人教版八年级数学下册 巧用勾股定理解折叠题练习（含答案）

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巧用勾股定理解折叠题
勾股定理在折叠问题中的应用具有典型性和普遍性，运用勾股定理解折叠题时，往往融方程与几何图形于一体，具有较强的综合性。
一、三角形的折叠
1 如图1，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B,OA:OB:AB=3:4:5,且线段 OA的长是方程 的解，M是线
段OB上一点，若将△ABM沿直线AM折叠，点B恰好落在x轴上的点P处.
(1)求点P的坐标;
(2)在y轴上是否存在点N,使△APN是以PN为底的等腰三角形 若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
2 如图2,在Rt△ABC中,∠BAC=90°. AD为△ABC的中线,将△ABD沿AB进行折叠,得到△ABE,连接CE,CE交AD于F点.
(1)判断四边形ADBE的形状，并说明理由;
(2)若已知EC⊥AD,EC=2 ,求△CBE”的面积.
二、矩形的折叠
3 如图3，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠, 使点C落在C′处,BC′与AD交于E,AD=8,AB=4,求阴影部分面积.
三、平行四边形的折叠
4 如图4,将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点 D'处，折痕交CD边于点E,连接BE.
(1)求证:四边形 BCED'是平行四边形;
(2)若 BE 平分∠ABC,求证:AE +BE =AB .
四、正方形的折叠
5 如图5. 正方形ABCD的边长为4,点M、N分别在AB、CD上.将该纸片沿 MN折叠，使点D落在边 BC上的点E处，折痕MN与DE相交于Q.
(1)请判断DE与 MN之间的数量关系，并说明理由；
(2)若点 G为EF的中点,随着折痕 MN位置的变化，请求出△GQE周长的最小值.
1.解:(1)解 得x=6,
经检验x=6是原分式方程的解，
∴OA=6.
又∵OA:AB=3:5,
∴AB=10,
∵△ABM沿直线AM折叠,点B恰好落在x轴上的点P处，
∴AP=AB=10.
∵OP=AP-OA=10-6=4,
∴点P的坐标为(-4,0);
(2)存在.
设N(0. t),
∵A(6,0),P(-4,0),
∴AP=100,AN =36+C .
∵△APN是以 PN为底的等腰三角形，
∴36+1 =100,解得t=8或t=-8,
∴点N的坐标为(0,8)或(0,-8).
2. 解:(1)四边形ADBE为菱形.
理由:∵∠BAC=90°,AD为Rt△ABC的中线,∴AD=BD=DC.
由折叠可知:AE=AD,BE=BD,
∴AE=AD=BD=BE,
∴四边形ADBE为菱形;
(2)∵四边形ADBE为菱形,
∴BD=BE,AD∥BE.
∵AD⊥CE,∴BE⊥CE,
∴∠BEC=90°.
∵BC=2BD,
∴BC=2BD=2BE.
∵BE +CE =BC ,
∴△BEC的面积
3. 解:由折叠可知:∠DBC=∠DBE,又AD∥BC,
∴∠DBC=∠BDE,
∴∠BDE=∠DBE,∴BE=DE.
设AE=x,则DE=BE=8-x.
在Rt△BAE中,4 +x =(8-x) ,解得x=3.
4. 证明:(1)∵将 ABCD沿过点A 的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D'处，
∴∠DAE=∠D'AE,∠DEA=∠D'EA,∠D=∠AD'E.
∵DE∥AD',
∴∠DEA=∠EAD′,
∴∠DAE=∠EAD'=∠DEA=∠D'EA,
∴∠DAD'=∠DED',
∴四边形DAD'E 是平行四边形，
∴DE=AD',
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC,AB=DC,
∴CE∥D'B,CE=D'B,
∴四边形BCED'是平行四边形；
(2)∵BE平分∠ABC,
∴∠CBE=∠EBA.
∵AD∥BC,
∴∠DAB+∠CBA=180°.
∵∠DAE=∠BAE,
∴∠EAB+∠EBA=90°,
∴∠AEB=90°,
∴AE +BE =AB .
5. 解:(1)MN=DE.
理由:如图5,过M点作 MO⊥CD,MO交CD于点O,交DE于点H.
由折叠性质可知,DE⊥MN.
∠MHQ+∠HMQ=90°,
∠MNO+∠NMO=90°,
∴∠MHQ=∠MNO.
又∵MO∥BC,∴∠MHQ=∠CED,
∴∠MNO=∠DEC.
∴△MNO≌△DEC(AAS),
那么MN=DE.
(3)如图6,取AD中点P,连接 QP、QG、QC,
由折叠的对称性可知，QP=QG，
∵Q为DE中点,△CDE为直角三角形,
·∴△GQE的周长=QG+GE+EQ=2+QP+CQ≥2+CP,
由勾股定理得：
当且仅当P、Q、C共线时最小，最小为