(共17张PPT)
1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性.
3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
第五章 一元函数的导数及其应用
1.函数的单调性与其导数的正负的关系
定义在区间(a,b)内的函数y=f(x):
特别地,如果函数f(x)在区间(a,b)上恒有③ f'(x)=0 ,那么函数y=f(x)在这个区间
内是常数函数.
f'(x)的正负 f(x)的单调性
f'(x)>0 单调① 递增
f'(x)<0 单调② 递减
|函数的单调性与导数的关系
第五章 一元函数的导数及其应用
2.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值④ 较大 ,那么函数在这个
范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在
这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较“平缓”.
第五章 一元函数的导数及其应用
1.函数f(x)在定义域上都有f'(x)<0,则函数f(x)在定义域上单调递减. ( )
提示:由f(x)= ,可知f'(x)=- <0,但f(x)在定义域上不是单调函数,故错误.
2.函数f(x)在区间(a,b)上都有f'(x)<0,则函数f(x)在这个区间上单调递减. ( √ )
提示:由函数的单调性与其导数的正负的关系知,结论正确.
3.若函数f(x)在某区间内单调递增,则一定有f'(x)>0. ( )
提示:函数f(x)=x3在R上单调递增,但f'(x)=3x2>0不恒成立,故错误.
4.函数在某一点处的导数越大,函数在该点处的切线越“陡峭”. ( )
提示:切线的“陡峭”程度与|f'(x)|的大小有关,故错误.
5.函数在某个区间上变化越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大. ( √ )
提示:函数在某个区间上变化的快慢和函数导数的绝对值大小一致.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
第五章 一元函数的导数及其应用
1|导函数与原函数图象的关系
1.利用导函数的正负研究原函数图象的变化时,要遵循“符号为正,图象上升;符
号为负,图象下降”的原则.导函数图象在x轴的上方或下方,确定导函数的正或
负.解决问题时,一定要分清是原函数图象还是导函数图象.
2.“导函数的正负看(原函数)增减;绝对值大小定快慢”.一般地,如果一个函数在
某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较快,这时函数的
图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就比较“平缓”.
第五章 一元函数的导数及其应用
(1)f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是下
列选项中的( C )
第五章 一元函数的导数及其应用
(2)已知y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则所给四个选项中,
y=f(x)的图象大致是 ( C )
第五章 一元函数的导数及其应用
思路点拨
找出f'(x)的零点 判断f'(x)图象在x轴上方或下方 确定f(x)的单调区间
利用排除法得解.
解析 (1)当x∈(-∞,0)时,导函数图象在x轴的上方,表示在此区间上原函数的图象
呈上升趋势,可排除B、D.当x∈(0,2)时,导函数图象在x轴的下方,表示在此区间上
原函数的图象呈下降趋势,可排除A.故选C.
(2)当0
当x>1时,xf'(x)>0,∴f'(x)>0,∴y=f(x)在(1,+∞)上为增函数,∴D错误.故选C.
第五章 一元函数的导数及其应用
名师点睛 将题目改为由y=f(x)的图象判断f'(x)的图象,思维方式正好相反,由原
函数图象的单调性确定导函数的正负,进而得到导函数的图象在x轴的上方还是
下方,最后选择适当的图象,解题时防止图象看错导致解题错误.
第五章 一元函数的导数及其应用
2|利用导数研究函数的单调性
1.利用导数求函数f(x)单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求导数f'(x);
(3)解不等式f'(x)>0,函数在解集与定义域的交集上为增函数;
(4)解不等式f'(x)<0,函数在解集与定义域的交集上为减函数.
2.含参函数的单调性问题
含参函数的单调性问题主要以两种形式呈现,一是判断含参函数的单调性,二是
求含参函数的单调区间.这两种形式实质上是一致的,只不过是换了一种说法.解
决此类问题时,通常归结为求含参不等式的解集问题,而对含有参数的不等式要
针对具体情况进行分类讨论,但始终要注意定义域及分类讨论的标准.
第五章 一元函数的导数及其应用
已知函数f(x)= ax2-(2a+1)x+2ln x(a∈R).
(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间.
思路点拨
(1)求f'(x) f'(1)=f'(3) 解方程求出a.
(2)变形f'(x) 分类讨论 确定f'(x)的符号 结合定义域求出单调区间.
