2024年九年级中考数学备考讲义：数与式—求解代数式值中的数学解题模型与方法（含解析）

数与式—求解代数式值中的数学解题模型与方法
【解题模型与方法】
整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。
整体思想方法在代数式的求值有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。
一、整体代入求值
在求代数式的值时，可先将条件或待求式变形，再整体代入求值，使问题化翻为简。
二、整体加减求值
在求代数式的值时，先将所给的2个及以上条件进行适当的变形，然后通过加减转化为所要求的代数式。
三、整体构造法求值
在求二次项展开式的系数相关数值时，我们通常令x等于某一特殊值，从而求出部分系数和的值。
【典型例题】
1．计算：
（1）（x+2y﹣1）（x+1﹣2y）；
（2）（）（2）﹣（1）2+5．
解：（1）（x+2y﹣1）（x+1﹣2y）
＝x2﹣（2y﹣1）2
＝x2﹣4y2+4y﹣1；
（2）设x＝，
则原式＝x（2+x）﹣（1+x）2+5
＝2x+x2﹣1﹣2x﹣x2+5
＝4．
【技巧破解】整体构造法求值一般为代数式的展开式，根据所求系数，可以令x为适当的值，从而将所求系数和与左侧代数式的值建立关系。我们发现通常令x为b前面的系数，即可求出相应的值。若对x赋值一次无法直接求出部分系数之和，我们可进行两次赋值，然后利用整体加减法进行处理。
常考经典试题同步检测
考试范围：数与式；考试时间：100分钟；
一．选择题（共10小题）
1．已知ab＝6，a+b＝7，那么代数式a2b+ab2的值为（　　）
A．6 B．7 C．13 D．42
2．若（2x﹣y）2+A＝（2x+y）2，则代数式A＝（　　）
A．﹣4xy B．4xy C．﹣8xy D．8xy
3．已知m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则﹣m+n的值是（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
4．当x＝1时，代数式px3+qx+1的值为2023，则当x＝﹣1时，代数式px3+qx+1的值为（　　）
A．﹣2019 B．﹣2021 C．2022 D．2023
5．已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b+2的值为（　　）
A．11 B．25 C．26 D．37
6．已知一列数的和x1+x2+ +x2023＝×（1+2+ +2023），且x1﹣3x2+1＝x2﹣3x3+2＝ ＝x2022﹣3x2023+2022＝x2023﹣3x1+2023，则x1﹣2x2﹣3x3值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
7．已知a、b是一元二次方程3x2﹣x﹣1＝0的两根，则的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣ D．﹣
8．已知a是方程x2﹣2x﹣2＝0的根，则的值是（　　）
A． B． C． D．2
9．如图是在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为8，每个直角三角形比小正方形的面积均小1，则每个小直角三角形的周长是（　　）
A．5+ B．9+ C．10+ D．14
10．已知a﹣2b＝﹣1，则2a﹣4b+2的值是（　　）
A．﹣4 B．0 C．1 D．4
二．填空题（共6小题）
11．如图，大长方形中放5张长为a，宽为b的相同的小长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙），若阴影部分面积为74，大长方形的周长为42，则小长方形的面积为 　 　．
12．若x+y＝1，则x2﹣y2+2y+5＝　 　．
13．已知x＝1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，则a﹣b+2023＝　 　．
14．已知一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则的值为 　 　．
15．已知m为方程x2+3x﹣2023＝0的根，那么m3+2m2﹣2026m﹣2023的值为 　 　．
16．已知﹣＝2，则的值为 　 　．
三．解答题（共7小题）
17．已知t是抛物线y＝x2+2x﹣2与x轴交点的横坐标．
（1）若在自变量x的值满足m≤x≤m+2时，与其对应的函数值y的最小值为1，求此时m的值；
（2）求代数式值．
18．阅读下列材料，并解决下面的问题：我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子23＝8可以变形为log28＝3，log525＝2也可以变形为52＝25，在式子23＝8中，3叫做以2为底8的对数，记为log28，一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0）则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）且具有性质：①logabn＝nlogab；②logaan＝n；③logaM+logaN＝loga（M N），其中a＞0且a≠1，M＞0，N＞0．
根据上面的规定，请解决下面问题：
（1）log33＝　 　，log64+log69＝　 　；（请直接写出结果）
已知logx2＝y，则logx16＝　 　；（用含y的代数式来表示）
（2）已知m＝log23请你用含m的代数式来表示n，其中n＝log236（请写出必要的过程）．
19．已知a2+2a﹣1＝0，求代数式（）÷的值．
20．【问题发现与提出】：在探索研究“完全平方公式”时，喜欢思考的小明顺势发现并提出了新的问题：当a，b，c均为正数时，如何说明（a+b+c）2＝a2+b2+c2不成立？
