人教版高中数学选择性必修第二册第5章 一元函数的导数及其应用 质量评估(含解析)

人教版高中数学选择性必修第二册
第5章 一元函数的导数及其应用 质量评估(原卷版)
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．曲线f(x)＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标为(　　)
A．－9 B．－3
C．9 D．15
2．下列结论正确的个数是(　　)
①若f(x)＝ln 2，则f′(x)＝；②若f(x)＝，则f′(3)＝－；③若f(x)＝2x，则f′(x)＝2xln 2；④若f(x)＝log2x，则f′(x)＝.
A．0 B．1
C．2 D．3
3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
4．函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在(1，f(1))处切线的斜率为(　　)
A．－ B．2
C．4 D．－
5．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a的值为(　　)
A．1 B．2
C．－6 D．－12
6．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9
7．已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是(　　)
A．f(sinA)>f(cosB)
B．f(sinA)C．f(sinA)>f(sinB)
D．f(cosA)8．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数具有T性质的是(　　)
A．y＝sinx B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x3
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a可取的范围有(　　)
A．(－∞，－3]
B．(－∞，－3)
C．[6，＋∞)
D．(6，＋∞)
10．如图是函数y＝f(x)导函数y＝f′(x)的图象，下列选项中正确的是(　　)
A．在x2处导函数y＝f′(x)有极大值
B．在x1，x4处导函数y＝f′(x)有极小值
C．在x3处函数y＝f(x)有极大值
D．在x5处函数y＝f(x)有极小值
11．对于函数f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列正确的是(　　)
A．x＝3是函数f(x)的一个极值点
B．f(x)的单调递增区间是(－1,1)，(2，＋∞)
C．f(x)在区间(1,2)上单调递减
D．直线y＝16ln 3－16与函数y＝f(x)的图象有3个交点
12．已知函数f(x)＝x2－3x＋m－2ln x，(　　)
A．m＝3时，f(x)有两个零点
B．m＝3时，f(x)的极小值点为2
C．m＝3时，f(x)≥0恒成立
D．若f(x)只有一个零点，则m＝2＋2ln 2
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝1和x＝－1处均有极值，且f(－1)＝－1，则a＋b＋c＝________.
14.已知函数f(x)＝x3－3ax2－bx，其中a，b为实数．若f(x)在区间[－1,2]上为减函数，且b＝9a，则a的取值范围是________．
15.已知曲线f(x)＝ax3＋ln x，若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为4，则a＝________；若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
16.已知矩形的两个顶点A，D位于x轴上，另两个顶点B，C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17.(10分)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；
(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
18.(12分)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导函数f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的极值．
19.(12分)已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.
(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．
20.(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．
(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)21.(12分)有A，B两家化工厂，相距48 km，现在要在两家化工厂连线上一点M处建造居民小区，考虑点M处的污染指数，据环保部门测定，连线上任意一点处的污染指数与污染源的强度成正比，与到污染源的距离的平方成反比，比例系数分别为k1，k2(k1，k2>0)．若将A，B两家化工厂作为污染源，且已知A，B两厂的污染强度分别是8p和p.连线上任意一点处的污染指数y等于A，B两家化工厂污染指数的和，若设MA＝x km.　
(1)试将y表示为x的函数；
(2)求当M点处的污染指数y取得最小值时x的值．
22.(12分)已知函数f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2.
(1)求f(x)的解析式及单调区间；
(2)若f(x)≥x2＋ax＋b，求(a＋1)b的最大值．
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第5章 一元函数的导数及其应用 质量评估(解析版)
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．曲线f(x)＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标为(　　)
A．－9 B．－3
C．9 D．15
C　解析：由已知得切线的斜率k＝f′(1)＝3，所以切线方程为y－12＝3(x－1)，即3x－y＋9＝0.
令x＝0，得y＝9，所以切线与y轴交点的纵坐标为9.
