(q-2+1),
即q-1(q-2+1)=2(q-2+1),
所以q= ,故an=a1qn-1=q-6·qn-1= .
解法二:设等比数列{an}的公比为q,
由a7=1,得an=a7qn-7=qn-7.
取n=4,5,6,得a4=q-3,a5=q-2,a6=q-1.
又a4,a5+1,a6成等差数列,所以q-3+q-1=2(q-2+1),
即q-1(q-2+1)=2(q-2+1),
从而q= ,故an=qn-7= .
解法三:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,
由a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列,
知a4,a5+a7,a6成等差数列,所以a4+a6=2(a5+a7),
即a4+a6=2q(a4+a6),
易知a4,a6同号,所以a4+a6≠0,所以q= ,
故an=a7qn-7=qn-7= .
已知四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,中间两个数之积为16,第
一个数与第四个数之积为-128,请求出这四个数.
思路点拨
设未知量 列方程组 求解.
解析 依题意设后三个数分别为 ,a,aq(a≠0,q≠0),
∵前三个数成等差数列,
∴第一个数为 -a.
由已知得 即
整理得q2-2q-8=0,解得q=4或q=-2.
又a2=16q,∴q>0,∴q=4,∴a=±8.
当a=8时,所求的四个数分别为-4,2,8,32;
当a=-8时,所求的四个数分别为4,-2,-8,-32.
解题模板
与等比数列的项有关的问题,常用通项公式将条件转化为等比数列的首项、
公比,进而求出结论.
某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值;
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱 (保留一位小数)
解析 (1)从第一年起,每年车的价值(万元)依次设为a1,a2,a3,…,an,
由题意,得a1=13.5,a2=13.5(1-10%),a3=13.5(1-10%)2,…….
由等比数列的定义,知数列{an}是等比数列,首项a1=13.5,公比q=1-10%=0.9,
∴an=a1·qn-1=13.5×0.9n-1.
∴n年后车的价值为an+1=13.5×0.9n万元.
(2)由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(万元),
∴用满4年时卖掉这辆车,大概能得到8.9万元.
解题模板
解决等比数列实际应用问题的关键是建立数学模型,即寻求前后两个量的数
量关系,将实际问题转化成等比数列的问题,通过解决等比数列问题,进而得到实
际问题的解.
2|等比数列的判定与证明
证明一个数列是不是等比数列只能从两个方面入手:一是利用定义;二是利用等
比中项.而判定一个数列是不是等比数列,还可以利用数列的通项公式.
对于等比数列的定义需要理解:从第2项起,每一项与它的前一项的比是同一个常
数,这个常数(不包括0)具有任意性,且是“同一个”.
判定或证明一个数列是不是等比数列常用的方法有以下几种:
(1)定义法: =q(q为常数且不为零,n∈N*) {an}为等比数列;
(2)等比中项法: =anan+2(n∈N*且an≠0) {an}为等比数列;
(3)通项公式法:an=a1qn-1(a1≠0且q≠0) {an}为等比数列.
在数列{an}中,已知a1=1,an=3an-1+2(n≥2).
(1)证明:数列{an+1}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
思路点拨
(1)思路一:由an=3an-1+2,求出 的值 {an+1}为等比数列.思路二:设bn=an+1
求出bn=3bn-1 {bn}为等比数列 {an+1}为等比数列.
(2)由(1)求出an+1 求出an.
解析 (1)证明:证法一:由an=3an-1+2(n≥2),
得an+1=3an-1+2+1=3(an-1+1)(n≥2),
又∵a1=1,∴a1+1=2≠0,
∴ =3(n≥2),
∴数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列.
证法二:设bn=an+1,则an=bn-1,an-1=bn-1-1(n≥2),
代入an=3an-1+2(n≥2)得,
bn-1=3(bn-1-1)+2=3bn-1-1(n≥2),
∴bn=3bn-1(n≥2),
又∵b1=a1+1=2≠0,∴ =3(n≥2),
∴数列{bn}是首项为2,公比为3的等比数列,
即数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列.
(2)由(1)得an+1=2·3n-1,
∴an=2·3n-1-1.
