22.1.2 二次函数 y=ax2 的图象和性质 课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
22.1.2 二次函数 y=ax2 的图象和性质
人教版九年级上册
知识回顾
1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是 ．
特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是 ．
一条经过(0，b)的直线
2．描点法画出一次函数的步骤：分别为 、 、_______三个步骤．
过原点的直线
3.我们把形如 的函数叫做二次函数．
列表
描点
连线
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
教学目标
1．正确理解抛物线的有关概念．
2．会用描点法画出二次函数 y=ax 的图象，概括出图象的特点．
3．掌握形如 y=ax 的二次函数图象的性质，并会应用．
新知导入
思考1：类比一次函数图象和性质的研究方法,你认为我们该如何研究二次函数的图象和性质呢？
图象 函数特征和性质
新知导入
温 故 知 新
如何研究一次函数的图象和性质？
？
你能想到a＞0时
最特殊的二次函数是？
探究过程：
y = x2
O
O
从特殊到一般
O
k＞0
k＜0
a＞0
a＜0
新知探究
探 索 新 知
你能画出二次函数 y=x2 的图象并描述图象特征和性质吗？
攻略：
描点法画图象
1.列表
2.描点
3.连线
O
新知探究
O
探 索 新 知
你能画出二次函数 y=x2 的图象并描述图象特征和性质吗？
攻略：
描点法画图象
1.列表
2.描点
3.连线
（从左到右依次用平滑的曲线连接各点）

连线选择：
A. 直线 B. 曲线
√
新知探究
O
最低点
思考2：
你打算从哪些角度去观察、概括图象特征？
最小值：y=0
形状：
开口方向：
对称轴：
顶点：
抛物线
向上或向下
y轴(直线x = 0)
（0,0）
最高点
新知探究
O
思考2：
你打算从哪些角度去观察、概括图象特征？
变化趋势：
x<0时,y随x增大而
x>0时,y随x增大而
减小
增大
二次函数y=ax2（a＞0）是否都有这样的性质呢？
新知探究
共同点：
开口方向：
对称轴：
顶点：
变化趋势：
思考3：
(1)在同一直角坐标系中画出函数 和 的图象，与函数 的图象相比，有什么共同点和不同点？
(2)当a＞0时，二次函数 的图象有什么特点？
向上
y轴(直线x = 0)
最低点（0,0）
x<0时,y随x增大而减小
x>0时,y随x增大而增大
最小值：y=0
新知探究
不同点：
开口大小
a越大，抛物线开口越小
思考3：
(1)在同一直角坐标系中画出函数 和 的图象，与函数 的图象相比，有什么共同点和不同点？
(2)当a＞0时，二次函数 的图象有什么特点？
新知探究
函数关系式 a的取值范围 图象 开口方向 开口大小 顶点坐标 对称轴 变化趋势 最值 最大值 最小值
y=ax2 a>0
探究二次函数 y=ax2 的图象与性质
向上
（0,0）
y轴(或直线x=0)
x<0时,y随x增大而减小;
x>0时,y随x增大而增大
无
y=0
a越大开口越小
O
a<0
？
新知探究
思考4：
(1)在同一直角坐标系中画出函数 ， 和
的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？
(2)当a＜0时，二次函数 的图象有什么特点？
共同点：
开口方向：
对称轴：
顶点：
变化趋势：
向下
y轴(直线x = 0)
最高点（0,0）
x<0时,y随x增大而增大;
x>0时,y随x增大而减小
最大值：y=0
新知探究
不同点：
开口大小
a越小，抛物线的开口越小
思考4：
(1)在同一直角坐标系中画出函数 ， 和
的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？
(2)当a＜0时，二次函数 的图象有什么特点？
新知小结
函数关系式 a的取值范围 图象 开口方向 开口大小 顶点坐标 对称轴 变化趋势 最值 最大值 最小值
y=ax2 a>0
a<0
探究二次函数 y=ax2 的图象与性质
向上
（0,0）
y轴(或直线x=0)
x<0时,y随x增大而减小
x>0时,y随x增大而增大
无
y=0
a越大开口越小
向下
a越小开口越小
（0,0）
y轴(或直线x=0)
x<0时,y随x增大而增大;
x>0时,y随x增大而减小
无
y=0
越大，开口越小
固定不变
O
O
新知练习
1.一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是 ，顶点是 ．当a＞0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的最 点，|a|越大，抛物线的开口 ；在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．当a＜0时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线的最 点，|a|越大，抛物线的开口越 ；在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．