第五章 一元函数的导数及其应用
解析 (1)由题意知f'(x)=ax-(2a+1)+ (x>0).
由f'(1)=f'(3),得a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+ ,
解得a= .
(2)由(1)知f'(x)= (x>0).
①当a≤0时,∵x>0,∴ax-1<0,
∴在区间(0,2)上, f'(x)>0;在区间(2,+∞)上,f'(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).
②当02,在区间(0,2)和 上, f'(x)>0;在区间 上, f'(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(0,2)和 ,单调递减区间是 .
③当a= 时, f'(x)= ≥0,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞),无单调递减区间.
第五章 一元函数的导数及其应用
④当a> 时,0< <2,在区间 和(2,+∞)上,f'(x)>0;在区间 上,f'(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是 和(2,+∞),单调递减区间是 .
综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞);
当0当a= 时,f(x)的单调递增区间是(0,+∞),无单调递减区间;
当a> 时,f(x)的单调递增区间是 和(2,+∞),单调递减区间是 .
易错警示
导函数的定义域可能比原函数的定义域大,利用导数解决函数单调区间问题要注
意原函数的定义域,用原函数的定义域与导函数不等式的解集求交集得到单调区
间.解题时注意不要忘记求函数的定义域.
第五章 一元函数的导数及其应用
3|已知函数的单调性求参数的取值范围
1.可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)上恒
成立,且f'(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于0.
2.已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数的取值范围的方法:
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应
单调区间的子集;
(2)利用不等式恒成立处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在
(a,b)内恒成立,注意验证等号是否取到.
第五章 一元函数的导数及其应用
已知关于x的函数f(x)=x3-ax+b.
(1)若函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)的一个单调递增区间为(1,+∞),求实数a的值.
思路点拨
(1)求f'(x) 由f'(x)≥0分离参数a 确定实数a的取值范围.
(2)思路一:f'(1)=0 确定实数a的值.思路二:对参数a进行分类讨论 得到实
数a的值.
第五章 一元函数的导数及其应用
解析 (1)由题意得,f'(x)=3x2-a.
若函数f(x)=x3-ax+b在(1,+∞)上是增函数,
则f'(x)≥0在x∈(1,+∞)上恒成立,
即a≤3x2在x∈(1,+∞)上恒成立,
则a≤(3x2)min.
因为x>1,所以3x2>3.
所以a≤3,即a的取值范围是(-∞,3].
(2)解法一:由题意可知,f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,且f'(1)=3-a=0,解得a=3,经验证,
a=3满足条件,所以a=3.
解法二:令f'(x)≥0,得x2≥ .
若a≤0,则x2≥ 恒成立,即f'(x)≥0恒成立,
此时,f(x)=x3-ax+b在R上是增函数,与题意不符.
第五章 一元函数的导数及其应用
若a>0,由f'(x)≥0,得x≥ 或x≤- .
因为(1,+∞)是函数的一个单调递增区间,
所以 =1,即a=3.
陷阱分析 理解题意时,要注意“(1)函数f(x)在(1,+∞)上是增函数”与“(2)函数
f(x)的一个单调递增区间为(1,+∞)”的区别,其中(2)中的区间(1,+∞)是函数f(x)的
一个最大的递增区间,而(1)中的区间(1,+∞)是函数f(x)的一个递增区间的子区间.
第五章 一元函数的导数及其应用(共45张PPT)
1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多
项式函数的最大值、最小值.
3.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
1.函数的极值与极值点
若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,
① f'(a)=0 ,而且在点x=a附近的左侧② f'(x)<0 ,右侧③ f'(x)>0 ,就把a叫做
函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,
④ f'(b)=0 ,而且在点x=b附近的左侧⑤ f'(x)>0 ,右侧⑥ f'(x)<0 ,就把b叫做
函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.
注意:导数值为0的点不一定是函数的极值点,如f(x)=x3.一般地,函数y=f(x)在一点
的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的必要条件,而非充分条件.
1 |函数的极值
2.求函数y=f(x)极值的方法
一般地,可按如下方法求函数y=f(x)的极值:
解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时:
(1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是⑦ 极大值 ;
(2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是⑧ 极小值 .
1.函数的最大(小)值的定义
对于函数f(x),给定区间I,若对任意x∈I,存在x0∈I,使得f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函数
f(x)在区间I上的最小值;若对任意x∈I,存在x0∈I,使得f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)
在区间I上的最大值.