【问题探究与解决】：同学们提供了不同的思路，其中，小颖的思路是：构造正方形，通过计算面积能发现一个数学等式，从而说明上面式子不成立．请你帮小颖画出图形（标明字母a，b，c），完成说理过程，并写出这个数学等式；
【问题拓展与延伸】：类比小颖发现的数学等式，解决下面的问题：
（1）直接写出结果：（a﹣b﹣c）2＝　 　；
（2）已知a＝b+c+3，a2+b2+c2＝105，求6bc﹣6a（b+c）的值．
21．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．
（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是 　 　；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a+ab2＝a（a+b）
D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（22+42+62+82+102+122+…1002）﹣（12+32+52+72+92+112+…992）．
22．已知抛物线的顶点在x轴上．
（1）求a的值；
（2）求的值．
数与式—求解代数式值中的数学解题模型与方法
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知ab＝6，a+b＝7，那么代数式a2b+ab2的值为（　　）
A．6 B．7 C．13 D．42
【答案】D
【解答】解：∵a+b＝7，ab＝6，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝6×7
＝42．
故选：D．
2．若（2x﹣y）2+A＝（2x+y）2，则代数式A＝（　　）
A．﹣4xy B．4xy C．﹣8xy D．8xy
【答案】D
【解答】解：A＝（2x+y）2﹣（2x﹣y）2，
∴A＝4x2+4xy+y2﹣（4x2﹣4xy+y2），即A＝4x2+4xy+y2﹣4x2+4xy﹣y2，
则A＝8xy．
故选：D．
3．已知m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则﹣m+n的值是（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
【答案】B
【解答】解：﹣m+n
＝
＝
＝
＝，
∵m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝＝2，mn＝＝﹣1，
则原式＝＝3．
故选：B．
4．当x＝1时，代数式px3+qx+1的值为2023，则当x＝﹣1时，代数式px3+qx+1的值为（　　）
A．﹣2019 B．﹣2021 C．2022 D．2023
【答案】B
【解答】解：当x＝1时，代数式px3+qx+1的值为2023，
∴p 13+q×1+1＝2023
∴p+q+1＝2023，
∴p+q＝2022，
∴当x＝﹣1时，代数式px3+qx+1的值＝p （﹣1）3+q （﹣1）+1
＝﹣p﹣q+1
＝﹣（p+q）+1
＝﹣2022+1
＝﹣2021，
故选：B．
5．已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b+2的值为（　　）
A．11 B．25 C．26 D．37
【答案】A
【解答】解：∵a﹣b＝3，
∴a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）＝3（a+b），
∴a2﹣b2﹣6b+2
＝3（a+b）﹣6b+2
＝3a+3b﹣6b+2
＝3a﹣3b+2
＝3（a﹣b）+2
＝3×3+2
＝11．
故选：A．
6．已知一列数的和x1+x2+ +x2023＝×（1+2+ +2023），且x1﹣3x2+1＝x2﹣3x3+2＝ ＝x2022﹣3x2023+2022＝x2023﹣3x1+2023，则x1﹣2x2﹣3x3值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【答案】D
【解答】解：设x1﹣3x2+1＝x2﹣3x3+2＝ ＝x2022﹣3x2023+2022＝x2023﹣3x1+2023＝a，一共有2023个a．
x1﹣3x2+1+x2﹣3x3+2+ +x2022﹣3x2023+2022+x2023﹣3x1+2023
＝（x1+x2+ +x2023）﹣3（x1+x2+ +x2023）+（1+2+ +2023）
＝×（1+2+ +2023）﹣3××（1+2+ +2023）+（1+2+ +2023）
＝0．
则2023个a相加为0，则a＝0，即x1﹣3x2+1＝x2﹣3x3+2＝ ＝x2022﹣3x2023+2022＝x2023﹣3x1+2023＝0；
由x1﹣3x2+1＝0，x2﹣3x3+2＝0，两式相加得：x1﹣2x2﹣3x3+3＝0，则x1﹣2x2﹣3x3＝﹣3．故选：D．
7．已知a、b是一元二次方程3x2﹣x﹣1＝0的两根，则的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣ D．﹣
【答案】A
【解答】解：根据根与系数的关系得a+b＝，ab＝﹣，
所以＝＝＝＝﹣5．
故选：A．
8．已知a是方程x2﹣2x﹣2＝0的根，则的值是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解答】解：原式＝
＝
＝，
∵a是方程x2﹣2x﹣2＝0的根，
∴a2﹣2a﹣2＝0，
即a2＝2a+2＝2（a+1），
∴原式＝＝．
故选：B．
9．如图是在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为8，每个直角三角形比小正方形的面积均小1，则每个小直角三角形的周长是（　　）
A．5+ B．9+ C．10+ D．14
【答案】D
【解答】解：设直角三角形的较长直角边是a，较短直角边是b，斜边是c，
∴ab＝8﹣1＝7，
∴ab＝14，
∵小正方形的边长是a﹣b，
∴（a﹣b）2＝8，
∴a2+b2﹣2ab＝8，
