第二十一章 一元二次方程 单元测试 （含答案） 2023-2024学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 单元测试 2023-2024学年人教版数学九年级上册
一、选择题
1.下列方程为一元二次方程的是
A． B．
C． D．
2.若关于 的一元二次方程的两个根为 ，，则这个方程可能是
A． B．
C． D．
3.某种商品经过两次大的降价后，售价仅为原售价的 ，则平均每次的降价率为
A． B． C． D．
4.某药品原价每盒 元，为响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒 元，设该药品平均每次降价的百分率是 ，由题意，所列方程正确的是
A． B．
C． D．
5．用配方法解方程x2﹣10x﹣1＝0，正确变形是（　　）
A．（x﹣5）2＝1 B．（x+5）2＝26
C．（x﹣5）2＝26 D．（x﹣5）2＝24
6．函数 的图象如图所示，则关于x的一元二次方程 的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
7．如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．且≠0
C． D．且≠0
8．下列关于x的一元二次方程的命题中，真命题有（　　）
①若，则；
②若方程两根为1和－2，则；
③若方程有一个根是，则
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
二、填空题
9．已知命题：“关于x的一元二次方程 ，当 时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是　 　.
10．一元二次方程（x﹣5）2＝x﹣5的解为　 　．
11．用配方法将方程x2-4x+1=0化成(x+m)2=n的形式(m、n为常数)，则 =　 　
12．南宋数学家杨辉在研究(a+b)n展开式各项的系数时，采用了特殊到一般的方法，他将(a+b)0，(a+b)1，(a+b)2，(a+b)3，…，展开后各项的系数画成如图所示的三角阵，在数学上称之为杨辉三角．已知(a+b)0＝1，(a+b)1＝a+b，(a+b)2＝a2+2ab+b2，(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3．按杨辉三角写出(a+b)5的展开式是　 　．
13．如图，已知菱形 的边 在 轴上，点 的坐标为 ，点 是对角线 上的一个动点，点 在 轴上，当 最短时，点 的坐标为　 　.
三、解答题
14.解方程：．
15.某种商品的标价为 元 件，经过两次降价后的价格为 元 件，并且两次降价的百分率相同．
(1) 求该种商品每次降价的百分率．
(2) 若该种商品进价为 元 件．两次降价共售出此种商品 件． 为使两次降价销售的总利润不少于 元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
16.已知关于 的方程 ．
(1) 若这个方程有实数根，求 的取值范围；
(2) 若此方程有一个根是 ，请求出 的值．
17.今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为 元的一批图书，以 元的单价出售时，每天的销售量是 本．已知在每本涨价幅度不超过 元的情况下，若每本涨价 元，则每天就会少售出 本，设每本书上涨了 元．请解答以下问题：
(1) 填空：每天可售出书 本（用含 的代数式表示）；
(2) 若书店想通过售出这批图书每天获得 元的利润，应涨价多少元？
18.已知关于 的一元二次方程 ，其中 ，， 分别为 三边的长．
(1) 如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由．
(2) 如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由．
(3) 如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
参考答案
1. C
2. C
3. A
4. C
5．C
6．A
7．B
8．A
9．b=1（答案不唯一）
10．x1＝5，x2＝6．
11．1
12．a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
13．（ ， ）
14.
15.
(1) 设该种商品每次降价的百分率为 ，
依题意得：解得：答：该种商品每次降价的百分率为 ．
(2) 设第一次降价后售出该种商品 件，则第二次降价后售出该种商品 件，
第一次降价后的单件利润为：（元 件）；
第二次降价后的单件利润为：（元 件）；
依题意得：，
解得：．
．
答：为使两次降价销售的总利润不少于 元．第一次降价后至少要售出该种商品 件．
16.
(1) 根据题意知 ，
解得：．
(2) 将 代入方程得 ，
整理，得：，
解得：，，
，
和 均符合题意，
故 或 ．
17.
(1)
(2) 设每本书上涨了 元（），
根据题意得：整理，得：解得：答：若书店想每天获得 元的利润，每本书应涨价 元．
18.
(1) 当 时，方程为 ，整理得 ，
是等腰三角形．
(2) 方程有两个相等的实数根，
整理得 ，
是直角三角形．
(3) 是等边三角形，
，
原方程为 ，
，
，
解得 ，．