一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有
最大值和最小值.
2.求函数的最大值与最小值的步骤
函数f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值
与最小值的步骤如下:
(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)上的⑨ 极值 ;
(2)将函数y=f(x)的各⑩ 极值 与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个
是最大值,最小的一个是最小值.
2 |函数的最大(小)值
1.函数的极大值一定大于极小值. ( )
提示:极值是函数的局部性质,若极大值和极小值不相邻,则极大值不一定大于极
小值.
2.在可导函数的极值点处,切线与x轴平行或重合. ( √ )
提示:由极值的定义可知,切线斜率k=f'(x0)=0,所以切线与x轴平行或重合.
3.若函数f(x)在(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不单调. ( √ )
提示:根据极值的概念,极值点两边导数不同号,所以函数不单调.
4.函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值一定在区间端点处取得. ( )
提示:函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值可以是极大值或极小值,不一定在
区间端点处取得.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
5.开区间上的单调连续函数无最大(小)值. ( √ )
提示:若单调函数有最值,则一定在区间端点处取得,但开区间上的单调连续函数
在端点处无函数值,所以无最大(小)值,故结论正确.
6.在定义域内,若函数有最大(小)值与极大(小)值,则极大(小)值就是最大(小)值.
( )
提示:由最大(小)值的定义知,y最大值≥y极大值,y最小值≤y极小值,故结论错误.
1|利用导数解决函数的极值问题
情境 “横看成岭侧成峰,远近高低各不同,”说的是庐山的高低起伏,错落有致.
在群山之中,各个山峰的顶端,虽然不一定是群山的最高处,但它却是其附近的最
高点.那么,在数学上,这种现象如何来刻画呢
问题
1.函数的极大(小)值是不是函数在定义域中的最大(小)值呢
提示:极值是一个局部概念,由定义知极值只是某个点的函数值与它附近点的函
数值比较是大或小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.
2.函数的极大(小)值是不是唯一的
提示:函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小
值可以不止一个.
3.函数的极大值是否一定大于函数的极小值
提示:一个函数的极大值未必大于极小值,如图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,
但f(x1)1.求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域;
(2)求函数的导数f'(x);
(3)由f'(x)=0,求出全部的根;
(4)列表:方程的根将整个定义域划分成若干个区间(如果根中含有参数,则需根据
参数的范围分类划分区间),把x, f'(x), f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格
内;
(5)判断得结论:若导数在根x0附近左正右负,则函数在x0处取得极大值;若左负右
正,则取得极小值.
2.有关含参数的函数的极值问题,一般有两类:
(1)求含参数的函数的极值,要根据f'(x)=0的不同类型对参数进行分类讨论.通常要
考虑以下几个方面:
①方程f'(x)=0有无实数根;
②方程f'(x)=0的实数根是否在定义域内;
③方程f'(x)=0的实数根之间的大小.
进而列表得到函数的极值.
(2)由极值求参数的值或取值范围,解题的切入点是极值存在的条件:极值点处的
导数值为0,极值点两侧的导数值异号.解题步骤如下:
①求函数的导函数f'(x);
②由极值点的导数值为0,列出方程(组),求解参数.
注意:求出参数后,一定要验证是否满足题目的条件.
已知函数f(x)=(x2+mx-2m2+3m)ex(x∈R),当m∈R且m≠ 时,求函数的极值.
思路点拨
求f'(x) 解f'(x)=0 分类讨论,确定f(x)的单调区间 得解.
解析 由题意得,f'(x)=[x2+(m+2)x-2m2+4m]ex.
令f'(x)=0,得x=-2m或x=m-2.
由m≠ 知,-2m≠m-2.
分以下两种情况讨论:
若m> ,则-2m当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示.
∴f(x)在(-∞,-2m),(m-2,+∞)内是增函数,在(-2m,m-2)内是减函数.
∴函数f(x)在x=-2m处取得极大值,且极大值为f(-2m)=3me-2m;函数f(x)在x=m-2处取
得极小值,且极小值为f(m-2)=(4-3m)em-2.
x (-∞,-2m) -2m (-2m,m-2) m-2 (m-2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
若m< ,则-2m>m-2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示.
∴f(x)在(-∞,m-2),(-2m,+∞)内是增函数,在(m-2,-2m)内是减函数.