2．下列结论正确的个数是(　　)
①若f(x)＝ln 2，则f′(x)＝；②若f(x)＝，则f′(3)＝－；③若f(x)＝2x，则f′(x)＝2xln 2；④若f(x)＝log2x，则f′(x)＝.
A．0 B．1
C．2 D．3
D　解析：①y＝ln 2为常数，所以y′＝0，①错；②③④均正确，直接利用求导公式即可验证．
3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
D　解析：f′(x)＝(x－2)ex.由f′(x)>0得x>2.所以函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．
4．函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在(1，f(1))处切线的斜率为(　　)
A．－ B．2
C．4 D．－
C　解析：∵y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y＝2x＋1.∴g′(1)＝k＝2，
又f′(x)＝g′(x)＋2x，∴f′(1)＝g′(1)＋2＝4，故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处切线的斜率为4.
5．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a的值为(　　)
A．1 B．2
C．－6 D．－12
C　解析：令f′(x)＝6x2＋2ax＝0，得x＝0或x＝－，由题意，知f′(x)＝0的两根为0,2，所以2＝－，所以a＝－6.
6．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9
D　解析：∵f′(x)＝12x2－2ax－2b，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴a＋b≥2，∴2≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立．
7．已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是(　　)
A．f(sinA)>f(cosB)
B．f(sinA)C．f(sinA)>f(sinB)
D．f(cosA)A　解析：由导函数图象可知，x>0时，f′(x)>0，即f(x)单调递增．
又△ABC为锐角三角形，则A＋B>，即>A>－B>0，故sinA>sin>0，即sinA>cosB>0.故f(sinA)>f(cosB)．
8．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数具有T性质的是(　　)
A．y＝sinx B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x3
A　解析：∵(ln x)′＝>0，(ex)′＝ex>0，(x3)′＝3x2≥0.
∴选项B，C，D中的曲线不存在两点，其切线的斜率之积为－1，只有A项符合．
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a可取的范围有(　　)
A．(－∞，－3]
B．(－∞，－3)
C．[6，＋∞)
D．(6，＋∞)
BD　解析：依题意f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，对应的判别式Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＝4a2－12a－72>0，即a2－3a－18>0，即(a－6)(a＋3)>0，解得a<－3或a>6.故选BD．
10．如图是函数y＝f(x)导函数y＝f′(x)的图象，下列选项中正确的是(　　)
A．在x2处导函数y＝f′(x)有极大值
B．在x1，x4处导函数y＝f′(x)有极小值
C．在x3处函数y＝f(x)有极大值
D．在x5处函数y＝f(x)有极小值
ABCD　解析：根据导函数f′(x)的图象可知：x1，x4的两侧f′(x)左减右增，所以在x1，x4处导函数y＝f′(x)有极小值；x2的两侧f′(x)左增右减，所以在x2处导函数y＝f′(x)有极大值．
根据导函数f′(x)的图象可知：x3的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在x3处函数y＝f(x)有极大值. x5的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在x5处函数y＝f(x)有极小值．故选ABCD．
11．对于函数f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列正确的是(　　)
A．x＝3是函数f(x)的一个极值点
B．f(x)的单调递增区间是(－1,1)，(2，＋∞)
C．f(x)在区间(1,2)上单调递减
D．直线y＝16ln 3－16与函数y＝f(x)的图象有3个交点
ACD　解析：由题得f′(x)＝＋2x－10＝，x>－1.令2x2－8x＋6＝0，可得x＝1或3，则f(x)在(－1,1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，所以x＝3是函数f(x)的一个极值点，故AC正确，B错误．
因为f(1)＝16ln(1＋1)＋12－10＝16ln 2－9，f(3)＝16ln(1＋3)＋32－10×3＝16ln 4－21，又y＝16ln 3－16＝f(2)，根据f(x)在(1,3)上单调递减得f(1)>f(2)>f(3)，得16ln 3－16<16ln 2－9，16ln 3－16>16ln 4－21，
所以直线y＝16ln 3－16与函数y＝f(x)的图象有3个交点，故D正确．故选ACD．
12．已知函数f(x)＝x2－3x＋m－2ln x，(　　)
A．m＝3时，f(x)有两个零点
B．m＝3时，f(x)的极小值点为2
C．m＝3时，f(x)≥0恒成立
D．若f(x)只有一个零点，则m＝2＋2ln 2
ABD　解析：对于选项A，当m＝3时，f(x)＝x2－3x＋3－2ln x，其定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－3－＝＝.