∴a2+b2＝36，
∵c2＝a2+b2＝36，
∴c＝6，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝36+2×14＝64，
∴a+b＝8，
∴每个小直角三角形的周长是a+b+c＝8+6＝14，
故选：D．
10．已知a﹣2b＝﹣1，则2a﹣4b+2的值是（　　）
A．﹣4 B．0 C．1 D．4
【答案】B
【解答】解：∵a﹣2b＝﹣1，
∴2a﹣4b＝﹣2．
∴2a﹣4b+2
＝﹣2+2
＝0．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．如图，大长方形中放5张长为a，宽为b的相同的小长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙），若阴影部分面积为74，大长方形的周长为42，则小长方形的面积为 　6　．
【答案】6．
【解答】解：由图可知：大长方形的长为2a+b，宽为a+2b，
阴影部分面积为74，大长方形的周长为42，
∴（2a+b）（a+2b）﹣5ab＝74，
2（2a+b+a+2b）＝42
∴a2+b2＝37，a+b＝7，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，
∴2ab＝49﹣（a2+b2）＝12，
∴ab＝6，
即小长方形的面积为6，
故答案为：6
12．若x+y＝1，则x2﹣y2+2y+5＝　6　．
【答案】6．
【解答】解：当x+y＝1时，
x2﹣y2+2y+5
＝（x+y）（x﹣y）+2y+5
＝（x﹣y）+2y+5
＝x+y+5
＝1+5
＝6，
故答案为：6．
13．已知x＝1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，则a﹣b+2023＝　2022　．
【答案】2022．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax﹣b＝0，得
方程1+a﹣b＝0．
所以a﹣b＝﹣1．
则a﹣b+2023＝﹣1+2023＝2022．
故答案为：2022．
14．已知一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则的值为 　17　．
【答案】17．
【解答】解：根据根与系数的关系得：x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝32﹣4×（﹣2）＝17．
故答案为：17．
15．已知m为方程x2+3x﹣2023＝0的根，那么m3+2m2﹣2026m﹣2023的值为 　﹣4046　．
【答案】﹣4046．
【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2023＝0的根，
∴m2+3m﹣2023＝0，
∴m2＝﹣3m+2023，
∴m3＝m（﹣3m+2023）＝﹣3m2+2023m＝﹣3（﹣3m+2023）+2023m＝2032m﹣6069，
∴m3+2m2﹣2026m﹣2023
＝2032m﹣6069+2（﹣3m+2023）﹣2026m﹣2023
＝2032m﹣6069﹣6m+4046﹣2026m﹣2023
＝﹣4046．
故答案为：﹣4046．
16．已知﹣＝2，则的值为 　﹣　．
【答案】﹣．
【解答】解：∵﹣＝2，
∴a﹣2b＝2ab．
∴原式＝
＝
＝
＝
＝﹣．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
17．已知t是抛物线y＝x2+2x﹣2与x轴交点的横坐标．
（1）若在自变量x的值满足m≤x≤m+2时，与其对应的函数值y的最小值为1，求此时m的值；
（2）求代数式值．
【答案】（1）m＝﹣5或1；
（2）6．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣3，
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣3），
∴当x≤﹣1时，y随x的增大而减小；当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
令y＝﹣1得，x2+2x﹣2＝﹣1，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴当x≤﹣3时，y≥1；x≥1时，y≥﹣1，
∵自变量x的值满足m≤x≤m+2时，与其对应的函数值y的最小值为1，
∴m+2＝﹣3或m＝1，
∴m＝﹣5或1；
（2）∵t是抛物线y＝x2+2x﹣2与x轴交点的横坐标．
∴t2+2t﹣2＝0，
∴t6+2t5+t4+6t3﹣t2+16t﹣4
＝（t6+2t5﹣2t4）+（3t4+6t3﹣6t2）+（5t2+10t﹣10）+6t+6
＝t4（t2+2t﹣2）+3t2（t2+2t﹣2）+5（t2+2t﹣2）+6（t+1）
＝6（t+1），
t8+2t7+t6+6t5﹣5t4+2t3﹣t2+3t﹣1
＝（t8+2t7﹣2t6）+（3t6+6t5﹣6t4）+（t4+2t3﹣2t2）+（t2+2t﹣2）+t+1
＝t6（t2+2t﹣2）+3t4（t2+2t﹣2）+t2（t2+2t﹣2）+（t2+2t﹣2）+t+1
＝t+1，
∴＝＝6．
18．阅读下列材料，并解决下面的问题：我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子23＝8可以变形为log28＝3，log525＝2也可以变形为52＝25，在式子23＝8中，3叫做以2为底8的对数，记为log28，一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0）则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）且具有性质：①logabn＝nlogab；②logaan＝n；③logaM+logaN＝loga（M N），其中a＞0且a≠1，M＞0，N＞0．