∴函数f(x)在x=m-2处取得极大值,且极大值为f(m-2)=(4-3m) ;函数f(x)在x=-2m
处取得极小值,且极小值为f(-2m)=3me-2m.
x (-∞,m-2) m-2 (m-2,-2m) -2m (-2m,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
(1)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,求a,b的值;
(2)已知函数f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数)在区间(1,+∞)内有两个极
值点,求实数m的取值范围.
思路点拨
(1)求f'(x) 建立关于a,b的方程组 解方程组 求出a,b的值并检验;
(2)由f'(x)的图象在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,列不等式组 解关于m的
不等式组 得到m的取值范围.
解析 (1)由题意得,f'(x)=3x2+2ax+b,
依题意得 整理得
解得 或
当 时,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故f(x)在R上单调递增,不可能在x=1处取得
极值,所以 不符合题意,应舍去.
而当 时,经检验符合题意,故a,b的值分别为4,-11.
(2)由题意得,f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.
因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,
所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6的图象在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,如图所示.
所以 解得m>3.
故实数m的取值范围是(3,+∞).
易错警示
解决利用极值求函数中的参数问题时,注意f'(x0)=0是x0为极值点的必要不充分条
件,由f'(1)=0及f(1)=10求出a,b的值后,注意检验极值的存在条件,防止漏掉检验导
致解题错误.
2|利用函数极值解决函数零点(方程根)问题
1.利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函
数的大致图象,从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个
数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
2.解决此类问题有两个关键点:一是借助几何图形的直观性求解;二是正确求导,
正确计算极值.所以此类题型的训练可提升直观想象与数学运算的核心素养.
3.利用导数解决函数问题中,函数的零点问题是比较复杂的综合问题,常常在高考
压轴题中出现.解决此类问题可通过极值的正用和逆用,分类讨论、数形结合等
思想方法进行有效处理,解题的关键是掌握求单调区间和极值的方法.如:与“三
次函数”有关的零点个数问题,往往通过函数的极值符号来解决,设某三次函数
存在极大值与极小值,且极大值为 f(M),极小值为f(m):f(x)有一个零点时,f(M)<0或
f(m)>0;f(x)有两个零点时,f(m)=0或f(M)=0;f(x)有三个零点时,f(m)<0且f(M)>0.
已知函数f(x)=x3-3x2-9x+11.
(1)求函数的单调递减区间;
(2)求函数的极值;
(3)讨论方程f(x)=m的根的个数.
思路点拨
(1)求导得到f'(x) 利用导数求单调区间.
(2)由(1)求出极值.
(3)结合f(x)的图象,与直线y=m比较得解.
解析 (1)由题意得,f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),
令f'(x)=0,得x=-1或x=3.
当x变化时, f'(x), f(x)的变化情况如表所示.
所以函数f(x)的单调递减区间为(-1,3).
(2)由(1)可得,当x=-1时,函数有极大值f(-1)=16;当x=3时,函数有极小值f(3)=-16.
(3)当x=0时, f(x)=11,结合函数的单调区间及极值的情况可画出f(x)的大致图象,如
图.
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
方程f(x)=m的根可看作是函数f(x)的图象与直线y=m的交点的横坐标.
由图知,当m<-16时,函数f(x)的图象与直线y=m有一个交点,故方程有一个根;
当-16当m>16时,函数f(x)的图象与直线y=m有一个交点,故方程有一个根;
当m=16或m=-16时,函数f(x)的图象与直线y=m有两个交点,故方程有两个根.
综上,当m<-16或m>16时,方程有一个根;
当-16当m=±16时,方程有两个根.
3|利用导数研究函数的最大(小)值问题
1.利用导数求函数的最大(小)值
求解函数在固定区间上的最大(小)值问题的步骤:
(1)对函数进行求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性,确定极值和区间端点的函数值.
(3)比较极值与端点函数值的大小,确定最大(小)值.
2.含参函数的最大(小)值问题
有关含有参数的函数的最大(小)值问题,一般有两类:一类是求含有参数的函数的
最大(小)值,对于此类问题,由于参数的取值范围不同会导致函数的单调性变化,
从而导致最大(小)值变化,所以解决此类问题常常需要分类讨论,在分类讨论解决
函数的单调性的基础上,结合讨论极值与端点值的大小求解.