令f′(x)＝0，得x＝2，当02时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴f(x)min＝f(2)＝1－2ln 2＝1－ln 4<0，且f(1)＝1>0，f(3)＝3－2ln 3>0，∴f(x)在定义域内有两个零点，故选项A正确．对于选项B，由上面的推导过程可知，当m＝3时，f(x)的极小值点为2，故选项B正确．对于选项C，由上面的推导过程可知，f(2)<0，故选项C错误．对于选项D，若f(x)只有一个零点，则方程x2－3x＋m－2ln x＝0只有一个根，即方程－m＝x2－3x－2ln x只有一个根．令g(x)＝x2－3x－2ln x，x>0，则函数g(x)的图象与直线y＝－m只有一个交点．g′(x)＝，
令g′(x)＝0, ∴x＝2，当02时，g′(x)>0，
∴g(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝g(2)＝－2－2ln 2，且当x→0时，
g(x)→＋∞；当x→＋∞时，g(x)→＋∞.
∴函数g(x)的图象与直线y＝－m只有一个交点时，－m＝－2－2ln 2，∴m＝2＋2ln 2，故选项D正确．故选ABD．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝1和x＝－1处均有极值，且f(－1)＝－1，则a＋b＋c＝________.
1　解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知f′(1)＝3a＋2b＋c＝0，f′(－1)＝3a－2b＋c＝0，又f(－1)＝－a＋b－c＝－1，可解得a＝－，b＝0，c＝，所以a＋b＋c＝1.
14.已知函数f(x)＝x3－3ax2－bx，其中a，b为实数．若f(x)在区间[－1,2]上为减函数，且b＝9a，则a的取值范围是________．
[1，＋∞)　解析：由题意知f′(x)＝3x2－6ax－b≤0对x∈[－1，2]恒成立，b＝9a，所以f′(x)＝3x2－6ax－9a≤0，即x2－2ax－3a≤0对x∈[－1,2]恒成立．因为2x＋3>0，所以a≥对x∈[－1,2]恒成立，容易求得a≥1.
15.已知曲线f(x)＝ax3＋ln x，若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为4，则a＝________；若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
1　(－∞，0)　解析：f′(x)＝3ax2＋.
令f′(1)＝3a＋1＝4，得a＝1.
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，
∴f′(x)＝0有解，
即3ax2＋＝0有解，
∴3a＝－，而x>0，
∴a∈(－∞，0).
16.已知矩形的两个顶点A，D位于x轴上，另两个顶点B，C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．
，　解析：由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4－x2，
∴矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0∴S′＝8－6x2.
令S′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当00；
当∴当x＝时，S取得最大值为.
即矩形的边长分别是，时，矩形的面积最大．
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17.(10分)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；
(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
解：(1)由函数f(x)的图象过原点，得b＝0.
又f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)，
f(x)在原点处的切线斜率是－3，
∴－a(a＋2)＝－3，解得a＝－3或a＝1.
(2)由f′(x)＝0，得x1＝a，x2＝－.
又f(x)在(－1,1)上不单调，
∴或
解得或
所以a的取值范围是∪.
18.(12分)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导函数f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解：(1)因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，
所以f′(x)＝6x2＋2ax＋b，
从而f′(x)＝62＋b－，即y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，
从而由题设条件知－＝－，解得a＝3.
又因为f′(1)＝0，所以6＋2a＋b＝0，解得b＝－12.