根据上面的规定，请解决下面问题：
（1）log33＝　1　，log64+log69＝　2　；（请直接写出结果）
已知logx2＝y，则logx16＝　4y　；（用含y的代数式来表示）
（2）已知m＝log23请你用含m的代数式来表示n，其中n＝log236（请写出必要的过程）．
【答案】（1）1，2，4y；（2）2m+2．
【解答】解：（1）log33＝1，log64+log69＝log636＝2，
∵logx2＝y，
∴logx16＝logx24＝4logx2＝4y；
故答案为：1，2，4y；
（2）∵m＝log23，
∴n＝log236
＝log24+log29
＝2+2log23
＝2m+2．
19．已知a2+2a﹣1＝0，求代数式（）÷的值．
【答案】1．
【解答】解：原式＝[] a（a﹣1）
＝（+） a（a﹣1）
＝ a（a﹣1）
＝a2+2a，
∵a2+2a﹣1＝0，
∴a2+2a＝1，
∴原式＝1．
20．【问题发现与提出】：在探索研究“完全平方公式”时，喜欢思考的小明顺势发现并提出了新的问题：当a，b，c均为正数时，如何说明（a+b+c）2＝a2+b2+c2不成立？
【问题探究与解决】：同学们提供了不同的思路，其中，小颖的思路是：构造正方形，通过计算面积能发现一个数学等式，从而说明上面式子不成立．请你帮小颖画出图形（标明字母a，b，c），完成说理过程，并写出这个数学等式；
【问题拓展与延伸】：类比小颖发现的数学等式，解决下面的问题：
（1）直接写出结果：（a﹣b﹣c）2＝　a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2cb　；
（2）已知a＝b+c+3，a2+b2+c2＝105，求6bc﹣6a（b+c）的值．
【答案】（1）（a﹣b﹣c）2＝a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc；
（2）288．
【解答】解：如图所示：
（a+b+c）2
＝a2+b2+c2+ab+ac+bc+ab+ac+bc
＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
即（a+b+c）2≠a2+b2+c2；
（1）由（1）知：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a﹣b﹣c）2＝a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc，
故答案为：（a﹣b﹣c）2＝a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc；
（2）由（1）知：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a﹣b﹣c）2＝a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac+2bc，
∴﹣2ab﹣2ac+2bc＝（a﹣b﹣c）2﹣（a2+b2+c2），
∴﹣6ab﹣6ac+6bc＝3（a﹣b﹣c）2﹣3（a2+b2+c2），
即6bc﹣6a（b+c）＝3（a﹣b﹣c）2﹣3（a2+b2+c2），
∵a＝b+c+3，a2+b2+c2＝105，
∴a﹣b﹣c＝3，a2+b2+c2＝105，
∴6bc﹣6a（b+c）＝3×9﹣3×105
＝﹣288，
21．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．
（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是 　B　；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a+ab2＝a（a+b）
D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（22+42+62+82+102+122+…1002）﹣（12+32+52+72+92+112+…992）．
【答案】（1）B；
（2）①3；
②5050．
【解答】解：（1）左图中，阴影部分为正方形，面积为：a2﹣b2，
右图阴影是拼成的长方形，长是：a+b，宽是：a﹣b，
所以右图阴影部分面积为：（a+b）（a﹣b），
由于左右两图面积相等，
所以有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：B．
（2）①由（1）中规律，利用平方差公式可得：
x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），
∵x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，
∴x﹣2y＝12÷4＝3．
故答案为：3．
②通过观察，此题数字具有一定规律，可用运算定律将原式写成：
（22﹣12）+（42﹣32）+（62﹣52）+（82﹣72）+……+（1002﹣992），
＝（2+1）（2﹣1）+（4+3）（4﹣3）+（6+5）（6﹣5）+（8+7）（8﹣7）+……+（100+99）（100﹣99），
＝3+7+11+15+……+199
＝（3+199）×[（199﹣3）÷4+1]÷2
＝202×50÷2
＝5050．
故答案为：5050．
22．已知抛物线的顶点在x轴上．
（1）求a的值；
（2）求的值．
【答案】（1），；
（2）．
【解答】解：（1）∵y＝x2+（2a+1）x+2a+的顶点在x轴上，
∴方程x2+（2a+1）x+2a+＝0由两个相等的实数根，
∴Δ＝（2a+1）2﹣4（2a+）＝0，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴，；
（2）∵a2﹣a﹣1＝0，a≠0，
∴a﹣＝1，
∴a4+＝[（a﹣）2+2]2﹣2＝7，
∴a8+＝（a4+）2﹣2＝47，
∴
＝
＝
＝
＝
＝．