另一类是由最大(小)值求参数的值或取值范围,此类问题是根据导数求函数最值
问题的逆向运用,求解此类问题的步骤如下:
(1)求导数f'(x),并求极值;
(2)利用单调性,将极值与端点处的函数值进行比较,确定函数的最值,若参数的变
化影响着函数的单调性,则要对参数进行分类讨论;
(3)利用最值列出关于参数的方程(组),求解即可.
已知函数f(x)=x3-ax2-a2x,求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值.
思路点拨
求f'(x) 对a分类讨论 利用导数求函数的最值.
解析 由题意得,f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a).
令f'(x)=0,得x=- 或x=a.
①当a>0时,f(x)在[0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(a)=-a3;
②当a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0;
③当a<0时,f(x)在 上单调递减,在 上单调递增,所以f(x)min=f =
a3.
综上所述,当a>0时,f(x)的最小值为-a3;当a=0时,f(x)的最小值为0;当a<0时,f(x)的最
小值为 a3.
解题模板
对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0,等于0,小于0三种情况.若导函数恒
大于(小于)或等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函
数可能等于0,则分类讨论求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.
已知函数f(x)=mx3-6mx2+n+1在x∈[-1,2]上的最小值为-28,最大值为4,求实数m,n的
值.
思路点拨
分析得出m≠0 求f'(x) 分类讨论求函数极值 m>0时,最大值=极大值;m
<0时,最小值=极小值 列方程 求出m,n的值.
解析 由题设知若m=0,则f(x)=n+1为常数函数,与题设矛盾,故m≠0.
求导得f'(x)=3mx2-12mx=3mx(x-4),
令f'(x)=0,得x=0或x=4(舍去).
当m>0,且x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示.
由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值n+1,也就是函数在[-1,2]上的最大值,
∴f(0)=n+1=4,∴n=3.
又f(-1)=-7m+4>f(2)=-16m+4,
x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2
f'(x) + 0 -
f(x) -7m+n+1 ↗ n+1 ↘ -16m+n+1
∴f(2)=-16m+4=-28,解得m=2.
当m<0时,同理可得,当x=0时,f(x)取得极小值n+1,也就是函数在[-1,2]上的最小值,
∴f(0)=n+1=-28,∴n=-29.
又f(-1)=-7m-28∴f(2)=-16m-28=4,解得m=-2.
综上,m=2,n=3或m=-2,n=-29.
4|利用函数的最大(小)值解决与不等式恒成立有关的问题
1.利用函数的导数求函数的最大(小)值,可以处理有关函数图象、不等式等综合
问题,特别是有关不等式恒成立问题,是近几年来高考的重点、热点和难点,经常
以高考压轴题的形式出现.
2.处理不等式恒成立问题的方法
(1)取主元(给定范围内任意取值的变量),结合参数分类,利用最大(小)值或数形结
合解决有关不等式恒成立问题.
(2)将主元与参数分离变量,将不等式恒成立转化为最大(小)值问题来解决.
在定义域内,对于任意的x,都有f(x)≥a成立,转化为f(x)min≥a;对于任意的x,都有f(x)
≤a成立,转化为f(x)max≤a.
3.证明不等式问题,可以将不等式问题转化为最大(小)值问题,利用函数的最大
(小)值加以证明.
已知函数f(x)=(1+x)e-2x,x∈[0,1],求证:1-x≤f(x)≤ .
思路点拨
不等式变形 作差构造函数 对函数求导判断单调性 求函数最值
得证.
证明 要证当x∈[0,1]时,f(x)=(1+x)e-2x≥1-x,只需证明(1+x)e-x≥(1-x)ex.
记h(x)=(1+x)e-x-(1-x)ex,则h'(x)=x(ex-e-x),当x∈(0,1)时,h'(x)>0,因此h(x)在[0,1]上是增
函数,故h(x)≥h(0)=0,
所以f(x)≥1-x,x∈[0,1].
要证当x∈[0,1]时,f(x)=(1+x)e-2x≤ ,只需证明ex≥x+1.
记g(x)=ex-x-1,则g'(x)=ex-1,当x∈(0,1)时,g'(x)>0,因此g(x)在[0,1]上是增函数,故g(x)
≥g(0)=0,
所以f(x)≤ ,x∈[0,1].
