2.6应用一元二次方程 同步练习题（含答案） 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《2.6应用一元二次方程》
同步练习题（附答案）
一、单选题
1．某蔬菜种植基地2020年蔬菜产量为40吨，预计2022年蔬菜产量比2021年增加20吨．若蔬菜产量的年平均增长率为x，则下面所列的方程正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．某区以“整治环境卫生”为抓手，逐年增加环保建设的投入，计划从2021年初到2023年末，累计投入4250万元．已知2021年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，需要买礼品56件，则该兴趣小组的人数为（　　）
A．5人 B．6人 C．7人 D．8人
4．如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子（纸板的厚度忽略不计）若该无盖盒子的底面积为900cm2，盒子的容积是（ ）
A． B． C． D．
5．南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽之和为60步，问长比宽多多少步．若设长为步，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
7．有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为．设切去的正方形的边长为，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．一个两位数，个位与十位上的数字之和为8，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，得到一个新的两位数，所得的新两位数与原数的乘积为1855，则原两位数是_____．
9．某玩具厂2022年1月份生产玩具3000个，后来生产效率逐月提高，3月份生产玩具3630个，则2、3月份每月平均增长率为___________．
10．某生活小区准备在每幢楼房之间，开辟面积为200平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长为_____米，宽为_______米；
11．如图．有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，若在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正方形，然后把凸出部分折起来，做成一个底面积为的无盖的长方体盒子，则这个盒子的高为____________cm．
12．已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为___________．
13．某种服装，平均每天可销售30件，每件赢利40元，网查发现，若每件降价1元，则每天可多售6件，如果每天要赢利2100元，每件应降价多少元？设该服装每件降价x元，根据题意可列方程____．
14．如图所示，在矩形中，，，点P从点A出发沿以每秒4个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动．
（1）当秒时，线段__．
（2）当__秒时，的面积是24．
三、解答题
15．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．
16．现有可建筑围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的仓库，墙长为．
(1)若，能否围成总面积为的仓库？若能，求的长为多少？
(2)能否围成总面积为的仓库？请说说你的理由．
17．随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
18．如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．

(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？
(2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？
19．某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，每千克核桃的售价每降低1元，则平均每天的售量可增加20千克．设每千克核桃应降价元，则：
(1)降价后，每千克核桃获利________元，平均每天可售出________千克核桃（用含的代数式表示）；
(2)该专卖店打算尽快降低这种核桃库存的同时，平均每天仍获利2880元，那么每千克核桃应降价多少元？
20．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米．
(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？
(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了小时，求m的值．
参考答案：
1．解：设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为40（1+x）x=20，
故选：A．
2．解：设投入经费的年平均增长率为x，根据题意得：
，
即，
故选：D
3．解：设该兴趣小组的人数为x人，则每个同学送出（x﹣1）件礼品，
依题意得：x（x﹣1）＝56，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去），故D正确．
故选：D．
4．解：设剪掉的正方形的边长为xcm，
由题意得：，
解得：（不合题意，舍去），，
则盒子的容积是，
故选：C．
5．解：设长为步，宽为步，
根据题意的：；
故选：D．
6．解：设每瓶售价x元时，所得日均总利润为700元，根据题意的，
，
解得x1=11， x2=13，
当x1=11时， ，当x2=13时， ，且，
尽快减少库存，
每瓶该饮料售价为11元．
故选：A．
7．解:设切去的正方形的边长为，则底面的长为，宽为，则
故选：D
8．解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为（8-x），依题意得：
（10x+8-x）〔10（8-x）+x〕=1855，
解这个方程得x1=3，x2=5，
当x=3时，8-x=5，
当x=5时，8-x=3，
∴原来的两位数是35或53．
故答案为：35或53．
9．解：设平均每月增长率为x，依题意得：该方程为：．
（舍），
∴则2、3月份每月平均增长率为10%．
故答案为：10%．
10． 20 10
11．解：设这个盒子的高为x cm，则做成的无盖长方体的底面长为cm，宽为cm，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
12．解：，
，
解得：，
∴菱形的面积；
故答案为：6．
13．解：设每件应降价x元，
依题意得：，
故答案为：．
14．解：（1）∵当秒时，，
根据勾股定理得．
故答案为：20．
（2）设运动时间为秒，
此时，，，
∵的面积是24，
∴，
整理得，，
解得：，
∴当秒或3秒时，的面积是24．
故答案为：2或3．
15．解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2），
根据题意得：3x（x+2）=10x+（x+2），
整理得：3x2-5x-2=0，
解得：x1=2，x2=（不合题意，舍去），
∴x+2=4，
∴这个两位数为24．
16．（1）解：设，则，
根据题意得：，
解得：或，
∵，
∴和都满足题意，
∴当，能围成总面积为的仓库，的长为或；
（2）解：不能围成面积为的仓库，理由如下：
设，则，
根据题意得：，
整理得：，
∵，
∴此方程无实数根，即不能围成面积为的仓库．
17．（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得：
，
解得：（负值已舍掉）；
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：
，
解得：；
∴5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人．
18．（1）解：过点P作于E，
设x秒后，点P和点Q的距离是．
，
∴， ；
∴经过或，P、Q两点之间的距离是；
（2）解：连接．设经过后△PBQ的面积为．
①当时，，
∴，即，
解得；
②当时，，
则，
解得（舍去）；
③时，，
则，
解得（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒，的面积为．
19．（1）解：每千克核桃应降价元，
降价后，每千克核桃获利元，平均每天可售出千克核桃．
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又该专卖店打算尽快降低这种核桃库存，
．
答：每千克核桃应降价11元．
20．（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为小时，根据题意得：
，
解得：，
答：小型设备的使用时间为300小时；
（2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为小时，
根据题意得：小型设备的使用时间为小时，大型设备铺设公路每小时为米，大型设备的使用时间为小时，
∴，
整理得：，
解得：（舍去）．
即m的值为5．