所以实数a，b的值分别为3，－12.
(2)由(1)知 ，f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．
令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x1＝－2，x2＝1，
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在区间(－∞，－2)内为增函数；
当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，
故f(x)在区间(－2,1)内为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数；
从而函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6.
19.(12分)已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.
(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．
解：由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，得f′(x)＝x(2＋cosx)．
(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cosa)＝0，b＝f(a)．
解得a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)令f′(x)＝0，得x＝0.
f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x (－∞，0) 0 (0，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 1 单调递增
所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．
因此b的取值范围是(1，＋∞).
20.(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．
(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)解：(1)对f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c求导，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由f′＝－a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，得a＝－，b＝－2.
∴f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)．
令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)的变化情况如下表：
x － 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
∴函数f(x)的递增区间是和(1，＋∞)，递减区间是.
(2)f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]．当x＝－时，f＝＋c为极大值，而f(2)＝2＋c，则f(2)＝2＋c为最大值．
要使f(x)f(2)＝2＋c，解得c<－1或c>2.
∴c的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
21.(12分)有A，B两家化工厂，相距48 km，现在要在两家化工厂连线上一点M处建造居民小区，考虑点M处的污染指数，据环保部门测定，连线上任意一点处的污染指数与污染源的强度成正比，与到污染源的距离的平方成反比，比例系数分别为k1，k2(k1，k2>0)．若将A，B两家化工厂作为污染源，且已知A，B两厂的污染强度分别是8p和p.连线上任意一点处的污染指数y等于A，B两家化工厂污染指数的和，若设MA＝x km.　
(1)试将y表示为x的函数；
(2)求当M点处的污染指数y取得最小值时x的值．
解：(1)点M处受A工厂的污染指数为8pk1·，受B工厂的污染指数为pk1·，
从而点M处的污染指数
y＝8pk1·＋pk1·，其中0(2)由(1)知y＝8pk1·＋pk1·
＝pk1k2，
所以y′＝pk1k2，
令y′＝0，
即pk1k2＝0，得x＝32，
且当00，
因此y在x＝32处取得极小值，即最小值．
故当点M处的污染指数y取得最小值时x的值等于32.
22.(12分)已知函数f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2.
(1)求f(x)的解析式及单调区间；
(2)若f(x)≥x2＋ax＋b，求(a＋1)b的最大值．
解：(1)f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2，
则f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋x.
令x＝1，得f(0)＝1.
∴f(x)＝f′(1)ex－1－x＋x2.
令x＝0得f(0)＝f′(1)e－1＝1，
∴f′(1)＝e.
∴f(x)＝ex－x＋x2.
设g(x)＝f′(x)，
则g(x)＝f′(x)＝ex－1＋x.
∵g′(x)＝ex＋1>0，∴f′(x)＝g(x)在x∈R上单调递增．
∴f′(x)>0＝f′(0) x>0；f′(x)<0＝f′(0) x<0.
综上可知，f(x)的解析式为f(x)＝ex－x＋x2，且单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．
(2)f(x)≥x2＋ax＋b h(x)＝ex－(a＋1)x－b≥0.
易得h′(x)＝ex－(a＋1)．
①当a＋1≤0时，h′(x)>0，
∴y＝h(x)在x∈R上单调递增，
此时当x→－∞时，h(x)→－∞与h(x)≥0矛盾；
②当a＋1>0时，h′(x)>0 x>ln(a＋1)，h′(x)<0 x∴当x＝ln(a＋1)时，h(x)min＝(a＋1)－(a＋1)ln(a＋1)－b≥0，
(a＋1)b≤(a＋1)2－(a＋1)2ln(a＋1)(a＋1>0)．
令F(x)＝x2－x2ln x(x>0)，
则F′(x)＝x(1－2ln x)．
F′(x)>0 0.
∴当x＝时，F(x)max＝.
∴当a＝－1，b＝时，(a＋1)b的最大值为.