y轴
(0，0)
向上
低
越小
减小
增大
下
高
小
增大
减小
新知练习
2.已知二次函数，回答下列问题：
(1)抛物线开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；
(2)当 x>0 时，y 随 x 的增大而 ，当 x<0 时，y 随 x 的增大而 ；
(3)对于任意 x 的值，总有函数值 y 0，当 x= 时，y 有最 值，是 ．
下
y 轴
(0，0)
减小
增大
≤
0
0
大
新知探究
例1
已知函数 是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，此函数图象的顶点为最低点？
(3)当m为何值时，此函数图象的顶点为最高点？
解：（1）根据二次函数的定义可得
解得m1＝2，m2＝－4，∴m的值为2或－4；
新知探究
例1
已知函数 是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，此函数图象的顶点为最低点？
(3)当m为何值时，此函数图象的顶点为最高点？
m的值为2或－4
(2)若函数图象有最低点，则抛物线的开口向上，
∴m＋2＞0，解得m＞－2，
∴m＝2；
(3)若函数图象有最高点，则抛物线的开口向下，
∴m＋2＜0，解得m＜－2，
∴m＝－4.
新知探究
二次函数y＝ax2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m)．
(1)求a，m的值；
(2)写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？
例2
解：(1)将点P(1，m)代入y＝2x－1，得m＝2×1－1＝1，
(2)二次函数的解析式为y＝x2，
当x＞0时，y随x的增大而增大．
∴点P的坐标为(1，1)．
将点P(1，1)代入y＝ax2，得1＝a×12，解得a＝1；
新知探究
二次函数y＝ax2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m)．
(1)求a，m的值；
(2)写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？
例2
(2)二次函数的解析式为y＝x2，
当x＞0时，y随x的增大而增大．
a＝1，m=1
新知练习
(1) y=3x2；
(2) y= 3x2；
(3) y= ；
(4) y=.
向上
向下
向下
向上
y轴
y轴
y轴
y轴
（0，0）
（0，0）
（0，0）
（0，0）
3.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
新知练习
4.函数 y=2x2 的图象的开口 ，
对称轴是 ，顶点坐标是 ；
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 ，
在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 ．
向上
y轴
(0，0)
减小
增大
x
y
O
新知练习
5.已知 y=(m+1)x 是二次函数，其图象开口向上，求 m 的值和函数解析式．
m2+m
解: 依题意有:
m+1>0 ， ①
m2+m=2 ， ②
解②得：m1= 2，m2=1 ，
由①得：m> 1，
∴ m=1，
此时，二次函数的表达式为： y=2x2．
课堂总结
y＝ax2 a>0 a<0
图象
位置、开
口方向
对称性
顶点、最值
增减性
开口向上，在x轴上方
开口向下，在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
课堂练习
第一关：说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点
课 堂 闯 关
开口方向 对称轴 顶点
向上
y轴
(0，0)
向下
y轴
(0，0)
第二关：二次函数 的图象是一条________ ，函数有最____值，在对称轴的左侧，y随x的增大而_____；在对称轴的右侧，y随x的增大而_____.
大
增大
减小
抛物线
数形结合
奖
课堂练习
第三关： 如图，在直角坐标系中有6条标有序号的抛物线，它们分别是：
请将这些函数表达式与抛物线的序号一一对应起来。
① ② ③
④ ⑤ ⑥
课 堂 闯 关
越大，抛物线开口越小
a 图象形状
a＞0
a＜0
奖
课堂练习
课 堂 闯 关
第四关.已知 是二次函数，且当 x＞0时，y 随 x 增大而增大，则 k= ．
2
解：由题意得 k2+k 4=2，
解得 k= 3或k=2，
且 k+2＞0，
解得 k＞ 2，
所以 k=2.
奖
拓展学习
1．抛物线y＝－x2上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，若x1＜x2＜0，则y1____y2.
＜
2．若点(x1，5)和点(x2，5)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当y＝x1＋x2时，y的值是____．
0
谢谢
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