综上,1-x≤f(x)≤ ,x∈[0,1].
设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(1)求f(x)的最小值h(t);
(2)若h(t)<-2t+m对任意t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若对任意的t1,t2∈(0,2),都有h(t1)<-2t2+m,求实数m的取值范围.
思路点拨
(1)将f(x)配方 利用二次函数的性质求最小值h(t).
(2)不等式变形为h(t)-(-2t+m)<0 构造函数g(t)=h(t)-(-2t+m),t∈(0,2) 求g(t)
的最大值 根据恒成立列不等式 解得实数m的取值范围.
(3)求h'(t) 求h(t)在区间(0,2)上的最大值 令φ(t)=-2t+m,求t∈(0,2)时φ(t)的范
围 根据恒成立列不等式 解得实数m的取值范围.
解析 (1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),
∴当x=-t时,f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1,
即h(t)=-t3+t-1.
(2)记g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,t∈(0,2),
则g'(t)=-3t2+3,令g'(t)=0,得t=1或t=-1(舍去).
当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如表所示.
∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)=1-m.
∵h(t)<-2t+m对任意t∈(0,2)恒成立,
t (0,1) 1 (1,2)
g'(t) + 0 -
g(t) ↗ 极大值 ↘
∴g(t)<0对任意t∈(0,2)恒成立,∴1-m<0,∴m>1.
∴m的取值范围为(1,+∞).
(3)∵h(t)=-t3+t-1,t∈(0,2),∴h'(t)=-3t2+1,
令h'(t)=0,得t= 或t=- (舍去).
又当00,当 ∴当t= 时,h(t)max=- + -1= .
令φ(t)=-2t+m,t∈(0,2),
∴φ(t)min>m-4.
由题意可知 ≤m-4,
解得m≥ .
∴实数m的取值范围为 .
5|导数在解决实际问题中的应用
1.利用导数解决实际问题时,常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、
效率最高等问题,求解时需要分析问题中各个变量之间的关系,抓主元,找主线,把
“问题情境”翻译为数学语言,抽象成数学问题,再选择合适的数学方法求解,最
后经过检验得到实际问题的解.
2.解决优化问题的方法并不单一,运用导数求最值是解决这类问题的有效方法,有
时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合,多举并用,达到最佳效果.
3.利用导数解决实际问题的基本思路
已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入
2.7万元.设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收
入为R(x)万元,且R(x)=
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的利润最大
(注:年利润=年销售收入-年总成本)
思路点拨
(1)利用函数值与自变量之间的关系,分段得出函数解析式.(2)由(1)得出函数的解
析式,根据解析式的特点,利用导数和基本不等式,求出函数的最大值及此时自变
量的值.
解析 (1)当0W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x- -10;
当x>10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98- -2.7x.
∴W=
(2)①当0且当x∈(0,9)时,W'>0;当x∈(9,10]时,W'<0,
∴当x=9时,W取得极大值,也是最大值,且Wmax=8.1×9- -10=38.6.
②当x>10时,
W=98- ≤98-2 =38,
当且仅当 =2.7x,即x= 时,等号成立,
故当x= 时,Wmax=38.
综合①②知当x=9时,W取得最大值38.6.
故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的利润最大.
解题模板
解决与最大(小)值有关的问题,应考虑以下两个方面:
(1)设出变量,找出函数关系式,确定定义域;
(2)在解决实际应用问题中,若函数f(x)在定义域内只有一个极大(小)值点,则它就
是最大(小)值点.
如图,四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全
等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好
形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜
边的两个端点,设AE=FB=x cm.
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值 并求出此时包装盒的高
与底面边长的比值.
思路点拨
(1)分析数量关系,用变量x表示出高与底面边长,从而得出S关于x的表达式,利用二
次函数求最值即可得解.
(2)首先得出V关于x的表达式,然后利用导数求最值,从而得解.
解析 (1)设包装盒的高为h cm,底面边长为a cm.
由已知得a= x,h= = (30-x),0则侧面积S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800,
所以当x=15时,S取得最大值.
(2)由(1)可得,容积V=a2h=2 (-x3+30x2),
则V'=6 x(20-x).
令V'=0,得x=0(舍去)或x=20.
当x∈(0,20)时,V'>0;当x∈(20,30)时,V'<0.
所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值.
此时 = ,即包装盒的高与底面边长的比值为 .