已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=1+kan(k≠0且k≠1).
(1)证明:数列{an}为等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
思路点拨
(1)由Sn=1+kan写出Sn-1=1+kan-1(n≥2,n∈N*) 由Sn-Sn-1得 = {an}为等比
数列.
(2)由等比数列的通项公式,写出{an}的通项公式.
解析 (1)证明:因为Sn=1+kan,①
所以Sn-1=1+kan-1,n≥2,n∈N*,②
①-②,得Sn-Sn-1=kan-kan-1(n≥2,n∈N*),
即(k-1)an=kan-1.因为k≠0且k≠1,
所以 = (n≥2,n∈N*)为常数.
又a1=S1=1+ka1,所以a1= (k≠1),
所以{an}是首项为 ,公比为 的等比数列.
(2)由(1)得,an= · =- .
3|等比数列性质的应用
1.与等比数列有关的问题中,常常涉及次数较高的指数运算,若按常规的解题方
法,则需建立关于a1,q的方程组求解,这种方法运算量比较大,如果结合等比数列的
有关性质来求解,那么会起到化繁为简的效果.
2.在应用等比数列的性质解题时,需时刻注意等比数列性质成立的前提条件.
已知数列{an}为等比数列,且an>0.
(1)若a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;
(2)若a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
思路点拨
解决与等比数列项之积有关的问题时,常利用性质:若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al
=am·an,找出相应的关系简化运算.
解析 (1)由等比数列的性质可得,
a2a4+2a3a5+a4a6= +2a3a5+ =(a3+a5)2=25,
∵an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5.
(2)根据等比数列的性质得,a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,
∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95,
∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a9a10)=log395=10.
4|构造等比数列求通项公式
当已知数列不是等比数列时,往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数
列.利用等比数列的通项公式求出包含an的关系式,进而求出an.常见类型有:
(1)an+1=can+d(c≠1,cd≠0)可化归为an+1- =c ,当a1- ≠0时,数列
为等比数列,从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题;也可消去常数项,
由an+1=can+d,an=can-1+d(n≥2,n∈N*),两式相减,得an+1-an=c(an-an-1),当a2-a1≠0时,数列
{an+1-an}是公比为c的等比数列.
(2)an+1=can+dn(cd≠0,c≠d)可化归为an+1- =c 或将递推关系式两边同除
以dn+1化为(1)型或两边同除以cn+1,累加求通项.
(3)an+1=can+dn+t(cdt≠0,c≠1)可化归为an+1- =c +dn,即(2)型.
在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,求数列{an}的通项公式.
思路点拨
思路一:引入参数k,使an+1+k=2(an+k),则数列{an+k}为等比数列.思路二:通过观察递
推关系式的特征,直接消去常数,转化为等比数列求通项公式.
解析 解法一:令an+1+k=2(an+k),即an+1=2an+k,又an+1=2an+1,∴k=1.又a1+1=2,∴数列
{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an+1=2×2n-1,即an=2n-1.
解法二:∵an+1=2an+1,∴an=2an-1+1(n≥2),两式相减得,an+1-an=2(an-an-1)(n≥2).∴{an+1-
an}是公比为2的等比数列,其中首项为a2-a1=2a1+1-a1=a1+1=2,∴an+1-an=2×2n-1=2n.∴
2an+1-an=2n,∴an=2n-1.
在数列{an}中,已知a1= ,an+1= an+ ,求数列{an}的通项公式.
思路点拨
用待定系数法构造等比数列求解.
解析 令an+1-A× = ,
得an+1= an+ × .
根据已知条件得 =1,即A=3,
所以an+1-3× = .
又a1-3× =- ≠0,
所以 是首项为- ,公比为 的等比数列.
所以an-3× =- × ,
所以an=3× -2× .
方法归纳 形如an=pan-1+kqn(n≥2,pqk≠0,p≠1,q≠1)的递推关系式,除利用待定系
数法直接化归为等比数列外,也可以两边同除以qn得 = · +k,进而化归为等
比数列,还可以两边同除以pn得 = +k ,再利用累加法求出 ,进而求得an.
